Аналитическая геометрия на плоскости дистанционные динамические расчетные проекты. Учебное пособие

синим цветом, тогда как неправильно введенные студентом значения данных коэффициентов окрашиваются в красный цвет.

В рамках данной вкладки присутствуют возможности переходов на вышестоящие уровни (вкладки «Результаты по курсу»,

«Результаты по проекту» или «Результаты по работе») с помощью активации соответствующих текстовых гиперссылок, отвечающих за реализацию переходов на вышестоящие уровни.

Разработанная автором дистанционная система динамических расчетных проектов позволяет организовать полноценную самостоятельную деятельность студентов с точки зрения выполнения учащимися расчетных проектов. Реализация учащимися расчетных проектов состоит в автоматической генерации информационной системой значений исходных данных, выполнении студентами необходимых расчетных алгоритмов, указании обучаемыми значений коэффициентов промежуточных и итоговых результатов с возможностью многократного редактирования значений и реализации дистанционной системой сравнительного анализа указываемых студентами значений расчетных параметров с автоматически рассчитанными информационной системой значениями коэффициентов промежуточных и итоговых результатов вычислений, полученных на основе применения необходимых расчетных программных алгоритмов.

51

2. ДИСТАНЦИОННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТНЫЕ ПРОЕКТЫ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

В данной главе представлено описание расчетных проектов по аналитической геометрии на плоскости [2, 10…14], которые выполняются студентами в рамках дистанционной системы динамических расчетных проектов при реализации самостоятельной деятельности учащихся. Описание каждого дистанционного динамического расчетного проекта включает наименование проекта, теоретический аспект и описание демо-версии расчетного проекта с целью ознакомления учащихся с алгоритмами решения задач в рамках расчетного проекта и их реализации на программном уровне.

В рамках школьного курса геометрии свойства произвольных треугольников на плоскости рассматриваются только с точки зрения линейных и угловых размеров элементов треугольника. При изучении математики в вузе элементарная геометрия рассматривается с точки зрения аналитической геометрии, суть которой состоит в определении значений параметров геометрических фигур с применением координат характерных точек на плоскости или в пространстве.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОРОН И ВЫСОТ ТРЕУГОЛЬНИКА

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: определение параметров сторон и высот треугольника.

Раздел математики: аналитическая геометрия на плоскости.

52

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить расчет значений необходимых параметров сторон и высот произвольного треугольника на плоскости методами аналитической геометрии.

2.1.1. Теоретический аспект

Пусть на плоскости представлены три произвольные точки, образующие произвольный треугольник (∆ABC), со следующими координатами: A (xA ,yA ), B (xB ,yB ) и C (xC ,yC ).

Нахождение уравнений сторон треугольника

Для нахождения уравнения сторон треугольника ∆ABC ( AB , AC и BC ) необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: y = k x + b, где k – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, b – свободный коэффициент прямой, равный длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат от начала координат.

Поскольку для каждой из сторон имеем значения координат двух вершин треугольника, можно реализовать нахождение значений коэффициентов k и b для соответствующих прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для стороны AB треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

53

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kAB и bAB :

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kAС и bAС :

Уравнение стороны AC : y = kAC x + bAC .

54

Для стороны BC треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов kBС и bBС :

Уравнение стороны BC : y = kBC x + bBC .

Нахождение величин сторон треугольника

Значения величин сторон треугольника ∆ABC ( AB , AC и BC ) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

lAB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ,

lAC = (xC − xA )2 + (yC − yA )2 ,

lBC = (xC − xB )2 + (yC − yB )2 .

Нахождение уравнений высот треугольника

Для нахождения значений коэффициентов k и b для прямых, соответствующих высотам треугольника ∆ABC ( AH1, BH2 и CH3 ),

необходимо воспользоваться соотношениями:

55

где:

kH – угловой коэффициент прямой, соответствующей высоте;

kS – угловой коэффициент прямой, соответствующей стороне, на

которую опущена высота;

xP (yP ) – абсцисса (ордината) вершины треугольника, из которой опущена высота.

Для высоты AH1 треугольника ∆ABC , опущенной из вершины A на сторону BC , имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов kAH 1 и bAH 1 :

Уравнение высоты AH1: y = kAH 1 x + bAH 1 .

Для высоты BH2 треугольника ∆ABC , опущенной из вершины B на сторону AC , имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов kBH 2 и bBH 2 :

Нахождение координат точек пересечения сторон и опущенных на них высот

Для нахождения точек пересечения сторон и опущенных на них высот, то есть оснований высот, для треугольника ∆ABC необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту, то есть y = k x + b.

Поскольку для каждой из прямых, соответствующих стороне и высоте, имеем значения коэффициентов k и b, можно реализовать нахождение численных значений координат точки пересечения прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для высоты AH1 и стороны BC треугольника ∆ABC имеем систему линейных алгебраических уравнений:

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений координат точки H1(xH 1 ,yH 1 ):

y = k x + b = − bBC − bAH 1 k + b .

kBC − kAH 1

Витоге получим значения координат точки пересечения высотыBC BCH 1 H 1BC BC

AH1 и стороны BC для треугольника ∆ABC , то есть точки

H1(xH 1 ,yH 1 ).

57

kAB − kCH 3

Витоге получим значения координат точки пересечения высотыAB ABH 3H 3 AB AB

CH3 и стороны AB для треугольника ∆ABC , то есть точки

H3 (xH 3 ,yH 3 ).

Нахождение величин высот треугольника

Значения величин высот треугольника ∆ABC ( AH1, BH2 и CH3 ) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости: