Аналитическая геометрия на плоскости дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

Для медианы CM3 треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

При решении данной системы уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kCM 3 и bCM 3 :

Нахождение величин медиан треугольника

Значения величин медиан треугольника ∆ABC ( AM1, BM2 и CM3 ) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

lAM 1 = (xM 1 − xA )2 + (yM 1 − yA )2 ,

71

kBM 2 − kAM 1

Витоге получим значения координат точки пересечения медианMC BM 2MC BM 2BM 2 BM 2

AM1 и BM2 для треугольника ∆ABC , то есть точки MC (xMC ,yMC ).

72

Нахождение величин расстояний между точкой пересечения медиан треугольника и вершинами треугольника

Значения величин расстояний между точкой пересечения медиан ∆ABC , то есть точкой MC , и вершинами треугольника (MC A, MC B и MCC ) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

lMCA = (xMC − xA )2 + (yMC − yA )2 ,

lMCB = (xMC − xB )2 + (yMC − yB )2 ,

lMCC = (xMC − xC )2 + (yMC − yC )2 .

2.2.2. Описание демо-версии расчетного проекта

Описание демо-версии дистанционного динамического расчетного проекта «Определение параметров сторон и медиан треугольника» приведем на примере реализации дистанционной системой динамических расчетных проектов расчетов значений промежуточных и итоговых результатов вычислений для произвольного треугольника на плоскости (∆ABC) со следующими координатами вершин: A(xA ,yA ), B(xB ,yB ) и C(xC ,yC ) в сопровождении соответствующих скриншотов программы для ЭВМ.

По автоматически сгенерированным дистанционной системой динамических расчетных проектов значениям исходных данных осуществляется вывод в виде автоматически создаваемой статической Интернет-страницы полученных значений исходных данных (рис. 36), а также информации о рассчитанных значениях

74

параметров сторон и медиан треугольника с визуальным выводом треугольника (рис. 37-39).

Рис. 36. Формирование значений исходных данных

Рис. 37. Расчет значений параметров сторон и медиан треугольника (часть 1)

75

Рис. 38. Расчет значений параметров сторон и медиан треугольника (часть 2)

76

Рис. 39. Расчет значений параметров сторон и высот треугольника (часть 3)

77

2.2.3.Контрольные вопросы

1.Нахождение уравнения прямой по координатам двух точек на

плоскости.

2.Нахождение уравнений сторон треугольника.

3.Нахождение величины отрезка прямой по координатам двух точек на плоскости.

4.Нахождение величин сторон треугольника.

6.Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

7.Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости.

8.Нахождение координат точек пересечения сторон и опущенных на них медиан для треугольника.

9.Нахождение уравнений медиан треугольника.

10.Нахождение величин медиан треугольника.

11.Нахождение координат точки пересечения медиан или центра тяжести треугольника.

12.Нахождение величин расстояний между точкой пересечения медиан треугольника и вершинами треугольника.

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОРОН, БИССЕКТРИС И ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: определение параметров сторон, биссектрис и вписанной окружности треугольника.

Раздел математики: аналитическая геометрия на плоскости.

78

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить расчет значений необходимых параметров сторон, биссектрис и вписанной окружности произвольного треугольника на плоскости методами аналитической геометрии.

2.3.1. Теоретический аспект

Пусть на плоскости представлены три произвольные точки, образующие произвольный треугольник (∆ABC), со следующими координатами: A (xA ,yA ), B (xB ,yB ) и C (xC ,yC ).

Нахождение уравнений сторон треугольника

Для нахождения уравнения сторон треугольника ∆ABC ( AB , AC и BC ) необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: y = k x + b, где k – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, b – свободный коэффициент прямой, равный длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат от начала координат.

Поскольку для каждой из сторон имеем значения координат двух вершин треугольника, можно реализовать нахождение значений коэффициентов k и b для соответствующих прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для стороны AB треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

79

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kAB и bAB :

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kAС и bAС :

Уравнение стороны AC : y = kAC x + bAC .

Для стороны BC треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

80