Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
112 Типовой расчет по векторному анализу
Вариант - 107
1. Вычислить интеграл ABCDR (2x + 4y + 2) dx + (4x + 2y + 3) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(0; 13), B(0; 7), C(5; 7), D(0; 2).
2. Вычислить ¼1 H (4x + 3y2 + 1) dx + (4x ¡ 2y2 + 4) dy в отрицательном направлении,
p L
åñëè L : fx = 4 ¡ y2, x = 0g.
1RR
3.Вычислить p19 P (3x + 3y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 3y + 3, вырезанной плоскостями x = 2, y = ¡3, y = ¡1, y = 3 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 2y ¡ 2z) dydz+(4x ¡ 2y ¡ 3z) dxdz+(3x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡1, x = 2, y = 2, y = 8 + x, z = ¡1, z = 3g.
5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2) dydz+(3x + 2y ¡ 3z) dxdz+(2x ¡ 2) dxdy по верхней части плоскости P : fx4 + z2 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
2x + 2y |
|
M1 |
(1; ¡3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3x |
¡ |
3y |
в точке |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(¡7; ¡9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
M ( |
|
2; 8). |
|
||||||||||||||||||||||
6x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
2y в точке |
o |
¡ |
|
|
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a = |
3x + 4y + 3z |
~i + |
¡3x + 3y ¡ 2z |
~j + |
|
¡4x + 2y ¡ 2z |
~k в точке M ( |
4; 3; 3). |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
2y + 4 ctg z)~k в точке Mo |
( |
|
1; 1; |
|
3). |
||||||||||||||||||||||||
a = (2 ln x + 3y |
|
|
3z)~i+(3x |
|
2py |
|
|
3z)~j+(3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
¡ |
|
||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(0;2;R¡4)(8x ¡ 5y + 5z) dx + (¡5x + 12y + 5z) dy + (5x + 5y ¡ 10z) dz.
(1;0;1) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(mx ¡ 3y ¡ 3z)i + (¡3x ¡ 3y + 6z)j + (¡3x + 7y ¡ 1z)kg |
||
является соленоидальным, если m равно...
Типовой расчет по векторному анализу |
113 |
Вариант - 108
1. Вычислить интеграл ABCDR (2x ¡ 3y ¡ 3) dx + (4x ¡ 4y + 3) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(1; 8), B(1; 4), C(5; 8), D(8; 8).
2. Вычислить ¼1 H (3x ¡ 4y2 + 4) dx + (3x + 3y2 + 3) dy против часовой стрелки,
p L
åñëè L : fx = 4 ¡ y2, x = 0g.
1RR
3.Вычислить p9 P (¡2x + 2y ¡ z + 4) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 2y + 2, вырезанной плоскостями x = 8, y = 4, y = 7, y = 2 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (2x + 4y ¡ 4z) dydz+(2x + 2y ¡ 4z) dxdz+(2x ¡ 3y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, y = ¡1, y = 3, y = 6 ¡ x, z = 4, z = 8g.
5.Вычислить интеграл RRP (3x + 3y ¡ 2z) dydz+(4x + 3) dxdz+(4y + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z3 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
|
|
в точке M1(¡2; ¡4) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x |
¡ |
3y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(¡8; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x ¡ 3y |
|
|
2x + 2y |
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
+ |
|
M |
(5; 10). |
||||||||||||||||||
|
|
|
y + 4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
в точке |
o |
|
|||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a = |
5x + 2y |
~i + |
¡4x + 5y |
~j + |
3x + 2z |
~k в точке M ( |
|
1; |
¡ |
1; 3). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
¡! |
|
3x + 3z |
2y |
¡ |
2z |
4y |
¡ |
3z |
|
|
|
|
|
o |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить модуль ротора векторного поля
¡!
a = f3x ¡ 3y ¡ 3z; 3x ¡ 3y ¡ 2z; 3x ¡ 3y ¡ 3zg в точке Mo(¡1; ¡2; ¡1).
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡1;1;R ¡1)(8x + 5¼ sin(¼x)) dx + (10y ¡ 5¼ sin(¼y)) dy + (¡10z + 6¼ sin(¼z)) dz.
(3;¡6;¡2) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(¡3x + my + nz)i + (6x ¡ 2y + 4z)j + (7x + 5y + 5z)kg |
||
является потенциальным, если сумма m + n равна...
114 |
Типовой расчет по векторному анализу |
Вариант - 109
1.Вычислить интеграл ABCDR (2x + 4y ¡ 4) dx + (2x ¡ 4y + 4) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(3; 4), B(6; 4), C(3; 1), D(3; ¡3). 1 H
2.Вычислить ¼ L (4x2 ¡ 4y + 1) dx + (2x2 + 2y + 4) dy в положительном направлении, если L : fy = 6¡ j x j, y = 0g.
1 RR
3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y ¡ 2, вырезанной плоскостями y = ¡1, y = ¡3 + x, y = 7 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x + 2y ¡ 4z) dydz+(4x ¡ 2y + 2z) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, x = 6, y = 3, y = 4 + x, z = 2, z = 5g.
5.Вычислить интеграл RRP (4y + 2) dydz+(2z + 2) dxdz+(3x + 3y + 3z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx2 + y5 = 1, 0 · z · 3g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
4x ¡ 2y |
|
|
M |
( |
¡ |
4; 5) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
¡ |
4y в точке |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡16; 14). |
3x ¡ 2y |
|
|
|
5x ¡ 4y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
!¡ z |
j |
)функции z = |
+ |
|
|
|
M |
(6; 9). |
|||||||||||||||||||||||
|
x + 3 |
|
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
¡ |
4 |
o |
|
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = |
3xi + 4yj + 3zk |
|
M (1; |
1; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
¡! |
|
x2 + y2 + z2 в точке |
|
|
o |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡! |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ ¡ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
¡ |
|
¡ |
~+ |
|
2 |
|
|
~+ |
(4x + 3y + 3z |
2 |
~ в точке |
|
o |
. |
|
|
|||||||||||||||||
a = (4x |
|
3y 4z)i (3x + 4y |
|
+ 3z)j |
|
)k |
|
|
|
M ( 3; 2; 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡1;3;5)R
(2y ¡ 3z + 4) dx + (2x ¡ 3z + 5) dy + (¡3x ¡ 3y ¡ 3) dz.
(2;1;0) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(¡3x + 2y + 3z)i + (2x + 3y ¡ 3z)j + (3x ¡ 3y ¡ 0z)kg |
||||
1) |
векторное |
2) |
скалярное |
|
|
|
3) |
соленоидальное |
4) |
потенциальное |
|
|
|
Типовой расчет по векторному анализу |
115 |
Вариант - 110
1.Вычислить интеграл ABCDR (4x ¡ 3y + 4) dx + (2x + 2y + 2) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(¡2; 7), B(3; 7), C(3; 2), D(8; 7). 1 H
2.Вычислить ¼ L (2x2 ¡ 4y ¡ 1) dx + (4x2 ¡ 2y + 3) dy по часовой стрелке,
åñëè L : fy =j x j ¡3, y = 0g.
1RR
3.Вычислить p21 P (¡4x + 2y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 2y + 2, вырезанной плоскостями y = 2, y = ¡7 + x, y = 5 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x + 3y + 2z) dydz+(3x ¡ 3y + 2z) dxdz+(2x + 4y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡2, y = ¡2, y = 1, y = 3 ¡ x, z = 4, z = 7g.
5.Вычислить интеграл RRP (2y + 3)) dydz+(3x ¡ 2y ¡ 4z) dxdz+(2x ¡ 4) dxdy по нижней части плоскости P : fx4 + z3 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
4xy |
|
|
в точке M1(2; 5) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2x + 2y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡13; 13). |
|
3x + 4y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
|
!¡ z |
j |
) функции z = |
|
M ( |
2; |
¡ |
1). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
7x |
|
4y в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
o |
¡ |
|
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a = |
|
4y + 5z |
~i + |
5x ¡ 2z |
~j + |
3x + 5y |
~k в точке M |
( |
1; |
¡ |
3; 2). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a = |
|
4 |
|
2y + 3z; 4x + |
2 |
+ 2z; 3x |
|
|
3y + |
2 |
|
в точке |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
fx ¡ |
|
¡ |
z g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mo(¡1; ¡1; ¡2) |
|
|
|
|
||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(5;¡R3;2) (5y ¡ 4z + 2 cos(¼x)) dx + (5x + 2z + 6 cos(¼y)) dy + (¡4x + 2y ¡ 2 cos(¼z)) dz.
(3;¡6;¡5) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(4x ¡ 4y ¡ 5z)i + (¡4x ¡ 2y ¡ 2z)j + (¡5x ¡ 1y ¡ 2z)kg |
||||
1) |
скалярное |
2) |
потенциальное |
|
|
|
3) |
соленоидальное |
4) |
векторное |
|
|
|
116 Типовой расчет по векторному анализу
|
Вариант - 111 |
1. Вычислить работу силы F |
= (3x ¡ 4y ¡ 3)¡!i + (2x ¡ 4y ¡ 4)¡! |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
A(0; 1), B(4; 5), C(4; 1), D(10; 1).
1H
2.Вычислить ¼ L (3x ¡ 3y2 + 1) dx + (2x ¡ 3y2 + 1) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 3¡ j y j, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p33 P (4x + 4y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x + 4y + 3, вырезанной плоскостями x = ¡4, y = 3, y = 1 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 4z) dydz+(2x ¡ 4y + 3z) dxdz+(3x ¡ 4y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡3, x = 1, y = 7, y = 4 + x, z = 0, z = 4g.
5.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y + 2z) dydz+(2x + 4) dxdz+(4y ¡ 2) dxdy по верхней части плоскости P : fy5 + z2 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
4x ¡ 3y |
+ |
3x + 3y |
|
|
|
M |
( |
¡ |
1; 2) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
в точке |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
y |
¡ |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
по направлению к точке M2(¡13; 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
|
M (3; 2). |
|
|||||||||||||||||||
5x |
|
2y в точке |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
o |
|
|
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a = |
3x ¡ 2y ¡ 3z |
~i + |
¡4x ¡ 4y ¡ 3z |
~j + |
¡3x ¡ 3y ¡ 2z |
~k в точке M (1; 4; 2). |
|
|
||||||||||||||||||||
¡! |
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|||||||||||||
¡! |
|
|
¡ ¡ |
~+ |
¡ ¡ 4z)j |
(2x + 2y ¡ 4 tg z)k |
в точке |
|
o |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~+ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
||||||||
a = (3 cos x 3y |
2z)i (3x 4e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (3; 3; 3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(8x + 6y ¡ 4z) dx + (6x + 4y ¡ 4z) dy + (¡4x ¡ 4y ¡ 4z) dz.
(¡6;0;¡5) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(¡5x + 3y + 6z)i + (3x + 6y + 3z)j + (6x + 3y + 2z)kg |
||||
1) |
векторное |
2) |
соленоидальное |
|
|
|
3) |
потенциальное |
4) |
скалярное |
|
|
|
Типовой расчет по векторному анализу |
117 |
1. Вычислить работу силы |
Вариант - 112 |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
|
|
F = (4x ¡ 3y ¡ 3)¡!i + (4x + 3y ¡ 4)¡! |
A(0; 12), B(0; 7), C(5; 7), D(0; 2).
1H
2.Вычислить ¼ L (3x + 3y2 ¡ 4) dx + (4x ¡ 3y2 + 3) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡1, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p14 P (¡2x + 3y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 3y + 3, вырезанной плоскостями x = 6, y = 3, y = ¡1 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y + 4z) dydz+(3x ¡ 3y + 2z) dxdz+(2x ¡ 4y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 13, y = ¡1, y = 3, y = 7 ¡ x, z = 2, z = 5g.
5.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y ¡ 4z) dydz+(4x ¡ 4) dxdz+(4y ¡ 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z4 = 1, 0 · x · 3g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
4x + 3y |
+ |
7x + 3y |
в точке M1(1; 3) |
|||||||||||||||||
x ¡ 3 |
y + 4 |
|||||||||||||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡11; ¡6). |
|
5x ¡ |
4y |
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
M ( |
3; 7). |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
6x + |
4y в точке |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
o |
¡ |
||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a = |
¡4x + 5y |
~i + |
2x + 2y |
~j + |
¡4x + 3z |
~k в точке M ( |
¡ |
2; 2; 4). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
5y + 5z |
|
|
|
|||||||||||||||||
¡! |
|
2x |
¡ |
2z |
4y |
¡ |
4z |
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить модуль ротора векторного поля
¡! ~ p ~ ~
a = (2 ln x + 2y + 3z)i+(3x ¡ 4 y ¡ 3z)j+(3x + 2y + 2 ctg z)k в точке Mo(2; ¡2; 1).
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(5;2;R¡3) (8x ¡ 4¼ sin(¼x)) dx + (¡8y ¡ 3¼ sin(¼y)) dy + (¡6z + 2¼ sin(¼z)) dz.
(2;¡6;¡1)
11. Ïîëå 2x2 + 4y2 ¡ 4z2 ¡ 2xy ¡ 2yz + 2xz
1) |
векторное |
2) |
скалярное |
3) |
соленоидальное |
4) |
потенциальное |
118 Типовой расчет по векторному анализу
|
Вариант - 113 |
1. Вычислить работу силы F |
= (4x + 2y ¡ 4)¡!i + (4x + 2y + 2)¡! |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
A(3; 6), B(3; 2), C(7; 6), D(13; 6).
1H
2.Вычислитьp¼ L (4x2 ¡ 4y + 3) dx + (3x2 ¡ 2y ¡ 1) dy в положительном направлении, если L : fy = 36 ¡ x2, y = 0g.
1RR
3.Вычислить p9 P (2x ¡ 2y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 2y + 3, вырезанной плоскостями x = 2, y = 9, y = 6 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 2z) dydz+(4x + 4y ¡ 2z) dxdz+(3x + 2y ¡ 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡4, x = 1, y = 2, y = 11 + x, z = 0, z = 2g.
5.Вычислить интеграл RRP (3y + 4) dydz+(4z + 3) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 3z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx2 + y5 = 1, 0 · z · 4g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
5x ¡ 4y |
|
|
M |
( |
3; 9) |
||||||||||||
7x + 4y в точке |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
¡ |
||||
по направлению к точке M2(¡11; ¡6). |
|
|
|
|
2xy |
|
|
||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
¡!z |
j |
) функции z = |
|
M (8; 8). |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
7x + 2y в точке o |
||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = |
4xi + 4yj ¡ 3zk |
M ( |
|
|
4; |
|
4; 4). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
¡! |
|
px2 + y2 + z2 в точке |
o |
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. Вычислить модуль ротора векторного поля
¡!
a = f3x ¡ 4y ¡ 3z; 2x ¡ 3y + 3z; 2x ¡ 4y + 3zg в точке Mo(2; ¡2; ¡3).
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(1;¡R4;¡5)(2y ¡ 4z + 4) dx + (2x ¡ 3z + 3) dy + (¡4x ¡ 3y + 5) dz.
(3;¡7;¡4) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(mx + 7y + 7z)i + (7x + 5y + 4z)j + (7x + 5y ¡ 4z)kg |
||
является соленоидальным, если m равно...
Типовой расчет по векторному анализу |
119 |
|
|
Вариант - 114 |
1. Вычислить работу силы F |
= (2x 4y + 2)¡!i + (4x + 3y + 4)¡! |
|
¡ |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
|
|
|
|
A(1; 9), B(6; 9), C(1; 4), D(1; ¡1).
1H
2.Вычислитьp¼ L (4x2 + 3y ¡ 1) dx + (4x2 ¡ 3y + 2) dy по часовой стрелке, если L : fy = 36 ¡ x2, y = 0g.
1RR
3.Вычислить p21 P (¡2x ¡ 4y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x ¡ 4y + 2, вырезанной плоскостями x = 3, y = 7, y = ¡1 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 4y + 2z) dydz+(4x + 4y + 4z) dxdz+(4x + 4y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, y = 1, y = 6, y = 12 ¡ x, z = 3, z = 5g.
5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2)) dydz+(3x + 2y + 4z) dxdz+(3x ¡ 4) dxdy по нижней части плоскости P : fx3 + z2 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
3xy |
|
|
в точке M1(5; ¡2) |
|
|
||||||||||||||||||||
2x + 3y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(¡1; ¡10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x ¡ 4y |
|
3x ¡ 3y |
|
|
|
||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
!¡ z |
j |
) функции z = |
|
+ |
|
M |
(5; 9). |
|||||||||||||||||
|
x + 1 |
y + 1 в точке |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a = |
5y + 4z |
~i + |
5x ¡ 3z |
~j + |
3x + 4y |
~k в точке M |
( |
¡ |
1; 3; |
¡ |
2). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
¡! |
|
x2 |
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
¡! |
|
|
¡ 2y ¡ 3z)i (2x + 4y |
|
¡ 3z)j |
|
(3x ¡ 3y ¡ 4z )k |
|
|
o |
|
|
|||||||||||||||
a = (3x2 |
|
|
~+ |
|
|
2 |
|
~+ |
|
|
|
|
|
2 ~ в точке M (1; 3; 3). |
|
|
|||||||||||
10. |
Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и |
|||||
вычислить интеграл |
|
|
||||
(¡4;2;¡3) |
|
|
|
|||
5; |
¡ |
(2y + 6z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (2x + 4z + 5 cos(¼y)) dy + (6x + 4y + 5 cos(¼z)) dz. |
||||
2) |
|
|
|
|||
(0;¡R |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. |
Ïîëå |
|||||
|
|
|
|
f(5x + my + nz)i + (6x ¡ 2y + 5z)j + (4x + 6y + 6z)kg |
||
является потенциальным, если сумма m + n равна...
120 Типовой расчет по векторному анализу
|
|
|
|
|
|
|
Вариант - 115 |
|
|
|
|
|
|
F = (3x ¡ 4y ¡ 3)¡!i + (2x ¡ 3y + 4)¡! |
|
1. |
Вычислить работу силы |
|
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
||||
A(¡5; 8), B(1; 8), C(1; 4), D(5; 8). |
|
||||||
2. |
Вычислить |
1 |
H |
|
|
||
¼ |
(3x + 2y2 ¡ 1) dx + (3x ¡ 3y2 ¡ 4) dy в отрицательном направлении, |
||||||
åñëè L : fx = p |
|
L |
|
|
|||
|
, x = 0g. |
|
|||||
25 ¡ y2 |
|
||||||
1RR
3.Вычислить p9 P (¡2x + 2y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 2y + 4, вырезанной плоскостями x = 4, y = ¡3, y = 1, y = 9 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y ¡ 2z) dydz+(3x ¡ 3y ¡ 2z) dxdz+(4x ¡ 3y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 3, y = 2, y = ¡4 + x, z = 2, z = 6g.
5.Вычислить интеграл RRP (2x + 4y + 3z) dydz+(2x ¡ 4) dxdz+(4y ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy3 + z2 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
7x + 4y |
|
|
(2; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
в точке M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x + 4y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(17; ¡6). |
|
3x ¡ 3y |
|
4x ¡ 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
!¡ z |
j |
)функции z = |
+ |
|
|
|
|
M |
(4; |
¡ |
1). |
|||||||||||||||||||
x + 2 |
|
в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
¡ |
1 |
|
o |
|
|
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a = |
|
¡2x ¡ 3y ¡ 4z |
~i + |
5x + 2y + 5z |
~j + |
|
¡2x ¡ 3y + 4z |
~k в точке M ( |
2; |
|
2; |
¡ |
2). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
o |
¡ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a = |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
в точке |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
fx ¡ 3y ¡ 2z; 2x + y ¡ 2z; 2x ¡ 3y ¡ z g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
Mo(¡1; 1; 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(¡4;6;R ¡4)
(8x ¡ 2y ¡ 2z) dx + (¡2x + 4y ¡ 5z) dy + (¡2x ¡ 5y + 4z) dz.
(¡7;¡3;¡6) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(¡2x ¡ 2y + 2z)i + (¡2x ¡ 3y ¡ 4z)j + (2x ¡ 4y + 5z)kg |
||||
1) |
потенциальное |
2) |
векторное |
|
|
|
3) |
скалярное |
4) |
соленоидальное |
|
|
|
Типовой расчет по векторному анализу |
121 |
Вариант - 116
1. Вычислить интеграл ABCDR (3x + 3y + 4) dx + (4x + 3y + 4) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(0; 1), B(5; 6), C(5; 1), D(9; 1).
2. Вычислить ¼1 H (4x ¡ 2y2 ¡ 4) dx + (3x + 4y2 ¡ 4) dy против часовой стрелки,
p L
åñëè L : fx = 25 ¡ y2, x = 0g.
1RR
3.Вычислить p19 P (3x + 3y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 3y + 4, вырезанной плоскостями x = 8, y = 3, y = 6, y = 1 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y + 3z) dydz+(3x + 4y ¡ 3z) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 10, y = 4, y = 9, y = 12 ¡ x, z = ¡3, z = ¡1g.
5.Вычислить интеграл RRP (4y + 3) dydz+(4z + 4) dxdz+(2x ¡ 2y + 2z) dxdy по положительной части плоскости P : fx4 + y3 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
3xy |
в точке M1(7; ¡3) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4x |
¡ |
4y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по направлению радиус-вектора к точке M2(19; ¡12). |
|
7x ¡ 2y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
|
|
M ( |
1; 2). |
||||||||||||||||||||||
|
|
7x + 2y в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a = |
3x ¡ 4y |
~i + |
¡4x + 5y |
~j + |
|
¡3x ¡ 2z |
~k в точке M ( |
¡ |
4; 3; |
|
1). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3x + 4z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
4y |
¡ |
4z |
|
|
4y |
¡ |
4z |
|
|
|
|
|
|
o |
¡ ¡ |
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
¡ |
¡ |
|
~+ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
~+ |
|
|
|
|
|
~ в точке |
|
o |
. |
|||||||||
a = (4 cos x |
|
3y |
4z)i (3x |
|
4e |
y |
+ 4z)j |
|
(2x + 2y 2 tg z)k |
|
M ( |
2; 2; 2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(1;3;R¡5) (6x ¡ 2¼ sin(¼x)) dx + (12y + 5¼ sin(¼y)) dy + (10z + 3¼ sin(¼z)) dz.
(¡3;¡6;2) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(¡4x + 6y ¡ 3z)i + (6x + 2y ¡ 3z)j + (¡3x ¡ 2y + 2z)kg |
||||
1) |
потенциальное |
2) |
скалярное |
|
|
|
3) |
соленоидальное |
4) |
векторное |
|
|
|