Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

Подставим полученные значения в уравнение (5), получим уравнение касательной плоскости:

−1(x −1)+ 2(y −1)−(z −1)= 0 или −x +1 + 2 y − 2 − z +1 = 0 .

Окончательно:

−x + 2 y − z = 0 .

Уравнение нормали имеет вид (6). Подставим значения координат точки B , частных производных первого порядка в этой точке в уравнение нормали (6), получим:

х−−11 = y 2−1 = z−−11 .

Пример 6.3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к сфере x2 + y2 + z2 =9 в точке M0 (1,2, −2).

Решение.

Уравнение сферы задано неявным уравнением

F (x, y, z)= x2 + y2 + z2 −9 .

Подставим найденные значения частных производных первого порядка в точке M0 в уравнение касательной плоскости (7) и получим:

2(x −1)+ 4(y − 2)− 4(z + 2)= 0

или

2x − 2 + 4 y −8 − 4z −8 = 0 .

81

6.2. Производная по направлению и градиент

Пусть заданы функция двух переменных z = f (x, y) – непрерывная вместе с частным производными в области D и вектор a = ax i + ay j . За-

на участке a . Эта средняя скорость тем точнее определяет мгновенную скорость, чем меньше a .

82

C физической точки зрения, производная по направлению характеризует скорость изменения функции в направлении заданного вектора.

Поскольку полное приращение функции равно:

Находим (из прямоугольных треугольников (рис. 6.1)):

83

Если вектор a сонаправлен с одной из координатных осей, то производная по направлению вектора a совпадает с соответствующей частной производной.

в направлении соответственно осей Ox и Oy . Это определяет физический смысл частных производных функции двух переменных.

Определение 6.4. Градиентом функции z = f (x, y) в точке M (x; y) называется вектор grad z , проекциями которого на оси координат являют-

Свойства градиента функции:

1) производная функции z по направлению вектора a равна проек-

=∂∂xz |aax | + ∂∂yz |aay | = ∂∂xz cos α + ∂∂xz cosβ = ∂∂az ;

2)производная по направлению принимает наибольшее значение, когда это направление совпадает с направлением градиента этой функции,

правление наискорейшего возрастания функции, а его модуль – величину наибольшей скорости роста функции при переходе через точку. При этом на-

84

правление, противоположное направлению градиента характеризует направление наискорейшего убывания функции при переходе через данную точку

(рис. 6.2).

Рис. 6.2. Связь градиента функции

спроизводной по направлению

3)градиент функции в точке М перпендикулярен касательной, проведенной к линии (поверхности) уровня в этой точке (рис. 6.3).

grad z

f(x, y) = С

M

Рис. 6.3. Перпендикулярность градиента к касательной

Пример 6.4. Дана функцияz = ln (3x2 + 5y2 ), точка А(1,2) и вектор

a =3i −1 j . Найти производную функции z в направлении вектора a в точ-

ке А, градиент функции z в точке А, наибольшую скорость роста функции при переходе через точку А.

Решение.

Вычислим производную функции в направлении заданного вектора по формуле (9).

Находим частные производные функции z:

Длина вектора a определяется по формуле:

Это означает, что заданная функция при переходе через точку А убывает в направлении вектора a со скоростью ≈ 0,0275.

Градиент находим по формуле (10), т. е.

Тогда имеем, что направление роста заданной функции в точке А определяется вектором:

86

Воспользуемся вторым свойством градиента функции. Функция при переходе через точку А возрастает быстрее всего в направлении градиента этой функции, наибольшая скорость роста функции равна модулю градиента:

Задачи для самостоятельного решения

6.1. Линеаризовать функцию в окрестности заданной точки:

а) z = x3 + y3 + 4xy , A(2, 1);

6.3. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к данной поверхности в данной точке:

а) z = x3 − 2 x y + 2 y2 − 2x + 3 в точке M = (1;1;1) ;

г) x2 + y2 + z2 −14 = 0 в точке M = (1; 2; 3) ; д) xy + ez − z −5 = 0 в точке M = (2;1; 0) .

6.4. Найти скорость изменения функций в точке М0 по направлению данного вектора a и найти наибольшую скорость возрастания функций

87

Контрольные вопросы и задания

1. Что значит линеаризовать функцию z = f (x, y) в окрестности некоторой точки?

2.Какова геометрическая интерпретация линеаризации? Запишите формулу линеаризации.

3.Дайте определение производной функции z = f (M ) по направле-

нию вектора a .

4. Запишите формулу нахождения производной функции z = f (M )

по направлению вектора a .

5. Каков механический смысл производной функции z = f (M ) по направлению вектора a ?

6.Дайте определение и запишите формулу нахождения градиента функции z = f (M ) .

7.Укажите свойства градиента.

8.Какова связь между производной по направлению и градиентом функции двух переменных в заданной точке M0 ?

9.Как найти направление наискорейшего возрастания функции двух переменных в одной и той же точке M0 ?

10.Запишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной явно уравнением z = f (x, y).

11.Запишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной неявно функцией F(x, y, z) = 0 .

88

7. ПОИСК НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

7.1. Экстремум функции двух переменных

Определение 7.1. Функция двух переменных z = f (x, y) имеет мак-

симум в точке M0 (x0 , y0 ), если f (x0 , y0 )> f (x, y) для всех точек M (x, y), достаточно близких к точке M0 (x0 , y0 ) и отличных от нее.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Теорема 7.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке

M0 (x0 , y0 ) дифференцируемая функция z = f (x, y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

В общем случае в точке экстремума M0 (x0 , y0 ) функции z = f (x, y) дифференциал этой функции либо равен нулю, либо не существует.

Определение 7.2. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f (x, y) равны нулю, называется стационарной точ-

кой функции. Точка, в которой хотя бы одна частная производная не суще-

ствует, называется критической точкой.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Для нахождения экстремумов функции каждую критическую точку функции необходимо подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 7.2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стацио-

нарной точке M0 (x0 , y0 ) и некоторой ее окрестности функция z = f (x, y)

имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Вычислим в точке M0 (x0 , y0 ) значения А, В, С:

89

1.Если >0 , то функция z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) имеет экстремум: максимум, когда А < 0; минимум, когда А > 0.

2.Если <0 , то функция z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) экстремума

не имеет.

3. Если =0 , то экстремум в точке M0 (x0 , y0 ) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример 7.1. Исследовать на экстремум функцию z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 .

Решение.

Находим частные производные

z′ = 4x3 − 2x − 2 y,x

z′y = 4 y3 − 2x − 2 y.

Приравняем частные производные к нулю

Решаем полученную систему уравнений. Вычитая из первого уравнения второе, имеем: 4x3 − 4 y3 = 0 , из чего следует, что x = y . Из первого