Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
102 |
Типовой расчет по векторному анализу |
Вариант - 97
1.Вычислить интеграл ABCDR (3x + 4y + 3) dx + (3x + 2y + 3) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(3; 13), B(3; 8), C(7; 8), D(3; 4). 1 H
2.Вычислитьp¼ L (4x2 + 3y ¡ 3) dx + (2x2 + 2y + 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 9 ¡ x2, y = 0g.
1RR
3.Вычислить p14 P (3x ¡ 2y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 2y + 3, вырезанной плоскостями x = 2, y = 6, y = 4 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 3y ¡ 2z) dydz+(4x ¡ 3y + 4z) dxdz+(2x + 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡2, x = 1, y = 10, y = 6 + x, z = 1, z = 3g.
5.Вычислить интеграл RRP (4y + 4) dydz+(3z ¡ 3) dxdz+(4x + 3y + 4z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx3 + y4 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
2xy |
|
|
|
|
(1; ¡1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
в точке M1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3x + 2y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(¡8; 11). |
|
|
|
|
|
|
|
7x + 4y |
|
|
6x ¡ 4y |
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
!¡ z |
j |
)функции z = |
+ |
|
|
M |
(10; 3). |
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
2 |
y + 1 |
в точке |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
o |
|
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a = |
¡3xi + 2yj + 2zk |
|
|
M ( |
¡ |
2; 3; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 |
|
в точке |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = |
|
2 |
|
|
4y + 2z; 2x + |
4 |
+ 3z; 4x + 4y + |
4 |
|
в точке M |
(2; 2; 3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
fx ¡ |
|
z g |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(6;¡R4;¡5)
(3y ¡ 5z + 5) dx + (3x + 4z ¡ 4) dy + (¡5x + 4y + 3) dz.
(¡3;¡7;¡2) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(3x + 3y + 4z)i + (3x ¡ 2y ¡ 3z)j + (4x ¡ 3y ¡ 1z)kg |
||||
1) |
векторное |
2) |
скалярное |
|
|
|
3) |
соленоидальное |
4) |
потенциальное |
|
|
|
Типовой расчет по векторному анализу |
103 |
|
|
|
|
|
Вариант - 98 |
1. |
|
|
|
|
R |
Вычислить интеграл ABCD (2x ¡ 2y + 2) dx + (3x + 4y + 2) dy по ломаной ABCD, |
|||||
åñëè A(0; 8), B(0; 2), C(6; 8), D(10; 8). |
|||||
2. |
Вычислить |
1 |
H |
|
|
¼ |
(3x2 |
¡ 3y ¡ 3) dx + (4x2 ¡ 3y ¡ 3) dy по часовой стрелке, |
|||
åñëè L : fy = p |
|
L |
|
||
|
, y = 0g. |
||||
25 ¡ x2 |
|||||
1RR
3.Вычислить p21 P (2x ¡ 4y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 4y ¡ 4, вырезанной плоскостями x = ¡2, y = ¡1, y = ¡2 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (2x + 2y ¡ 2z) dydz+(2x ¡ 3y ¡ 4z) dxdz+(3x ¡ 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 5, y = 3, y = 8, y = 5 ¡ x, z = ¡2, z = 2g.
5.Вычислить интеграл RRP (4y + 2)) dydz+(3x ¡ 4y + 2z) dxdz+(4x ¡ 3) dxdy по нижней части плоскости P : fx2 + z5 = 1, 0 · y · 4g, находящейся в первом октанте.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
в точке M1(4; 10) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
7x ¡ 2y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡8; 5). |
3x ¡ 4y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
M (10; 8). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
3x + 3y в точке |
o |
|
|
|||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a = |
¡3y + 4z |
~i + |
¡2x ¡ 4z |
~j + |
¡4x + 4y |
~k в точке M (4; |
3; 3). |
|
|
|
|
||||||||||||
¡! |
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
¡ |
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|||||||||||||||
¡! |
|
|
|
¡ |
~+ |
|
|
|
¡ |
|
~+ |
|
|
|
~ в точке |
o |
|
. |
|||||
a = (3 cos x + 3y |
|
2z)i (3x + 3e |
y |
|
4z)j (4x + 4y + 2 tg z)k |
M (2; |
|
2; 2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(5;¡R3;¡2)
(3y + 4z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (3x ¡ 5z ¡ 5 cos(¼y)) dy + (4x ¡ 5y ¡ 5 cos(¼z)) dz.
(¡5;¡5;¡5) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(2x ¡ 3y + 2z)i + (¡3x + 3y + 5z)j + (2x + 6y ¡ 5z)kg |
||||
1) |
соленоидальное |
2) |
скалярное |
|
|
|
3) |
потенциальное |
4) |
векторное |
|
|
|
104 Типовой расчет по векторному анализу
Вариант - 99
1. Вычислить интеграл ABCDR (2x ¡ 3y ¡ 3) dx + (2x ¡ 4y + 2) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(0; 4), B(3; 4), C(0; 1), D(0; ¡3).
2. Вычислить ¼1 H (4x + 4y2 ¡ 4) dx + (2x + 2y2 ¡ 3) dy в отрицательном направлении,
p L
åñëè L : fx = 9 ¡ y2, x = 0g.
1RR
3.Вычислить p26 P (4x ¡ 3y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 3y + 4, вырезанной плоскостями x = 3, y = 3, y = 7, y = 14 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y + 2z) dydz+(2x + 2y ¡ 2z) dxdz+(4x + 2y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, x = 7, y = ¡4, y = ¡5 + x, z = ¡2, z = 1g.
5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 3y + 3z) dydz+(3x ¡ 4) dxdz+(3y ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy5 + z3 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
4x + 4y |
+ |
4x + 2y |
|
|
M1(8; ¡2) |
|||||||||||||||||||||||||||
x |
¡ |
4 |
|
|
|
y |
¡ |
1 |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(¡4; 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
M (2; |
|
1). |
||||||||||||||||||||||||||
2x |
|
2y в точке |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
o |
|
|
¡ |
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a = |
¡4x + 5y + 3z |
~i + |
3x ¡ 2y + 2z |
~j + |
¡4x + 3y + 3z |
~k в точке M ( |
4; 4; |
¡ |
4). |
|
||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o ¡ |
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
3 ctg z)~k в точке Mo |
(1; |
|
|
2; 1). |
|||||||||||||||||||||||
a = (2 ln x |
|
3y |
|
3z)~i+(3x + 2py |
|
|
2z)~j+(4x + 3y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡4;0;R ¡4)(12x ¡ 5y ¡ 5z) dx + (¡5x + 12y ¡ 5z) dy + (¡5x ¡ 5y ¡ 10z) dz.
(¡2;1;0) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(5x ¡ 4y + 4z)i + (¡4x + 3y ¡ 4z)j + (4x ¡ 4y ¡ 5z)kg |
||
1) векторное 2) потенциальное
3) скалярное 4) соленоидальное
Типовой расчет по векторному анализу |
105 |
Вариант - 100
1. Вычислить интеграл ABCDR (4x ¡ 3y ¡ 4) dx + (3x ¡ 3y + 2) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(¡3; 4), B(2; 4), C(2; 1), D(5; 4).
2. Вычислить ¼1 H (3x ¡ 4y2 + 1) dx + (4x ¡ 2y2 ¡ 4) dy против часовой стрелки,
p L
åñëè L : fx = 36 ¡ y2, x = 0g.
1RR
3.Вычислить p21 P (4x ¡ 2y ¡ z + 4) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 2y + 2, вырезанной плоскостями x = 0, y = 3, y = 5, y = 7 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y + 2z) dydz+(3x + 2y ¡ 2z) dxdz+(2x + 2y ¡ 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡4, y = 4, y = 7, y = 6 ¡ x, z = 2, z = 6g.
5.Вычислить интеграл RRP (3y ¡ 3) dydz+(4z ¡ 3) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 2z) dxdy по положительной части плоскости P : fx2 + y5 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
5x ¡ 4y |
+ |
4x + 2y |
|
|
|
M1(7; 6) |
|||||||||||||||||||||
x + 1 |
y ¡ 2 |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡5; 15). |
4x ¡ 4y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
M (5; 1). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
2x |
¡ |
4y в точке |
o |
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a = |
4x + 3y |
~i + |
¡3x + 2y |
~j + |
2x + 3z |
~k в точке M |
(1; 4; |
1). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
¡! |
|
3x |
¡ |
2z |
5y + 4z |
|
|
4y |
¡ |
4z |
|
|
|
o |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
2 |
|
|
~+ |
|
¡ |
3y |
2 |
|
|
~+ |
|
|
2 ~ в точке |
o |
|
. |
||||||||||
a = (4x + 3y + 3z)i (2x |
|
|
+ 4z)j |
|
|
(4x + 2y + 3z )k |
|
|
|
M (3; 2; 2) |
|||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡3;2;1)R
(12x + 3¼ sin(¼x)) dx + (8y + 3¼ sin(¼y)) dy + (6z + 2¼ sin(¼z)) dz.
(¡5;2;2)
11. Ïîëå 4x2 ¡ 4y2 + 4z2 ¡ 2xy + 3yz + 4xz
1) соленоидальное 2) векторное
3) потенциальное 4) скалярное
106 Типовой расчет по векторному анализу
|
Вариант - 101 |
1. Вычислить работу силы F |
= (2x ¡ 4y + 4)¡!i + (2x ¡ 2y ¡ 4)¡! |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
A(0; 2), B(3; 5), C(3; 2), D(7; 2).
1H
2.Вычислить ¼ L (2x2 + 4y + 4) dx + (3x2 + 2y ¡ 1) dy в положительном направлении, если L : fy = 1¡ j x j, y = 0g.
1 RR
3.Вычислить p33 P (¡4x + 4y ¡ z + 3) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 4y ¡ 3, вырезанной плоскостями y = 3, y = ¡1 + x, y = 13 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y ¡ 4z) dydz+(4x ¡ 4y + 3z) dxdz+(3x ¡ 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, x = 5, y = 6, y = ¡4 + x, z = 2, z = 5g.
5.Вычислить интеграл RRP (2y + 2) dydz+(2x ¡ 4y + 3z) dxdz+(2x + 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx2 + z3 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
3x ¡ 3y |
|
|
M1(5; 8) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
6x ¡ 3y в точке |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(¡7; 17). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6xy |
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
¡!z |
j |
) функции z = |
|
M ( |
1; 7). |
|||||||||||||||||||
|
5x + 3y в точке |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
o |
¡ |
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a = |
¡4xi ¡ 2yj ¡ 2zk |
|
|
M ( |
¡ |
3; |
|
1; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¡! |
|
|
|
|
x2 |
+ y2 + z2 |
|
в точке |
o |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a = |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
в точке |
|
|
|
|
. |
|
|
||
fx + 3y ¡ 2z; 2x ¡ y ¡ 2z; 3x + 2y + z g |
Mo(2; ¡1; ¡3) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡5;1;R ¡4)(5y ¡ 2z ¡ 3) dx + (5x ¡ 2z + 6) dy + (¡2x ¡ 2y + 2) dz.
(¡3;¡2;2) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(mx + 2y ¡ 3z)i + (2x + 6y ¡ 5z)j + (¡3x ¡ 4y ¡ 3z)kg |
||
является соленоидальным, если m равно...
Типовой расчет по векторному анализу |
107 |
1. Вычислить работу силы |
Вариант - 102 |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
|
|
F = (3x + 3y ¡ 2)¡!i + (2x + 2y ¡ 4)¡! |
A(3; 13), B(3; 7), C(7; 7), D(3; 3).
1H
2.Вычислить ¼ L (3x2 + 4y ¡ 1) dx + (4x2 ¡ 2y + 3) dy по часовой стрелке, если L : fy =j x j ¡4, y = 0g.
1 RR
3.Вычислить p9 P (¡2x + 2y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 2y + 4, вырезанной плоскостями y = 8, y = ¡3 + x, y = 9 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 4y + 3z) dydz+(4x + 2y ¡ 3z) dxdz+(2x + 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 9, y = ¡1, y = 3, y = 6 ¡ x, z = ¡4, z = 0g.
5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 4y ¡ 4z) dydz+(2x ¡ 2) dxdz+(3y + 4) dxdy по нижней части плоскости P : fy4 + z3 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
5xy |
|
в точке M1(¡1; ¡4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5x + 3y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(7; ¡19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x ¡ 4y |
|
3x + 3y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
¡!z |
j |
) функции z = |
+ |
|
|
|
M ( |
1; 8). |
||||||||||||||||||||
x + 3 |
|
y |
|
1 |
в точке |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
o |
¡ |
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a = |
5y ¡ 4z |
~i + |
5x ¡ 4z |
~j + |
4x + 5y |
~k в точке M |
(3; 4; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
¡! |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
|
|
||||||||||||||
¡! |
|
|
¡ |
¡ |
~+ |
¡ |
|
|
|
~+ |
|
|
|
|
~ в точке |
|
o |
|
|
. |
|
||||||||||
a = (2 cos x 3y 3z)i (2x 2e |
y |
+ 3z)j |
|
(3x + 4y |
|
2 tg z)k |
|
|
|
M ( |
1; 3; |
|
3) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(4;2;R¡1) (2y + 4z + 2 cos(¼x)) dx + (2x + 3z + 5 cos(¼y)) dy + (4x + 3y + 5 cos(¼z)) dz.
(¡1;¡7;0) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(¡5x + my + nz)i + (¡4x ¡ 3y + 3z)j + (¡3x + 4y ¡ 1z)kg |
||
является потенциальным, если сумма m + n равна...
108 Типовой расчет по векторному анализу
|
Вариант - 103 |
1. Вычислить работу силы F |
= (3x ¡ 2y ¡ 3)¡!i + (2x ¡ 4y ¡ 2)¡! |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
A(3; 6), B(3; 2), C(7; 6), D(12; 6).
1H
2.Вычислить ¼ L (2x ¡ 4y2 + 2) dx + (2x ¡ 3y2 + 4) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 1¡ j y j, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p26 P (¡4x ¡ 3y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x ¡ 3y + 3, вырезанной плоскостями x = 3, y = ¡3, y = 4 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (2x + 4y + 2z) dydz+(4x ¡ 3y + 2z) dxdz+(2x + 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, x = 6, y = ¡3, y = ¡2 + x, z = 4, z = 6g.
5.Вычислить интеграл RRP (3y ¡ 2) dydz+(4z + 4) dxdz+(3x ¡ 4y + 4z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx5 + y4 = 1, 0 · z · 4g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
5x ¡ 3y |
|
|
|
|
M |
( |
1; 7) |
|
|
|
|
||||||||||
4x + 3y в точке |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(7; 22). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
!¡ z |
j |
)функции z = |
7x ¡ 3y |
+ |
5x + 2y |
|
M |
(1; 2). |
|||||||||||||
x + 3 |
|
y + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
o |
|
||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a = |
¡3x ¡ 3y ¡ 2z |
~i + |
4x ¡ 4y ¡ 2z |
~j + |
¡3x + 2y + 2z |
~k в точке M (2; 1; |
|
2). |
|
|
|||||||||||||
¡! |
|
x |
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
|
|
|||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
2 ctg z)~k в точке Mo(2; 1; 1). |
|
|||||||||||||||||||
a = (4 ln x + 3y + 2z)~i+(3x + 2py |
|
|
2z)~j+(3x + 3y |
|
|
||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(¡3;R¡4;3)
(8x + 5y ¡ 4z) dx + (5x ¡ 4y + 5z) dy + (¡4x + 5y ¡ 4z) dz.
(¡3;¡6;¡5) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(¡4x + 4y + 2z)i + (4x ¡ 4y ¡ 4z)j + (2x ¡ 4y + 8z)kg |
||||
1) |
скалярное |
2) |
векторное |
|
|
|
3) |
потенциальное |
4) |
соленоидальное |
|
|
|
Типовой расчет по векторному анализу |
109 |
1. Вычислить работу силы |
Вариант - 104 |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
|
|
F = (3x + 3y + 4)¡!i + (2x + 2y + 4)¡! |
A(0; 9), B(6; 9), C(0; 3), D(0; 0).
1H
2.Вычислить ¼ L (3x ¡ 4y2 + 2) dx + (4x + 2y2 + 3) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡1, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p33 P (¡4x ¡ 4y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x ¡ 4y + 3, вырезанной плоскостями x = 5, y = ¡2, y = ¡4 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (2x + 2y ¡ 2z) dydz+(3x + 4y + 4z) dxdz+(3x ¡ 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡1, y = ¡1, y = 3, y = 4 ¡ x, z = ¡4, z = ¡1g.
5.Вычислить интеграл RRP (4y ¡ 3)) dydz+(3x + 2y ¡ 3z) dxdz+(3x + 4) dxdy по нижней части плоскости P : fx3 + z2 = 1, 0 · y · 4g, находящейся в первом октанте.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
в точке M1(7; ¡4) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5x + 3y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(11; ¡7). |
|
3x + 4y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
M (1; |
1). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
6x + 3y в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a = |
|
5x + 4y |
~i + |
2x ¡ 3y |
~j + |
|
¡4x ¡ 2z |
~k в точке M ( |
|
4; |
3; 2). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
2x |
¡ |
4z |
|
3y + 3z |
¡ |
2y |
¡ |
2z |
|
|
|
|
|
o |
¡ ¡ |
¡ |
|
|
|
||||||||||||||
9. |
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
Mo(¡2; ¡1; ¡2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
f |
4x |
¡ |
3y |
¡ |
2z; 3x |
¡ |
4y + 4z; 2x |
¡ |
2y |
¡ |
3z |
g |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡1;R¡5;6)(6x + 6¼ sin(¼x)) dx + (¡4y ¡ 4¼ sin(¼y)) dy + (¡8z ¡ 4¼ sin(¼z)) dz.
(¡5;0;0) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(¡4x + 5y + 7z)i + (5x + 4y + 4z)j + (7x + 5y ¡ 0z)kg |
||
1) векторное 2) потенциальное
3) скалярное 4) соленоидальное
110 Типовой расчет по векторному анализу
|
Вариант - 105 |
1. Вычислить работу силы F |
= (3x + 2y ¡ 4)¡!i + (4x ¡ 3y ¡ 3)¡! |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
A(¡1; 7), B(2; 7), C(2; 3), D(6; 7).
1H
2.Вычислитьp¼ L (4x2 ¡ 4y ¡ 1) dx + (3x2 + 3y ¡ 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 9 ¡ x2, y = 0g.
1RR
3.Вычислить p14 P (¡2x + 3y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 3y + 2, вырезанной плоскостями x = 2, y = 5, y = 3 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x + 2y + 3z) dydz+(3x + 3y + 2z) dxdz+(3x + 4y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡2, x = 1, y = 8, y = 5 + x, z = ¡1, z = 2g.
5.Вычислить интеграл RRP (4x + 4y + 3z) dydz+(2x + 2) dxdz+(4y + 2) dxdy по верхней части плоскости P : fy5 + z3 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
2x + 4y |
+ |
|
4x ¡ 2y |
|
|
|
M |
(3; |
¡ |
2) |
|||||||||||||||||||||||||||
x |
|
4 |
|
|
y + 4 |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
по направлению к точке M2(¡6; 10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
|
|
|
|
M ( |
|
1; 7). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
7x + 3y в точке |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
¡ |
|||||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = |
3xi ¡ 3yj ¡ 2zk |
M ( |
¡ |
3; |
¡ |
2; |
|
4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
¡! |
|
x2 |
+ y2 |
+ z2 в точке |
|
|
o |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡! |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
+ 4y ¡ 4z)i (4x ¡ 4y |
2 |
¡ 2z |
|
~+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
~ |
в точке |
o |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
~+ |
|
|
|
|
|
|
(2x + 4y |
|
|
|
M (2; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a = (3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)j |
|
|
|
|
4z )k |
|
|
|
|
3; 1) |
|
|||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡3;2;R ¡4)(5y ¡ 4z + 3) dx + (5x ¡ 5z + 2) dy + (¡4x ¡ 5y + 3) dz.
(2;¡3;0) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(¡2x ¡ 2y + 3z)i + (¡2x ¡ 3y ¡ 3z)j + (3x ¡ 3y + 8z)kg |
||
1) скалярное 2) соленоидальное
3) векторное 4) потенциальное
Типовой расчет по векторному анализу |
111 |
|
|
|
|
|
Вариант - 106 |
1. |
|
|
|
|
R |
Вычислить интеграл ABCD (4x ¡ 3y ¡ 2) dx + (3x + 2y + 2) dy по ломаной ABCD, |
|||||
åñëè A(1; 4), B(4; 7), C(4; 4), D(8; 4). |
|||||
2. |
Вычислить |
1 |
H |
|
|
¼ |
(3x2 |
¡ 4y + 1) dx + (3x2 ¡ 2y + 2) dy по часовой стрелке, |
|||
åñëè L : fy = p |
|
L |
|
||
|
, y = 0g. |
||||
25 ¡ x2 |
|||||
1RR
3.Вычислить p26 P (¡3x + 4y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 4y ¡ 2, вырезанной плоскостями x = 2, y = 8, y = 2 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y + 2z) dydz+(3x ¡ 3y + 3z) dxdz+(3x + 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 6, y = ¡4, y = ¡2, y = ¡3 ¡ x, z = ¡4, z = ¡2g.
5.Вычислить интеграл RRP (2y + 3) dydz+(4z ¡ 2) dxdz+(2x + 3y ¡ 3z) dxdy по положительной части плоскости P : fx3 + y4 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
4x ¡ 3y |
|
+ |
4x + 4y |
|
M |
(6; |
¡ |
4) |
|
||||||||||||||||||||
|
y |
|
1 в точке |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
¡ |
1 |
|
|
¡ |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
по направлению радиус-вектора к точке M2(15; 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
2x ¡ 3y |
|
M ( |
|
2; 4). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 3y в точке |
o |
|
¡ |
|
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a = |
2y + 5z |
~i + |
4x ¡ 3z |
~j + |
¡4x + 5y |
~k в точке M ( |
1; |
|
2; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
¡! |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|||||||||||||||
¡! |
|
|
¡ ¡ |
~+ |
|
|
¡ 2z)j |
(4x ¡ 2y ¡ 4 tg z)k |
o |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ в точке |
|
|
|
|
|
|||||||
a = (3 cos x |
|
3y 3z)i (4x + 4e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (1; 1; 3) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡1;5;R ¡2)(4y + 5z + 5 cos(¼x)) dx + (4x + 5z + 3 cos(¼y)) dy + (5x + 5y ¡ 5 cos(¼z)) dz.
(3;¡3;¡5)
11. Ïîëå 3x2 + 4y2 + 2z2 ¡ 4xy + 3yz ¡ 4xz
1) векторное 2) потенциальное
3) скалярное 4) соленоидальное