Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

2. Пусть функция одной переменной задана параметрически:

собой траекторию движения точки на плоскости. Вектор скорости этой точки v(t) = x′(t)i + y′(t) j направлен по касательной к траектории, так как tg α = xy′′((tt)) = f ′(x) .

21

Решение.

Дифференцируя, получаем:

x (t )= 2(t −sin t ),

Пример 1.17. Пусть задана кривая

y (t )= 2(1 −cos t ).

Решение.

Найдем вектор скорости точки, движущейся по кривой (рис. 1.6).

Рис. 1.6. График кривой из примера 1.17

Вычислим производные:

в момент времени t .

Вектор скорости в каждой точке направлен по касательной к кривой. Производная функции задает тангенс угла наклона касательной в каждой точке траектории:

tg α = xy′′((tt)) = 2(1 −cos t) .

3. Производную функции одной переменной в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно пролога-

рифмировать.

22

Определение 1.6. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования, а затем дифференцирования,

получила название метода логарифмического дифференцирования.

Алгоритм вычисления производных методом логарифмического дифференцирования

1. Логарифмируем обе части уравнения по основанию e . Если y = f (x), то ln y = ln f (x).

2. Дифференцируем обе части полученного равенства. Функцию ln y при дифференцировании рассматриваем как сложную функцию независи-

мой переменной x , а y – это промежуточный аргумент и (ln y)′x = 1y y′.

3. Заменяем y его выражением через x и определяем y′.

Метод логарифмического дифференцирования полезно применять, когда заданная функция содержит следующие опереации: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Определение 1.7. Функция y =uv , у которой u =u (x) – основание и v = v(x) – показатель степени являются функциями независимой перемен-

ной x , называется показательно-степенной.

Производные таких функций также вычисляются методом логарифмического дифференцирования, с помощью которого получена формула

(uv )′ =uv ln u v′+ v uv−1 u′.

На практике, при вычислении производных можно пользоваться этой формулой.

Пример 1.18. Найти yx′, если y =(cos x)2x .

Решение.

Первый способ. Применяя метод логарифмического дифференцирования.

23

1.3. Свойства дифференцируемых функций одной переменной

Сформулируем важные свойства дифференцируемых функций.

1.Если функция имеет конечную производную в точке, то она дифференцируема в этой точке.

2.Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она дифференцируема в этом интервале.

3.Теорема 1.6. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Доказательство. По условию функция y = f (x) дифференцируе-

При x →0 на основании свойств бесконечно малых устанавливаем, что y →0 и, следовательно, функция непрерывна в данной точке.

Замечание. Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной.

24

Пример 1.19. Функция y = 3 x непрерывна на интервале (−∞;∞) (рис. 1.7). Указать точки, в которых производная функции не существует.

y

1

В точке x = 0 производная не существует, следовательно, исходная функция не дифференцируема в этой точке.

Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения

Теорема 1.7 (Лагранжа). Если функция f (x) непрерывна на отрезке

Доказательство. Через точки A(a; f (a)) и B(b; f (b)) графика данной функции проведем секущую AB (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Секущая AB к графику функции f (x)

25

Замечание (геометрический смысл теоремы Лагранжа). Если дуга AB в каждой своей точке имеет касательную, то между точками A и B найдется такая точка С, касательная к которой параллельна хорде AB , стягивающей концы интервала (a;b).

Приращение функции y = f (x) на отрезке [a;b] равно производной

этой функции, взятой во внутренней точке интервала a < c <b , умноженной на длину интервала.

Определение 1.8. Нулем функции y = f (x) называется такое значение x = x0 ее аргумента, при котором эта функция обращается в нуль. Гео-

метрически нуль функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает ось Ox или касается ее.

Теорема 1.8 (Ролля). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и на концах интервала зна-

чения функции равны между собой, то внутри интервала найдется хотя бы одна точка, в которой производная равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Пусть f (a) = f (b) = f (x) = const , тогда f ′(x) = c′= 0 (рис. 1.9).

y

c

Рис. 1.9. График функции у = c, заданной на [а; b]

26

2. Пусть f (x) ≠ f (a) = f (b) , т. е. значения функции внутри интервала

отличны от ее значений на концах интервала. Поскольку функция непрерывна в замкнутом интервале, то на основании свойства непрерывной функции, она принимает хотя бы один раз наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a;b]. Пусть функция такова, что она в некоторой точке

x = c имеет наибольшее значение (рис. 1.10).

y

дифференцируема во всех внутренних точках, то левый и правый пределы должны быть равны между собой, а это может быть только в том случае, если f ′(c) = 0 . Теорема доказана.

Замечание (геометрический смысл теоремы Ролля). Если функция непрерывна в замкнутом интервале и дифференцируема во всех внутренних точках интервала и значения функции на концах интервала равны между собой, то найдется хотя бы одна точка внутри интервала, где касательная будет параллельна оси Ox .

Если нарушается хотя бы одно условие теоремы Ролля, то ее утверждение становится неверным.

Теорема 1.9 (Коши). Если y = f (x) и y = ϕ(x) – две функции, непрерывные на отрезке [a;b] и дифференцируемые в интервале (a;b),

27

причем ϕ′(x) ≠ 0 для любого x (a;b), то между a и b найдется такая точ-

знаменатель в левой части равенства отличен от нуля. Допустим против-

руема в интервале (a;b), так как в нем дифференцируемы функции f (x) и

ϕ(x) : F′(x) = f ′(x) − f (b) − f (a) ϕ′(x) . ϕ(b) − ϕ(a)

F (x) непрерывна на отрезке [a;b], поскольку на нем непрерывны функции f (x) и ϕ(x) . На концах отрезка [a;b] функция F(x) обращается

вует во всех точках, кроме точки x = 0 . Эта точка внутренняя, поэтому не выполняется условие: функция дифференцируема на интервале (a;b). Зна-

чит, теорема Ролля к данной функции неприменима. Действительно, на отрезке [−1;1] f ′(x)≠ 0 .

28

Пример 1.21. Удовлетворяет ли условиям теоремы Лагранжа функция f (x)=5x2 −3 на отрезке [0;2]? Если да, то найти точку c , удовлетво-

ϕ(x)= x3 − 4x2 + 5x − 20 удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1;4] и найти соответствующее значение c .

Решение.

Функции f (x)= 2x2 − x + 3 и ϕ(x)= x3 − 4x2 + 5x − 20 определены и непрерывны на отрезке [1;4]. Найдем их производные: f ′(x)= 4x −1 и ϕ′(x)=3x2 −8x + 5 . Производные конечны, значит функции дифференцируемы в (1;4). Значит, они удовлетворяют условиям теоремы Коши.

81c2 − 216c +135 = 72c −18 81c2 − 288c +153 = 0 .

29

Из последнего уравнения найдем два значения c : c1 ≈ 0,65 и c2 ≈ 2,9 . Из этих двух значений только c2 ≈ 2,9 является внутренней точкой отрезка [1;4]. Значит, искомое значение c ≈ 2,9 .

1.4. Производные высших порядков

Производные высших порядков функции, заданной явно

Рассмотрим функцию одной переменной заданную явно: y = f (x) . Производная этой функции y′ = f ′(x) зависит от координаты точки,

в которой она вычисляется, т. е. является также функцией от x . Поэтому от нее можно снова взять производную.

Производная, взятая от первой, называется производной второго порядка (если функция y′ = f ′(x) дифференцируема); производная, взятая

от производной второго порядка, называется производной третьего по-

рядка и т. д.:

y′ = f ′(x); y′′ = f ′′(x);

………………

y(n) = f (n) (x).

Определение 1.9. Производной п-го порядка называется производ-

ная, взятая от производной (n −1)-го порядка.

Пример 1.23. Найти производную п-го порядка от функции y = ln x .

Решение.

y′ = 1x ;

y′′ =1 x(−2 1) = − x12 ;

y′′′ =1 (−1) (−2) = 2 ; x3 x3

y(4) =1 (−1) (−2) (−3) = −6 ; x4 x

30