Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стацио-

zmin = −2 .

Рассмотренный экстремум функции называют безусловным, так как на аргументы функции не налагаются никакие ограничения (условия).

Определение 7.3. Наибольшее (наименьшее) значение функции

(глобальный максимум (минимум)) функции z = f (x, y) в замкнутой об-

ласти определяется как наибольшее (наименьшее) значение функции из ее значений в критических точках внутри области и на ее границе.

Функция z = f (x, y), заданная на выпуклом множестве (множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками

Экстремум выпуклой функции является глобальным: наименьшим значением в случае функции, выпуклой вниз и наибольшим значением, в случае функции, выпуклой вверх.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции z = f (x, y) в замкнутой ограниченной области G.

1.Найти область определения D(f) функции и проверить, лежит ли область G в D(f).

2.Найти критические точки функции и отобрать из них принадлежащие области G (внутренние критические точки).

На каждом из участков границы, используя его уравнение, найти

91

критические точки, записав функцию как функцию одной переменной, исключив вторую переменную с помощью уравнением рассматриваемого участка границы. При этом нужно отобрать только те точки, которые принадлежат границе (граничные критические точки).

3. Найти «угловые» точки, т. е. точки соединения отдельных участков границы. Вычислить значения функции z = f (x, y) во всех получен-

ных точках и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Замечание. Если область ограничена одной замкнутой линией, то, в случае действий по указанному алгоритму, к угловым точкам следует отнести точки, соответствующие концам отрезка изменения переменной,

относительно которой на данной кривой записана заданная функция. Придерживаясь следующего алгоритма можно графически найти

наибольшее и наименьшее значения функции z = f (х, у) в области G.

1.Построить область G.

2.Построить серию линий уровня функции z = f (х, у) при различ-

ных значениях С и исследовать поведение линий уровня при возрастании и при убывании С.

3.Найти точки области G, через которые проходит линия уровня

ссамым большим и самым маленьким возможными значениями С.

4.Указать значения функции в этих точках, это и будут М и т:

–9 A

Рис. 7.1. Рисунок к примеру 7.2 92

ская внутренняя точка области D.

Вычислим значение функции в этой точке: zM = −12 .

2. Граница области образована линиями ОА, ОВ, АВ. Уравнение ОА: x = 0 . На этом участке границы:

z = f (0, y)= y2 + 6 y и −9 ≤ y ≤ 0 .

Находим критические точки этой функции:

z′у = 2 y + 6 = 0 и y = −3 (−9;0).

Вычислим значения: z(0,−3)= −9, z (0,−9)= 27, z(0,0)= 0.

Аналогично рассмотрим участки границы ОВ и АВ.

наименьшее значения:

наибольшее значение: z =81 при x = 9 , y = 0 . наименьшее значение: z = −12 при x = 2, y = −4 .

7.2. Условный экстремум

В математике и ее приложениях часто приходится отыскивать экстремумы (максимумы и минимумы) функции, аргументы которой удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, эти условия называют условиями связи, а такие экстремумы называют условными.

Рассмотрим функции z = f (x, y) двух переменных, причем эти переменные удовлетворяют уравнению связи ϕ(x, y)= 0 . Если уравнение

93

связи одно ϕ(x, y) = 0 , то отыскание условного экстремума означает, что

экстремум ищется не во всей области определения функции, а на некоторой кривой ϕ(x, y) = 0 , лежащей в области определения D(f) (находятся не

самые высокие или самые низкие точки поверхности z = f (x, y), а наибо-

лее высокие или низкие точки среди точек пересечения этой поверхности с кривой ϕ(x, y) = 0 ).

Алгоритм отыскания условного экстремума

Первый способ (метод исключения). Из уравнения ϕ(x, y)= 0 нуж-

но выразить одну из переменных как функцию другой, подставить это значение переменной в функцию z = f (x, y) и записать ее как функцию одной

переменной. Найти полученный экстремум функции одной переменной.

Второй способ (метод множителей Лагранжа):

1) составить функцию Лагранжа F (x, y,λ)= f (x, y)+ λ ϕ(x, y), где

λ– число – множитель Лагранжа;

2)найти безусловный экстремум составленной функции. Необходимые условия существования экстремума:

∂∂Fx = 0,

∂∂Fy = 0,

ϕ(x, y)= 0.

Достаточные условия существования экстремума в точке M0 : Необходимо исследовать знак второго дифференциала функции

симум; 3) точки, в которых функция Лагранжа имеет безусловный экстре-

мум, являются точками одноименного условного экстремума функции z = f (x, y).

94

Пример 7.3. Найти экстремум функции z = 1x + 1y , при условии, что x

и y связаны уравнением x + y = 2.

Решение.

Составим функцию Лагранжа u = 1x + 1y + λ(x + y − 2).

Найдем частные производные 1-го порядка для данной функции:

∂∂ux = − x12 + λ и ∂∂uy = − y12 + λ.

Из системы уравнений (необходимые условия экстремумов)

находим λ = 1, x = 1, y = 1.

Найдем вторые частные производные и их значения в точке P(1;1) для функции Лагранжа:

Если = 2 2 − 0 = 4 > 0 и при этом А = 2 > 0, следовательно, при данном уравнении связи zmin = 2 .

Прикладные задачи

Пример 7.4. При каких размерах прямоугольного бассейна вместимости V на облицовку его стен и дна потребуется наименьшее количество материала? Найти площадь облицовочной поверхности.

Решение.

Прямоугольный бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, т. е. V = xyz. Размеры бассейна неизвестны, поэтому обозначим их

через x, y, z, где z – глубина, тогда z = xyV .

Выясним, какими должны быть соотношения между размерами бассейна, чтобы на облицовку стен было израсходовано наименьшее количество материала.

95

Площадь поверхности бассейна равна:

Чтобы найти размеры бассейна, при которых на облицовку его стен потребуется минимальное количество материала, необходимо найти минимум функции S(x;y). Для нахождения минимума функции необходимо найти Sx′ и Sy′ : Sx′ = −2xV2 + y и S′y = −2yV2 + x .

Найдем решение системы:

−2V + y = 0

x2

−2V + x = 0

y2

Выразим из первого уравнения y = 2xV2 и подставим во второе урав-

нение системы:

Критическая точка: x = y = 3 2V .

Проверим выполнение достаточных условий экстремума:

глубину бассейна: z = xyV = 3 22V . Найдем минимальную площадь поверх-

ности бассейна: Smin =33 4V 2 .

96

Итак, прямоугольный бассейн вместимости V, на облицовку которого потребуется минимальное количество материала, имеет квадратное дно

и глубину, вдвое меньшую стороны квадратного дна: Smin =33 4V 2 м2.

Пример 7.5. Из круглого бревна диаметра d выпиливают фигурный симметричный брус (рис. 7.2). Известно, что OD =OC = a ; DA = BC =b . Каким должно быть соотношение между размерами a и b, чтобы площадь сечения бруса была максимальной?

Решение.

1. Обозначим: d2 = OB = r, OA = a, OD = a, EF = b, AB = b.

Рис. 7.2. Фигурный брус

2. Найдем площадь бруса.

Рассмотрим шестиугольник OABFCD – его площадь является четверной частью площади сечения бруса. Найдем площадь шестиугольника, а затем площадь фигурного бруса.

Площадь шестиугольника OABFCD равна:

S = ab + b(a − b) = 2ab − b2 ,

r2 −b2

Далее S′(b) = 0:

r2 − 2b2 −b r2 −b2 = 0,

97

b r2 −b2 = r2 − 2b2 ,

b2 (r2 −b2 )= (r2 − 2b2 )2 ,

b2r2 −b4 = r4 − 4b2r2 + 4b4 , 5b4 −5b2r2 + r4 = 0.

Учитывая условие задачи, рассмотрим только положительные реше-

6. Проверим, что найденные размеры соответствуют максимальной площада. Найдем S′′(b) , вторая производная отрицательна – найденные

размеры бруса соответствуют максимальной площади его сечения. Пример 7.6. Из прямоугольных треугольников с заданной площа-

дью S найти треугольник, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение. Обозначим за x и y катеты треугольника, за z – гипотенуза. По теореме Пифагора z2 = x2 + y2 . Площадь прямоугольного тре-

угольника находится по формуле S = xy2 . Задача сводится к нахождению

наименьшего значения функции z2 = x2 + y2 при условии, что xy2 = S или

xy − 2S = 0 .

Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа: F (x, y,λ)= x2 + y2 + λ(xy − 2S ) и найдем безусловный экстремум функции F (x, y,λ).

описывает эмпирическую зависимость (для которой эти отклонения – наименьшие).

Одним из методов решения такой задачи является метод наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов

Пусть формула y = f (x,a,b,c,...) выбрана в качестве эмпирической. Рассмотрим сумму квадратов разностей экспериментальных значений yi и значений аппроксимирующей функции f (x,a,b,c,...) в соответствующих точках xi :

n

S (a,b,c,...)= ∑(yi − f (xi ,a,b,c,...))2 .

i=1

Подберем параметры a, b, с ... так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение:

n

S (a,b,c,...)= ∑(yi − f (xi ,a,b,c,...))2 → min .

i=1

Задача свелась к отысканию таких значений параметров a, b, с ... , при которых функция S (a,b,c,...) имеет минимум.

Функция нескольких переменных S (a,b,c,...) имеет экстремум в точках, где ее частные производные первого порядка по всем аргументам

В развернутом виде эти условия имеют вид

100