Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Для дифференциала п-го порядка имеем: d n y = f (n)dxn .

Из последней формулы получаем: f (n) (x)= ddxn ny , n =1,2,3,…. – про-

изводную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Пример 2.5. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции y =(2x + 4)3 .

Решение.

Воспользуемся формулой d n y = f (n)dxn , n =1,2,3. dy =3 (2x + 4)2 2dx = 6(2x + 4)2 dx ,

d 2 y =12 (2x + 4) 2dx2 = 24 (2x + 4)dx2 , d3 y = 24 2dx3 = 48dx3 .

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Найти дифференциалы функций:

а) y = 2cos x+1 ;	б) y = ln3 sin x ;		в)	y = 3 x5 −1 .
2.2. Найти дифференциал функции			y = 4x2 +1	в точке x =1 при
x = 0,02 .				0
x = 0,02 .
2.3. Вычислить приближенно:
а) (1,02)4 ;	б) arctg 1,05 ;	в)	5 31 .

2.4. Найти дифференциалы высших порядков, считая x независимой переменной:

а) y =(4x −5)4 , найти d 2 y ;

б) y =3x3 + 7x2 +8x + 3, найти d3 y .

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение дифференциала функции одной переменной.

2.Как найти дифференциал функции?

3.Каков геометрический смысл дифференциала?

4.Изложите алгоритм применения дифференциала в приближенных вычислениях.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1.Уравнение касательной и нормали к кривой

Взадаче про касательную к кривой (рассмотрена в п. 1.1) был найден

угловой коэффициент касательной: k = tg α = lim tg β = lim		y .
x→0	x→0	x

Это равенство перепишем в виде: f ′(x) = tg α = k . Итак, производная функции y = f (x) в точке x есть тангенс угла наклона к оси Ox касательной, проведенной к графику функции в точке (x, f (x)).

Пример 3.1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = 2x2 в точке x =1.

Решение.

k = tg α = y′= (2x2 )′= 2 2x = 4x k x=1 = (2x2 )′ x=1 = 4x x=1 = 4 .

Если точка касания M имеет координаты (x0 ; y0 ) (рис. 3.1), то угловой коэффициент касательной равен: k = f ′(x0 ) .

	y
	y	y = f (x)
		y = f (x)

		M

Рис. 3.1. Перпендикулярность касательной и нормали

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении, имеет вид: y − y0 = k (x − x0 ) .

Тогда уравнение касательной записывается в виде: y − y0 = f ′(x0 ) (x − x0 ) .

Определение 3.1. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Угловой коэффициент нормали равен: kнорм

= −

так

kкас

f ′(x0 )

как нормаль перпендикулярна касательной.

Уравнение нормали имеет вид:

y − y0 = −

(x − x0 ) , если

f ′(x0 ) ≠ 0 .

f ′(x0 )

Пример 3.2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

y = 63 x −16 4 x

в точке с абсциссой x =1.

Решение.

1. Найдем y(1):

y(1)= 6

3 1 −16

4 1

= 6

−16

= 6 −5

2 .

2. Найдем производную y′ = f ′(x)

и ее значение в точке x =1:

′

−

f ′(x)= 63 x

−

6x3 −

= 6

3 −

4 =

−

3 4

и f

′

(1) = 2 −

3 =

3 .

3. Так как

′

≠ 0

′

значения

(1)

f (1) ≠ ∞, то подставим найденные

′

f (1) = 3 и f

(1)

3 в уравнения касательной и нормали, получим:

уравнение касательной: y −

(x −1) или 2x −3y = 0 ;

уравнение нормали: y −

= −

3 (x −1) или 9x + 6 y −13 = 0 .

3.2. Правила Лопиталя

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 00

Теорема 3.1. Пусть функции f (x) и ϕ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f (x0 )= ϕ(x0 )= 0 . Пусть ϕ′(x0 )≠ 0 в окрестности точки x0 .

Если существует предел

lim

f ′(x)

=l , то

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

=l .

ϕ′(x)

x→x0 ϕ′(x)

x→x0 ϕ(x)

x→x0

Замечания:

если функции f (x)

ϕ(x) неопределенны при

теорема верна,

x = x0 ,

но

lim

f (x)= 0

lim ϕ(x)= 0 .

Достаточно

положить

x→x0

f (x0 )= lim

f (x)= 0 и ϕ(x0 )= lim ϕ(x)= 0 ;

x→x0

1 , получим:

2) теорема верна, если x →∞. Положим x =

′

f (x)

′

−

f ′(x)

lim

= lim

ϕ(x)

′

x→∞

→0

z→0

x→∞ ϕ′(x)

ϕ′

−

3) если производные

f ′(x) и ϕ′(x)

удовлетворяют тем же условиям,

что и функции

f (x)

и ϕ(x),

то теорему 3.1 можно применить еще раз:

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

= lim

f ′′

(x)

и т. д.

ϕ(x)

ϕ′(x)

ϕ′′(x)

x→x0

Пример 3.3. Найти lim

sin 4x

2x −sin 3x

Решение.

x→0

lim

sin 4x

= lim

(sin 4x)′

= lim

4cos 4x

= −4 .

2x −sin 3x

(2x −sin 3x)′

−3cos3x

−3

x→0

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ∞∞

Теорема 3.2. Пусть функции f (x) и ϕ(x) непрерывны и дифферен-

цируемы в окрестности точки x0 (кроме, может быть, точки x0 ), в этой ок-
рестности		lim f (x)= lim ϕ(x)= ∞, ϕ′(x)≠ 0 . Если существует предел
	f ′(x)	x→x0	x→x0				f ′(x)
lim		, то lim	f (x)	= lim					.
	ϕ′(x)		ϕ(x)				ϕ′(x)
x→x0		x→x0			x→x0
	Пример 3.4. Найти				lim	ln x		, где α > 0 .

					x→+∞		xα
									44

Решение.

lim

ln x

∞

= lim

(ln x)′

lim

1 x

= lim

= 0 .

α =

(xα )′

α−1

x→+∞

∞

x→+∞

α x

x→+∞

αx

Замечание. С помощью тождественных преобразований к основ-

или

∞

можно свести неопределенности других видов,

ному виду

∞

таких как 0 ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 , ∞0 , а затем применить правила Лопиталя.

1. Неопределенность 0 ∞ (произведение

f (x)

ϕ(x)), где

(x)→0 ,

ϕ(x)→∞ при

x → x

приводится к виду

или

∞

по формулам:

∞

f (x) ϕ(x)= f (x)

или f (x) ϕ(x)= ϕ(x):

ϕ(x)

(x)

Пример 3.5. Найти lim (x −1) tg

π x .

Решение.

x→1

lim (x −1) tg

π x =[0 ∞]= lim

x −1

= lim

= −

−1

→1

x→1

ctg 2 x

sin

f (x)→∞,

Неопределенность

вида ∞ − ∞,

при

условии,

что

ϕ(x)→0

при

x → x ,

приводится

виду

−

lim (f (x)− ϕ(x))

ϕ(x)

(x)

= lim

−

= lim

(x)

x→x0

x→x0 1 f

ϕ(x)

x→x0

ϕ(x)

f (x)

Пример 3.6. Найти lim

−

−1

Решение.

x→1

x3 −1

2x3 − 2 −3x2

lim

−

[∞ − ∞]= lim

+ 3

x5 − x2 − x3

x→1

x2 −1 x3 −1

x→1

= lim (2x3 − 2 −3x2 + 3)′

= lim

6x2 − 6x

x→1

(

)

x→1 5x4 −3x2 − 2x

− x2 − x3 +1

′

	(	6x2 − 6x ′			12x − 6		6
= lim			)	= lim		=		= 1 .
	(5x4 −3x2 − 2x)′				20x3 − 6x − 2
x→1				x→1		12 2
3. Неопределенности вида 1∞ , 00 , ∞0 , при условиях:
f (x)→1 и ϕ(x)→∞ или				f (x)→∞ и ϕ(x)		→0		или f (x)→0 и
ϕ(x)→0 при x → x0 ,			раскрываются с помощью способа, в котором ис-

пользуется тождество: (f (x))ϕ(x) = eϕ(x)ln f (x).

Неопределенности вида 1∞ , 00 , ∞0 , обозначают условную запись

		если	f (x)→1, ϕ(x)→ ∞, то 1∞,
	ϕ(x)
предела: lim f (x)	ϕ(x)		f (x)→ 0, ϕ(x)→ 0, то 00 ,
предела: lim f (x)		= если	f (x)→ 0, ϕ(x)→ 0, то 00 ,
x→x		если
0			f (x)→ ∞, ϕ(x)→ 0, то ∞0 .
			f (x)→ ∞, ϕ(x)→ 0, то ∞0 .

Пределы находят с помощью предварительного логарифмирования.

Пример 3.7. Найти lim x1−x .

x→1

Решение.

	1	= 1∞		1
Итак, lim x	1−x	= 1∞	. Прологарифмируем	y = x	1−x	, получим:
x→1

1						ln x
ln y = ln x	1−x	, по свойству логарифма: ln y =						.

					1 − x
Применим к правой части равенства правило
		limln y = lim		ln x	= lim		1 x
				1 − x				−1
		x→1	x→1			x→1

Лопиталя:

= −1.

Таким образом, limln y = −1 или lim y = e−1 , или lim x1−x = e−1 .
x→1	x→1	x→1

3.3. Применение производных к исследованию функции одной переменной

Рассмотрим приложения первой и второй производных функции в исследовании и построении графика этой функции.

Интервалы монотонности, экстремумы функции

Определение 3.2. Интервалы, в которых функция только возрастает или только убывает, называются интервалами монотонности функции.

Сформулируем необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема	3.3 (необходимые	условия). Если дифференцируемая
на интервале	(a;b) функция	f (x) возрастает (убывает), то
f ′(x)≥ 0 ( f ′(x)≤ 0) для любого x (a;b).
Теорема 3.4 (достаточные условия). Если функция			f (x)	диффе-
ренцируема на	интервале (a;b)	и f ′(x)> 0 ( f ′(x)< 0)	для	любого

x (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b). Напомним, δ-окрестностью точки x0 называется интервал, для лю-

бой точки которого выполняется неравенство: x − x0 < δ, δ > 0 .

Определение 3.3. Точка x0 называется точкой максимума (мини-

мума) функции f (x), если существует δ-окрестность точки x0 такая, что для всех x этой окрестности выполняется неравенство: f (x)< f (x0 )

(f (x)> f (x0 )).

Значение f (x0 ) называют максимумом (минимумом) функции.

Определение 3.4. Точки максимума или минимума функции назы-

вают точками экстремума функции.

Экстремумы функции носят локальный характер – это наибольшее или наименьшее значения функции по сравнению с близлежащими ее значениями (рис. 3.2 и рис. 3.3)

y			y
f (x0 )			y
f (x0 )
f (x)
			f (x)
			f (x0 )
x − δ x x + δ x			x0 −δ x0 x0 + δ	x
0	0	0
Рис. 3.2. Максимум функции			Рис. 3.3. Минимум функции
Теорема 3.5 (необходимое условие экстремума). Если дифферен-
цируемая функция	y = f (x) имеет экстремум в точке x0 , то ее производ-

ная в этой точке равна нулю f ′(x0 )= 0 или не существует.

Геометрически теорема утверждает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси Ox (рис. 3.4, а)), либо ее вообще нельзя провести (рис. 3.4, б, в).

Таким образом, точки экстремума следует искать среди точек, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Рис. 3.4. Касательная в точках экстремума функции

Пример 3.8. Функция y =sin x при x = π2 имеет максимум, ее произ-

водная равна нулю: y′ = cos x x=π2 = 0 (прил. 1).

Пример 3.9. Функция y = x при x = 0 имеет минимум (рис. 3.5), производная в этой точке не существует:

y = x , при x > 0 , тогда y′ =(x)′ =1 для x > 0 .

y = −x , при x < 0 , тогда y′ =(−x)′ = −1 для x < 0 .

В точке x = 0 направление касательной к графику неопределено.

Рис. 3.5. График функции у = x

Определение 3.5. Точки функции, в которых первая производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точка-

ми I рода.

Экстремальные точки относятся к критическим, но не исчерпывают их, а являются только частью критических точек. Поэтому по необходимому признаку нельзя установить наличие экстремума функции в данной точке.

Теорема 3.6 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y = f (x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности критиче-

ской точки x0 и при переходе через нее (слева направо) производная f ′(x) меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума; с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Итак, чтобы найти экстремальные точки функции одного переменного необходимо:

1)найти ее первую производную;

2)определить критические точки I рода: найти значения аргумента, где первая производная равна нулю или не существует;

3)исследовать найденные в п. 2 критические точки на экстремум

спомощью достаточного признака.

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема 3.7. Если в точке x0 первая производная функции f (x) равна нулю (f ′(x0 )= 0), а вторая производная в точке x0 существует и отлична от нуля (f ′′(x0 )≠ 0), то при f ′′(x0 )< 0 в точке x0 функция имеет максимум и минимум при f ′′(x0 )> 0 .

Пример 3.10. Найти экстремумы функции y =(x −1)2 (x −5).

Решение.

Первая производная:

y′ = 2(x −1)(x −5)+ (x −1)2 1 =(x −1)(2x −10 + x −1)=(x −1)(3x −11).

		Критические точки:									11 .
				y′ = 0 (x −1)(3x −11)= 0 x1					=1, x2	=	11 .
		Вторая производная в произвольной точке:									3
		Вторая производная в произвольной точке:
		((	)(	′	(	)	(	)
	′′	((	)(	))	(	)	(	)
y	′′	= x −1 3x −11 =1			3x −11		+ x	−1 3 =3x	−11 + 3x −3 = 6x −14 .
y		= x −1 3x −11 =1			3x −11		+ x	−1 3 =3x	−11 + 3x −3 = 6x −14 .

Значение второй производной в критических точках:

′′

= 6x −14

= −8 ;

′′

= 6x −14

x=1

= 6 3 −14 = 22 −14 =8 .

При x =1 функция имеет максимум, при x =113 функция имеет минимум.

Выпуклость, вогнутость графика, точки перегиба

Если функция y = f (x) дифференцируемая на [a;b], это значит, что на ее графике нет изломов и заострений.

Определение 3.6. График дифференцируемой функции y = f (x) на-

зывается выпуклым (выпуклым вверх) на интервале (a;b), если дуга кри-

вой на этом интервале расположена ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке x (a;b) (рис. 3.6), в противном случае гра-

фик функции называется вогнутым (выпуклый вниз) на интервале (a;b)

(рис. 3.7).

y y = f(x)

a x0

x1 b

Рис. 3.6. Выпуклость функции на интервале

y = f(x)

0 a x0 x1 b x

Рис. 3.7. Вогнутость функции на интервале

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]