Аналитическая геометрия на плоскости дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки

HC (xHC ,yHC ):

попарно рассматриваемых сторон и высот (BC и AH1, AC и BH2 , AB и CH3 ) осуществляется по формулам вычисления площади треугольника по стороне и опущенной на нее высоте:

2.1.2. Описание демо-версии расчетного проекта

Описание демо-версии дистанционного динамического расчетного проекта «Определение параметров сторон и высот треугольника» приведем на примере реализации дистанционной системой динамических расчетных проектов расчетов значений

61

промежуточных и итоговых результатов вычислений для произвольного треугольника на плоскости (∆ABC) со следующими координатами вершин: A(xA ,yA ), B(xB ,yB ) и C(xC ,yC ) в сопровождении соответствующих скриншотов программы для ЭВМ.

По автоматически сгенерированным дистанционной системой динамических расчетных проектов значениям исходных данных осуществляется вывод в виде автоматически создаваемой статической Интернет-страницы полученных значений исходных данных (рис. 32), а также информации о рассчитанных значениях параметров сторон и высот треугольника с визуальным выводом треугольника (рис. 33-35).

Рис. 32. Формирование значений исходных данных

62

Рис. 33. Расчет значений параметров сторон и высот треугольника (часть 1)

63

Рис. 35. Расчет значений параметров сторон и высот треугольника (часть 3)

65

2.1.3.Контрольные вопросы

1.Нахождение уравнения прямой по координатам двух точек на

плоскости.

2.Нахождение уравнений сторон треугольника.

3.Нахождение величины отрезка прямой по координатам двух точек на плоскости.

4.Нахождение величин сторон треугольника.

5.Нахождение уравнений высот треугольника.

6.Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

7.Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости.

8.Нахождение координат точек пересечения сторон и опущенных на них высот.

9.Нахождение величин высот треугольника.

10.Нахождение координат точки пересечения высот или ортоцентра треугольника.

11.Вычисление площади треугольника по трем вариантам попарно рассматриваемых сторон и высот.

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОРОН И МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: определение параметров сторон и медиан треугольника.

Раздел математики: аналитическая геометрия на плоскости.

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить расчет значений необходимых параметров сторон и медиан произвольного треугольника на плоскости методами аналитической геометрии.

66

2.2.1. Теоретический аспект

Пусть на плоскости представлены три произвольные точки, образующие произвольный треугольник (∆ABC), со следующими координатами: A (xA ,yA ), B (xB ,yB ) и C (xC ,yC ).

Нахождение уравнений сторон треугольника

Для нахождения уравнения сторон треугольника ∆ABC ( AB , AC и BC ) необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: y = k x + b, где k – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, b – свободный коэффициент прямой, равный длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат от начала координат.

Поскольку для каждой из сторон имеем значения координат двух вершин треугольника, можно реализовать нахождение значений коэффициентов k и b для соответствующих прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для стороны AB треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kAB и bAB :

bAB = yB − kAB xB = yB − yB − yA xB или

xB − xA

67

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kAС и bAС :

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kBС и bBС :

68

Уравнение стороны BC : y = kBC x + bBC .

Нахождение величин сторон треугольника

Значения величин сторон треугольника ∆ABC ( AB , AC и BC ) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

lAB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ,

lAC = (xC − xA )2 + (yC − yA )2 ,

lBC = (xC − xB )2 + (yC − yB )2 .

Нахождение координат точек пересечения сторон и опущенных на них медиан для треугольника

При решении данной задачи необходимо воспользоваться утверждением, что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам.

Координаты основания медианы AM1, то есть точки

M1(xM 1 ,yM 1 ):

Координаты основания медианы BM2 , то есть точки

M2 (xM 2 ,yM 2 ):

Координаты основания медианы CM3 , то есть точки

M3 (xM 3 ,yM 3 ):

Нахождение уравнений медиан треугольника

Для медианы AM1 треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

При решении данной системы уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kAM 1 и bAM 1:

уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kBM 2 и bBM 2 :

70