Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение функции нескольких переменных, ее области определения.

2.Приведите примеры функции двух, трех, п переменных.

3.Что представляет собой область определения функции двух пере-

менных?

4.Каково геометрическое изображение функции двух переменных?

5.Дайте определениелинии, поверхности уровня, приведите примеры.

6.Как определяется предел в точке функции двух переменных? Сформулируйте его свойства.

7.Сформулируйте понятие непрерывности функции двух переменных в точке.

5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

5.1. Частные производные первого и второго порядков функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x, y) . Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например, y , т. е. y −const , тогда функция будет функцией одной переменной х. Придадим этой переменной в точке M (x; y) приращение x , тогда функция z = f (x, y) примет приращение

x z = f (x + x, y)− f (x, y),

которое называется частным приращением функции z по х в точке

M (x; y). Зафиксируем теперь аргумент x , т. е. x −const , тогда функция z = f (x, y) будет функцией одной переменной y . Придадим этой переменной в точке M (x; y) приращение y , тогда функция z = f (x, y) примет приращение

y z = f (x, y + y)− f (x, y),

которое называется частным приращением функции z по y в точке

M (x; y).

Рассматривая изменение z в зависимости от изменения одного из аргументов, мы, фактически, переходим к функции одной переменной.

71

Определение 5.1. Частной производной по х от функции z = f (x, y)

вается конечный предел отношения частного приращения y z по у к при-

Частная производная по y обозначается одним из символов: ∂∂yz , z′y ,

fy′(x, y).

При нахождении частной производной функции нескольких пе-

ременных пользуются правилом: чтобы найти производную функции по одной из ее переменных нужно все остальные переменные считать постоянными и дифференцировать функцию по тем же правилам и формулам, по которым вычисляется производная функции одной переменной.

Пример 5.1. Найти частные производные по переменным x и y следующих функций:

а) z = x2 −3xy − 4 y2 − x + 2 y +1;

б) z = ex2 +y2 .

Решение.

а) рассматривая у как постоянную величину и учитывая, что производная от постоянной равна нулю, получим:

∂∂xz = 2x −3y −1.

Рассматривая х как постоянную величину, найдем

Дифференцируя производную ∂∂xz сначала по х, затем по у, получим:

74

результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Для нахождения частных производных ∂∂xz и ∂∂yz неявной функции,

Частные производные найдены.

75

5.2. Полный дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x, y). Придадим аргументам х и у приращения ∆х и ∆у. Тогда функция z = f (x, y) получит полное приращение ∆z, равное:

мой в точке M (x; y), если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде

где А, В – величины, не зависящие от ∆х и ∆у; o(ρ) – бесконечно малая ве-

личина более высокого порядка малости, чем ρ = ( x)2 + ( y)2 .

x, y→0

Сумма первых двух слагаемых равенства (2) представляет собой

главную часть приращения функции двух переменных.

Определение 5.3. Полным дифференциалом dz функции z = f (x, y)

Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные в точке M (x, y), то она дифференцируема в этой точке и ее дифференциал

равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

76

Пример 5.4. Найти полный дифференциал функции z = arctg xx +− yy .

Решение.

Найдем частные производные:

По формуле (3) получим:

Определение 5.4. Дифференциалом второго порядка d 2 z функции z = f (x, y) называется дифференциал от дифференциала первого порядка

этой функции, которая рассматривается как функция переменных x и y при фиксированных значениях dx и dy . Справедлива формула:

d 2 z = ∂2 x dx2 + 2 ∂2 z dxdy + ∂2 z dy2 .

∂x2 ∂x∂y ∂y2

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Найти частные производные первого и второго порядка для

5.2. Доказать, что:

а) функция z = ln(x2 + xy + y2 ) удовлетворяет уравнению в частных производных первого порядка x ∂∂xz + y ∂∂zy = 2 ;

77

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение частного приращения функции нескольких переменных.

2.Дайте определение частных производных первого и второго по-

рядков.

3.Дайте понятие дифференцируемости функции нескольких переменных, полного дифференциала. Какова связь между этими понятиями?

4.Запишите частные дифференциалы, формулу полного дифференциала 1-го и 2-го порядков для функции двух переменных.

6.ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИИ

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

6.1.Линеаризация. Уравнения касательной плоскости

инормали к поверхности

При малых приращениях аргументов x и y полное приращение функции z с точностью до бесконечно малой более высокого порядка,

Итак,

1,073,97 ≈1 + 4(1,07 −1)+ 0 (3,97 − 4)=1 + 0,28 =1,28 .

Обозначим z0 = f (x0 , y0 ) и рассмотрим линейную функцию, стоящую в правой части равенства (4):

кость, проходящую через точку (x0 ; y0 ; z0 ). Эта плоскость называется ка-

сательной плоскостью к поверхности z = f (x, y) в точке M0 (x0 ; y0 ; z0 ).

Касательной плоскости принадлежат касательные к всевозможным кривым, лежащим на поверхности z = f (x, y) и проходящим через эту

точку.

79

Таким образом, геометрически линеаризация функции z = f (x, y)

в точке M0 (x0 , y0 ) означает замену поверхности z = f (x, y) в окрестности точки (x0 ; y0 ; z0 ) касательной плоскостью, проведенной к этой поверхности в указанной точке.

Определение 6.2. Нормалью к поверхности называют прямую, проходящую перпендикулярно касательной плоскости, через точку касания. Уравнение нормали к поверхности z = f (x, y) имеет вид

касательной плоскости и нормали к поверхности в этой точке.

Решение.

Выясним, какая из точек A(2;1;3) и B(1;1;1) принадлежит поверхно-

поверхности.

Составим уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке B .

Уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке (x0 , y0 , z0 ) имеет вид (5).

Найдем частные производные функции z = x2 − 2xy + y2 − x + 2 y :

80