Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

d (u (x) v(x))= v(x) d (u (x))+ u (x) d (v(x)) – дифференциал

произведения;

v(x) d (u (x))−u (x) d (v(x))

– дифференциалчастного.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Как видно, у значений производных чередуется знак, и значение числителя дроби есть значение факториала порядка производной минус единица. Таким образом, производная п-го порядка заданной функции определяется формулой:

				………………………………………
y	(n)	=	1 (−1) (−2) (−3) … (−(n −1))		=	(−1)n−1	(n −1)!	.
				xn		xn

Производные высших порядков функции, заданной неявно

Пусть функция одной переменной задана в неявном виде, т. е. уравнением: F (x; y)= 0 . Нужно найти yx(n).

Первую производную от неявной функции можно найти по формуле:

y′x = − Fx′′ .

Так как первая производная y′x выражается через неявную функцию, то при ее повторном дифференцировании нужно учитывать, что y = y (x).

Пример 1.24. Найти yx′′ для функции x2 + y2 = 4 .

Решение.

Найдем производную по формуле:

F′

(x2 + y2 − 4)′

′

= −

Fy′

(x2 + y2 − 4)′y

2 y

Продифференцируем обе части полученного равенства по x , учиты-

′

− x

′

вая, что y = y(x). Получаем:

′′

= −

xx y

= −

y − yx

. Подставим

значение

′

найденное

соотношение,

получим:

yx = −

y +

y2 + x2

′′

, так как x + y

= −

4 , то yx

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция y = f (x) задана параметрическими уравнениями:

x = x(t ),

y = y (t ).

Первая производная yx′ находится по формуле: yx′ = yt′((t)) и является xt′ t

функцией параметра t . Чтобы найти вторую производную y′′x , нужно

от первой взять производную по x . Так как первая производная зависит от параметра t , то будем считать, что параметр t является промежуточным аргументом, зависящим от x , т. е. t =t (x). Найдем производную по x

′

(t )

′

от первой производной, как от сложной функции:

y′′

t′ , так как

(t )

y′(t )

xt′

′

, то

′′

′

yx =

xt′(t )

=(yx (t ))

tx .

Поскольку

t =t (x)

является обратной для функции x = x(t ), то ее

производная tx′ =

. Подставляя значение tx′ в приведенную выше форму-

xt′

(yx′ (t ))′

лу, получим:

′′

yx =

xt′

(yx′′(t ))′

Аналогично находим третью производную:

′′′

yx =

xt′

Пример 1.25. Дана функция y =sin t,

. Найти yx′′.

Решение.

x = cost.

(sin t )′

cos t

Первая производная:

′

= −ctg t .

(cos t )′

= −sin t

yx =

Вторая производная:

′

(yx )

′′

′

=(−ctg t )

= −

=(yx )

−sin t

sin3 t

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Найти производные следующих функций путем вычисления

предела lim y .

x→0 x

а) y =3x2 − 4x ; б) y = cos3x ; в) y = x12 ;

г) y = 4x +1 .

1.2. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования найти производные следующих функций:

а) y = x + 3x2 −

;

б)

y = x

+ 3x

−

;

в) y =( x − a )2 ;

г)

f (x) =

;

д) z =

cost

вычислить при t =

π;

−sin t

е)

y = ln cos3x ;

ж)

y = x

1 − x2

+ arctg

, вычислить y′(0).

1 − x

1.3. Удовлетворяет

ли условиям теоремы Ролля функция

f(x)= x4 + x2 − 7 на отрезке [−2;2].

1.4.Выполняется ли теорема Ролля для функции f (x)= 3 8x − x2 , если a = 0, b =8 ? При каком значении c ?

1.5.Удовлетворяет ли условиям теоремы Лагранжа функция f (x) на

отрезке [a;b]? Если да, то найти точку c , удовлетворяющую условию f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a), (a < c <b) .

а) f (x)=3x2 + 4x + 3 на отрезке [0;3]; б) f (x)= ln x на отрезке [1;3].

1.6. Показать, что функции f (x) и ϕ(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [a;b] и найти соответствующее значение c .

f (x)= x2 − 2x + 3; ϕ(x)= x3 − 7x2 + 20x −5 ; a =1; b = 4

1.7. Найти производную функции y , заданной неявно:

а) 2 + exy − cos(x2 + y2 )= 0 ;

б) ln xy + 5 = x2 + y2 .

1.8. Найти производную функции, заданной параметрически:

а)

б)

	3	+ 3t,
x =t		+ 3t,			;
			+	5t + 4;	;
y = 2t2			+	5t + 4;

x = t −sin t,y =1 −cos t.

1.9. Найти производные следующих функций:

а) y = xln x ;

б) y = (tg x)cos x .

1.10. Для данных функций найти производные указанного порядка:

а) y = x5 − 7x3 + 2 ; y′′′=?

б) x =(2 p −1)5 ; x(4) (3)=?

в) y = ln cos x; y′′=?

г) f (x)= xex , f ′′′(x)=?

1.11. Найти yxx′′ для следующих функций, заданных неявно:

а) y2 + x = 6 y ; б) ey = 4x − 7 y .

′′	x = t3	,
1.12. Найти yxx для функции, заданной параметрически:
	y = ln t.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение производной функции одной переменной. Каков геометрический и механический смысл производной?

2.Запишите основные правила нахождения производной.

3.Какая функция называется дифференцируемой? Всякая ли дифференцируемая функция непрерывна?

4.Всякая ли непрерывная функция дифференцируема?

5.Дайте определение функции, заданной неявно, параметрически. Как найти ее производную первого порядка?

6.В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?

7.Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Укажите их геометрический смысл.

8.Сформулируйте теорему Коши.

9.Дайте определение производной второго, третьего и т. д. порядков функции одной переменной.

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Понятие дифференциала функции

Понятие дифференциала функции связано с понятием производной.

Рассмотрим функцию

y = f (x), имеющую в точке x0

отличную

от нуля производную:

lim

f ′(x0 )≠ 0 . Приращение функции можно

f (x

x→0

)

x + o(

x).

записать в виде:

)= f ′(x

Приращение функции

y представляет собой сумму двух слагаемых,

являющихся бесконечно малыми при

x →0 . Заметим,

что

f ′(x

) x

бесконечно

малая

функция

одного

порядка

x ,

так

как

f ′(x

)

f ′(x0 )≠ 0 , а o(

x) – функция более высокого порядка,

lim

x→0

чем x .

f ′(x0 ) x

называется

главной

частью приращения

Слагаемое

функции

y .

Определение 2.1. Дифференциалом функции y = f (x) в точке x

называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy или df (x).

Итак, dy = f ′(x) x . Дифференциал dy называется еще дифференциалом

первого порядка.

Замечание. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = x . В самом деле, так как dy = f ′(x) x

и y′ = x′=1, то dy = dx = x .

Определение 2.2. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

dy = f

′

(x)dx = y dx .

Так как dy = f ′(x)dx , то f ′(x)= dy

–

отношение дифференциалов

df (x)

dy и dx , а производная функции имеет еще несколько обозначений:

или

f (x).

Пример 2.1. Найти дифференциал функции y = ex3 .

Решение.

′

)dx =3x

dx .

По формуле dy = y dx находим: dy =

Пример 2.2. Найти полное приращение функции

y = 2x3 + 3x2 + 6x

и ее дифференциал при x =1.

Решение.

Полное приращение запишем в виде

y = f (x + x)− f (x)= 2(x + x)3 + 3(x + x)2 + 6(x + x)− 2x3 −3x2 − 6x .

Преобразуем это выражение:

y = 2(x3 +3x2 x +3x x2 + x3 )+3(x2 + 2x x + x2 )+ 6(x + x)− −2x3 −3x2 −6x = 2x3 + 6x2 x + 6x x2 + 2 x3 +3x2 + 6x x +3 x2 + +6x + 6 x − 2x3 −3x2 −6x = 6x2 x + 6x x2 + 2 x3 + 6x x +3 x2 + 6 x.

Итак, y = 6(x2 + x +1) x + (6x + 3) x2 + 2 x3 .

По	(x	определению		найдем	полный	дифференциал:
′		2	+ x +1)dx .	Подставив	x =1,	получим,
dy = y dx = 6

y x=1 =18 x + 9 x2 + 2 x3 и dy x=1 =18 x .

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график функции y = f (x) (рис. 2.1).

Проведем к графику функции в точке M (x; y) касательную MT . Рассмотрим ординату этой касательной для точки x + x , заметим, что

= x ,

AM1

y . Рассмотрим прямоугольный треугольник MAB ,

в котором

tg α =

, т. е.

= tg α x . Так как tg α = f ′(x) – геомет-

рический смысл производной, то AB = f ′(x) x .

	y			y = f(x)
				y = f(x)
y +	y		M1	B	T
y +	y

	y	M	α	dy
				A

x+ x

Рис. 2.1. Геометрическая иллюстрация дифференциала функции

Из формул AB = f ′(x) x и dy = f ′(x) x получаем, что dy = AB . Возможны три случая: dy < y , dy > y и dy = y = 0 – если функция

равна постоянной.

Итак, дифференциал функции y = f (x) в точке x равен приращению

ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение x .

Механический смысл дифференциала

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение точки, осуществляющееся по закону S = f (t ), где S – длина пути, t – время. Прира-

щенному моменту времени t +	t соответствует приращенное значение
пути: S + S = f (t + t ). Тогда	S = f (t + t )− f (t ). Эта формула выра-

жает истинное приращение пути за промежуток времени t .

Вычислим дифференциал пути. Так как S′ = f ′(t )= v(t ) – скорость в момент t , то dS = S′(t )dt = f ′(t )dt = v(t )dt или dS = v(t )dt .

Итак, дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени t , точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Нахождение дифференциала

Поскольку в выражение для дифференциала входит производная, то

правила его вычисления используют правила вычисления производной:
1)	d (C )=C′	x = 0 , если y =C – постоянная;
2)	d (x)= x′	x ; dx = x – дифференциал линейной функции y = x ра-

вен приращению этой функции (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением);

3) d (u (x)+ v(x))= d (u (x))+ d (v(x)) – дифференциал суммы;

Дифференциал сложной функции одной переменной. Инвариантность формы

Теорема 2.1. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Доказательство. Пусть y = f (ϕ(x)) – сложная функция, где y = f (u) и u = ϕ(x) (у и u – две дифференцируемые функции). По теореме

о производной сложной функции:		′	′	′	Умножим обе части этого
		yx	= yu ux .
′	′	′		Так	′	= dy ,	′
равенства на dx , тогда yx dx = yu ux dx .					как yx dx		ux dx = du,

получаем: dy = yu′du .

Определение 2.3. dy = yx′dx и dy = yu′du – форма дифференциала

не изменилась (первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией одного аргумента). Такое свойство диф-

ференциала называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Замечание: dx = x , так как x – независимая переменная; du ≠ u , так как u – функция от x .

2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Линеаризация функций

Приращение любой дифференцируемой функции приближенно с большой точностью можно вычислить при помощи равенства: y ≈ dy

(при достаточно малых значениях x ).

Вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее приращения, поэтому это приближенное равенство применяется при приближенных вычислениях.

Вычислить значение функции y = f (x) в точке x , если известно

значение функции и ее производной в точке x0 , достаточно близкой к точ-
ке x , можно по формуле:			f (x)≈ f (x )+ f ′(x ) x . Эта формула называет-
			0	0
ся формулой	линеаризации функции			y = f (x) и	позволяет	в малой
окрестности	точки x0 любую дифференцируемую				функцию	y = f (x)
представить	линейной		комбинацией	y = kx + b ,	где k = f ′(x ),
а b = f (x )−	f ′(x	) x .				0
а b = f (x )−	f ′(x	) x .
0	0	0
Геометрически линеаризация соответствует замене участка кривой

y = f (x), примыкающего к точке				(x0 ; f (x0 )), отрезком касательной к кри-
вой в этой точке: y = f (x )+ f ′(x				) (x − x ).
		0	0		0
Действительно, уравнение прямой с угловым коэффициентом k ,
проходящей через точку (x0 ; y0 )			имеет вид y = y0 + k (x − x0 ). В случае ка-
сательной y	= f (x	), k = f ′(x	)	(подробно об		уравнении	касательной
0	0	0
к кривой будет рассмотрено в п. 3.1).
Для простоты возьмем x0 = 0 и ограничимся малыми значениями x ,
тогда приближенная формула запишется в виде: f (x)≈ f (0)+ f ′(0) x .
Пусть	f (x)=(1 + x)μ ,			тогда	(1 + x)μ ≈1 + μx ,		так	как
f (0)=(1 + 0)μ =1μ =1, f ′(x)=μ (1 + x)μ−1 , f ′(0)=μ.
Подставим в f (x)≈ f (0)+ f ′(0) x					вместо	f (x) различные элемен-
тарные функции и получим следующие приближенные равенства:
1 + x ≈1	+ 1 x ;	ex ≈1 + x ;	ln (1 + x)≈ x ;			sin x ≈ x ;	tg x ≈ x .
	2
				39

Пример 2.3.	Вычислить			приближенно	приращение	функции
y = x2 + 5x −8 при изменении x от значения 2 к значению 2,02.
Решение.		x
Для достаточно	малых	x		имеет место	приближенная	формула:
	′			′
	′	=(x	2	+ 5x −8) dx =	(2x + 5)dx .
y ≈ dy . Найдем dy : dy = y dx		=(x		+ 5x −8) dx =	(2x + 5)dx .

Так как dx = x , то dy x=2

x=0,02

=(2 2 + 5) 0,02 =9 0,02 = 0,18 .

Итак, y ≈ 0,18 .

Пример 2.4. Найти приближенное значение cos 31 .

Решение.

f (x)= cos 31 .

Рассмотрим

функцию

По

формуле

f (x +

x)≈ f (x)+ f ′(x)

x имеем:

cos(x +

x)≈ cos x + (cos x)′ x или

cos(x +

x)≈ cos x −sin x

x .

Так как x +

x = 31 , то при x = 30

x =1

≈

3,14

, получаем:

180

cos 31 ≈ cos30 −sin 30

− 1

=180

3 − π

≈

180

360

≈180

3 −3,14 ≈ 0,857.

360

2.3. Полные дифференциалы высших порядков функции одной переменной

Чтобы найти дифференциал второго порядка нужно взять дифференциал от первого дифференциала. Аналогично находят дифференциал третьего порядка и т. д. Рассмотримфункцию одного переменного y = f (x) .

Найдем ее дифференциал второго порядка: dy = f ′(x)dx,

d 2 y = d (dy)= d (f ′(x)dx)=(f ′(x)dx)′ dx = f ′′(x)dx2 ,

dx2 обозначает (dx)2 .

Дифференциал третьего порядка:

d3 y = d (d 2 y)= d (f ′′(x)dx)=(f ′′(x)dx)′dx = f ′′′(x)dx3 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]