Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант - 77

1.Вычислить интеграл ABCDR (4x ¡ 3y + 3) dx + (4x + 3y + 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(1; 11), B(1; 8), C(7; 8), D(1; 2). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x2 ¡ 2y + 4) dx + (2x2 + 2y + 1) dy в положительном направлении, если L : fy = 1¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p19 P (3x + 3y ¡ z + 8) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 3y + 4, вырезанной плоскостями y = 1, y = 4 + x, y = 6 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y ¡ 4z) dydz+(4x ¡ 3y ¡ 3z) dxdz+(4x ¡ 3y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡2, y = ¡4, y = ¡1, y = 1 ¡ x, z = 4, z = 7g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y ¡ 4) dydz+(3z ¡ 3) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 4z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx4 + y3 = 1, 0 · z · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

является соленоидальным, если m равно...

Вариант - 78

1.Вычислить интеграл ABCDR (2x ¡ 4y + 4) dx + (3x ¡ 2y + 4) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(0; 7), B(0; 4), C(3; 7), D(8; 7). 1 H

2.Вычислить ¼ L (2x2 + 2y + 4) dx + (2x2 ¡ 3y ¡ 1) dy по часовой стрелке,

åñëè L : fy =j x j ¡1, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p33 P (¡4x + 4y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 4y + 3, вырезанной плоскостями y = 7, y = 1 + x, y = 5 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 3y + 2z) dydz+(3x ¡ 4y + 3z) dxdz+(2x ¡ 4y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡1, x = 3, y = 3, y = ¡2 + x, z = ¡1, z = 2g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y ¡ 2)) dydz+(3x ¡ 2y + 3z) dxdz+(4x + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fx2 + z4 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(1;¡R2;2)

(4y ¡ 4z + 3 cos(¼x)) dx + (4x ¡ 5z ¡ 3 cos(¼y)) dy + (¡4x ¡ 5y ¡ 4 cos(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

Вариант - 79

1.Вычислить интеграл ABCDR (3x ¡ 2y ¡ 4) dx + (2x + 2y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(2; 7), B(6; 7), C(2; 3), D(2; 0). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x + 4y2 ¡ 1) dx + (3x ¡ 2y2 + 4) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 3¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y ¡ 2, вырезанной плоскостями x = 2, y = ¡1, y = 5 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 3y + 2z) dydz+(3x ¡ 2y + 2z) dxdz+(2x + 3y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 9, y = ¡4, y = ¡2, y = 1 ¡ x, z = ¡2, z = 2g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 2y + 2z) dydz+(3x ¡ 2) dxdz+(3y ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy2 + z5 = 1, 0 · x · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(5;¡R3;¡1)(4x + 5y ¡ 4z) dx + (5x + 6y + 6z) dy + (¡4x + 6y ¡ 6z) dz.

Вариант - 80

1.Вычислить интеграл ABCDR (4x + 4y + 3) dx + (3x ¡ 4y ¡ 4) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(¡2; 7), B(3; 7), C(3; 3), D(7; 7). 1 H

2.Вычислить ¼ L (2x + 4y2 ¡ 2) dx + (3x ¡ 2y2 ¡ 4) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡3, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p21 P (¡4x + 2y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 2y ¡ 3, вырезанной плоскостями x = ¡2, y = 4, y = 8 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y + 2z) dydz+(4x ¡ 2y + 2z) dxdz+(2x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡1, x = 4, y = 2, y = 8 + x, z = ¡4, z = ¡2g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2) dydz+(2z ¡ 2) dxdz+(3x ¡ 2y ¡ 3z) dxdy по положительной части плоскости P : fx2 + y3 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡3;R¡2;1)(10x ¡ 2¼ sin(¼x)) dx + (¡10y + 6¼ sin(¼y)) dy + (12z ¡ 5¼ sin(¼z)) dz.

86 Типовой расчет по векторному анализу

A(3; 3), B(9; 9), C(9; 3), D(12; 3).

1H

2.Вычислитьp¼ L (2x2 ¡ 2y ¡ 4) dx + (4x2 ¡ 4y ¡ 4) dy в положительном направлении, если L : fy = 1 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p21 P (2x ¡ 4y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 6, y = 6, y = 7 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y + 3z) dydz+(2x ¡ 4y ¡ 4z) dxdz+(4x + 4y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, y = 4, y = 6, y = 12 ¡ x, z = 1, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y + 3) dydz+(3x ¡ 4y ¡ 3z) dxdz+(2x ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx4 + z3 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(3;2;3)R

(6y ¡ 3z ¡ 3) dx + (6x + 2z + 5) dy + (¡3x + 2y ¡ 2) dz.

A(1; 12), B(1; 8), C(5; 8), D(1; 4).

1H

2.Вычислитьp¼ L (2x2 ¡ 2y + 4) dx + (3x2 ¡ 4y ¡ 2) dy по часовой стрелке, если L : fy = 1 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p26 P (¡3x + 4y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 4, y = 4, y = ¡3 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y + 2z) dydz+(3x + 3y + 3z) dxdz+(2x ¡ 2y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡4, x = ¡2, y = 9, y = 7 + x, z = ¡3, z = 0g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x + 2y + 2z) dydz+(4x + 2) dxdz+(3y ¡ 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z4 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(5;4;5)R

(3y ¡ 3z + 2 cos(¼x)) dx + (3x + 3z ¡ 4 cos(¼y)) dy + (¡3x + 3y + 6 cos(¼z)) dz.

(1;0;2)

11. Ïîëå ¡3x2 + 2y2 + 2z2 + 4xy ¡ 3yz ¡ 3xz

1) соленоидальное 2) скалярное

3) потенциальное 4) векторное

88 Типовой расчет по векторному анализу

1RR

3.Вычислить p33 P (4x + 4y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x + 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 1, y = 3, y = 5, y = 8 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y ¡ 4z) dydz+(2x ¡ 3y ¡ 4z) dxdz+(2x ¡ 3y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 8, y = 3, y = 5, y = 7 ¡ x, z = ¡3, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y ¡ 2)) dydz+(3x + 2y ¡ 4z) dxdz+(4x ¡ 3) dxdy по нижней части плоскости P : fx3 + z2 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡2;¡R2;¡1)

(12x + 3y ¡ 3z) dx + (3x + 8y + 6z) dy + (¡3x + 6y ¡ 4z) dz.

является соленоидальным, если m равно...

1RR

3.Вычислить p19 P (3x + 3y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 3y + 4, вырезанной плоскостями x = 9, y = ¡4, y = 1, y = ¡3 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 2y ¡ 2z) dydz+(4x + 4y + 4z) dxdz+(2x + 3y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡4, x = 1, y = 2, y = 11 + x, z = ¡4, z = ¡2g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 2y ¡ 4z) dydz+(3x ¡ 2) dxdz+(2y ¡ 2) dxdy по верхней части плоскости P : fy4 + z2 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡! ~ p ~ ~

a = (2 ln x ¡ 4y ¡ 4z)i+(4x ¡ 2 y ¡ 3z)j+(2x + 2y ¡ 3 ctg z)k в точке Mo(1; 1; ¡2).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡5;R¡4;1)(10x + 2¼ sin(¼x)) dx + (¡4y + 6¼ sin(¼y)) dy + (12z + 4¼ sin(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

90 Типовой расчет по векторному анализу

A(0; 7), B(3; 7), C(3; 3), D(7; 7).

1H

2.Вычислить ¼ L (4x2 + 2y + 4) dx + (3x2 ¡ 4y ¡ 1) dy в положительном направлении, если L : fy = 3¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p21 P (2x ¡ 4y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 4y ¡ 4, вырезанной плоскостями y = ¡1, y = ¡2 + x, y = 4 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y ¡ 4z) dydz+(2x + 4y + 2z) dxdz+(3x ¡ 4y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, y = ¡3, y = ¡1, y = 4 ¡ x, z = 3, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y ¡ 3) dydz+(2z ¡ 4) dxdz+(4x ¡ 4y + 3z) dxdy по положительной части плоскости P : fx3 + y2 = 1, 0 · z · 3g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡!

a = f4x + 2y ¡ 3z; 3x + 3y ¡ 3z; 4x ¡ 3y ¡ 3zg в точке Mo(¡1; ¡3; 3).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡2;2;2)R

(4y ¡ 2z + 3) dx + (4x ¡ 5z + 5) dy + (¡2x ¡ 5y ¡ 3) dz.

Вариант - 86

1.Вычислить интеграл ABCDR (3x + 3y ¡ 3) dx + (4x ¡ 3y + 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(0; 4), B(6; 10), C(6; 4), D(10; 4). 1 H

2.Вычислить ¼ L (2x2 + 4y + 3) dx + (2x2 + 2y + 3) dy по часовой стрелке,

åñëè L : fy =j x j ¡4, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p19 P (3x + 3y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 3y + 2, вырезанной плоскостями y = 8, y = 2 + x, y = 6 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y + 2z) dydz+(4x ¡ 3y + 4z) dxdz+(3x + 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, y = 4, y = 6, y = 3 ¡ x, z = ¡3, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y + 4) dydz+(3x ¡ 4y + 4z) dxdz+(3x + 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx3 + z2 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡1;5;2)R

(5y + 3z + 2 cos(¼x)) dx + (5x ¡ 5z + 3 cos(¼y)) dy + (3x ¡ 5y + 3 cos(¼z)) dz.