Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

Пример 1.1. Найти производную функции y = 1x в произвольной

точке x .

Решение.

Если знать производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования результатов арифметических действий над этими функциями (прил. 2), то можно легко найти производные любых элементарных функций.

Запомним, если x – независимая переменная, то x′=1. Доказательство этого факта очень простое: если y = x , то по опреде-

(loga x)′ = x 1ln a , в частности, (ln x)′ = 1x ;

11

5) тригонометрические функции:

6) обратные тригонометрические функции

Замечание. Не обязательно дифференцировать заданную функцию сразу. Можно предварительно подвергнуть ее тождественным преобразованиям (если это ведет к упрощению дифференцирования).

Правила дифференцирования

Пусть функции u =u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции, c = const – произвольная постоянная, тогда выполнимы правила дифференцирования:

1)(u ± v)′ =u′ ± v′;

2)(u v)′ =u′ v + u v′, в частности (c u)′ = c u′;

Доказательство правил дифференцирования Теорема 1.1. Производная суммы (разности) двух функций равна

сумме (разности) производных этих функций: (u ± v)′ =u′ ± v′.

12

т. е. (u ± v)′ =u′ ± v′.

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 1.2. Производная произведения двух функций u и v равна сумме произведений: производной функции u на функцию v и функции u

на производную функции v , т. е.: (u v)′ =u′ v + u v′. Доказательство. Пусть y =u v . Тогда:

Теорема 1.3. Производная частного двух функций uv((xx)), если

13

u = ϕ(x) на множестве D1 , причем для x D1 соответствующее значение u = ϕ(x) D . Тогда на множестве D1 определена функция u = f (ϕ( x)) , ко-

торая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u = ϕ(x) называют промежуточным аргументом

сложной функции.

Например, функция y = cos7x есть суперпозиция двух функций y = cos u и u = 7x . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Теорема 1.4. Если y = f (u) и u =ϕ(x) дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y = f (ϕ(x)) сущест-

вует и равна произведению этой функции по промежуточному аргументу

на производную промежуточного аргумента по независимой переменной,

т. е. y′ = fu′ u′x .

14

Доказательство. В соответствии с условием и по определению

На практике чаще всего требуется находить производные от сложных функций. Поэтому в таблице формул дифференцирования аргумент x заменяют на промежуточный аргумент u (прил. 2).

Производная обратной функции

Дана функция y = y(x). Если разрешить эту функцию относительно аргумента x , то получим обратную функцию x = x(y).

Например:

1)y =sin x – прямая функция, а x = arcsin y – обратная функция; многозначная;

2)y = ax – прямая функция, а x = loga y – обратная функция;

Алгоритм вычисления производных функций, заданных одним аналитическим выражением

1) определяем, состоит ли заданное аналитическое выражение из одной функции (простой или сложной) или составлено из нескольких функ-

15

ций с помощью арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления);

2)если аналитическое выражение состоит из одной функции, то применяем одну или несколько формул таблицы производных основных элементарных функций. При этом учитываем, простая эта функция (одна из основных элементарных) или сложная (полученная в результате взятия функции от функции) – определяем ее основной и промежуточный аргументы и применяем одну или несколько формул из таблицы производных;

3)если под знаком производной стоит выражение, которое включает арифметические операции над несколькими функциями, то нужно выяснить, какая их этих операций выполняется последней, и применить соответствующее ей правило дифференцирования. После найти производные отдельных функций (см. п. 2).

Гиперболические функции

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисци-

плинах встречаются гиперболические функции:

Примеры вычислений производных функций

В примерах 1.2–1.13 найти y′, применяя соответствующие правила

дифференцирования, таблицу производных основных элементарных функций и таблицу производных.

16

Пример 1.2. y = 4x5.

Решение.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной: y′ =(4x5 )′ = 4 (x5 )′ = 4 5x4 = 20x4 .

Пример 1.3. y =3x3 + 4x2 − 7x +10.

Решение.

Используя правила дифференцирования:

y′ = (3x3 + 4x2 −7x +10)′ = (3x3 )′ +(4x2 )′ −(7x)′ +(10)′ =

=3 (x3 )′ + 4 (x2 )′ −7 x′+10′ = 3 3x2 + 4 2x −7 1 + 0 = 9x2 +8x −7.

Пример 1.4. y = x3 ex .

Решение.

y′ =(x3 ex )′ =(x3 )′ ex + x3 (ex )′ =3x2 ex + x3 ex = x2ex (3 + x).

17

Пример 1.8. y = (x4 − x) (3tg x −1).

Решение.

y′ =((x4 − x) (3tg x −1))′ =(x4 − x)′ (3tg x −1)+ (x4 − x) (3tg x −1)′ = =(4x3 −1) (3tg x −1)+ (x4 − x) cos32 x .

Пример 1.9. y =sin2 x .

Решение.

Применим правило дифференцирования сложной функции. Обозначим промежуточный аргумент через u (x), т. е. sin x =u (x). Поэтому сна-

чала следует взять производную от степенной функции по u (x) и умножить ее на производную от sin x . Так как u′= cos x , то с учетом правила

дифференцирования сложной функции получим: y′(x)=(u2 )′x = 2u u′.

Итак, y′ =(sin2 x)′ = 2 sin x cos x = sin 2x.

Пример 1.10. y = esin x

Решение.

y′ =(esin x )′ = esin x (sin x)′ = esin x cos x.

Пример 1.11. y = ln (x2 +1).

Решение.

y′ =(ln (x2 +1))′ = x21+1 (x2 +1)′ = x22x+1.

18

Замечание. В рассмотренном примере можно не вводить промежуточные переменные u и v , а последовательно применять указанные формулы, не забывая при этом, что берется производная сложной функции (т. е. функции от функции). В записи это выглядит так:

19

Пример 1.14. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции найти y′x :

Дифференцирование неявной функции и функции, заданной параметрически, метод логарифмического дифференцирования

1. Если функция задана уравнением y = f (x) , разрешенным относительно y , то функция задана в явном виде (явная функция). Неявная

функция одного аргумента задается уравнением, связывающим две переменные, причем уравнение не разрешено относительно какой-либо из них:

F (x; y)= 0 y = y(x) или x = x( y) .

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно y (например, y + 3x + sin y −1 = 0 или 5y − 2x + y = 0 ).

Если неявная функция задана уравнением F (x; y)= 0 , то для нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение относительно y . Нужно продифференцировать это уравнение по x , рассмат-

20