Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант - 47

1.Вычислить интеграл ABCDR (2x ¡ 3y + 4) dx + (4x + 3y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(0; 15), B(0; 9), C(5; 9), D(0; 4). 1 H

2.Вычислить ¼ L (2x + 2y2 ¡ 4) dx + (4x + 2y2 ¡ 2) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 2¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p21 P (¡2x ¡ 4y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x ¡ 4y ¡ 3, вырезанной плоскостями y = ¡3, y = ¡5 + x, y = 7 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 3y + 3z) dydz+(3x + 2y ¡ 2z) dxdz+(2x + 3y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 5, y = 8, y = 1 + x, z = ¡3, z = 0g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y ¡ 2)) dydz+(3x + 3y + 3z) dxdz+(4x ¡ 4) dxdy по нижней части плоскости P : fx3 + z2 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(6x + 2y ¡ 3z) dx + (2x + 10y + 5z) dy + (¡3x + 5y + 6z) dz.

~ ~ ~

f(mx ¡ 5y ¡ 5z)i + (¡5x + 4y ¡ 3z)j + (¡5x ¡ 2y + 5z)kg

является соленоидальным, если m равно...

Вариант - 48

1.Вычислить интеграл ABCDR (3x ¡ 4y + 3) dx + (2x + 4y ¡ 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(1; 6), B(1; 1), C(6; 6), D(9; 6). 1 H

2.Вычислить ¼ L (2x ¡ 3y2 + 3) dx + (2x + 3y2 ¡ 2) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡5, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p14 P (¡2x + 3y ¡ z + 8) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 3y + 3, вырезанной плоскостями y = 2, y = ¡8 + x, y = 6 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 3z) dydz+(2x + 4y ¡ 4z) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 10, y = ¡1, y = 2, y = 6 ¡ x, z = 2, z = 4g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y + 3z) dydz+(4x ¡ 2) dxdz+(2y ¡ 2) dxdy по верхней части плоскости P : fy4 + z5 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡1;R¡1;5)

(6x ¡ 5¼ sin(¼x)) dx + (¡10y + 4¼ sin(¼y)) dy + (8z + 5¼ sin(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

Вариант - 49

1.Вычислить интеграл ABCDR (4x + 4y + 2) dx + (3x + 3y + 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(1; 8), B(7; 8), C(1; 2), D(1; ¡2). 1 H

2.Вычислитьp¼ L (2x2 + 3y ¡ 4) dx + (4x2 + 2y ¡ 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 16 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p21 P (¡4x + 2y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 2y + 4, вырезанной плоскостями x = ¡3, y = 3, y = 2 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 3y + 3z) dydz+(2x ¡ 2y ¡ 4z) dxdz+(2x + 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡3, x = 2, y = 3, y = 11 + x, z = 0, z = 2g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2) dydz+(2x ¡ 2y + 3z) dxdz+(3x ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx5 + z2 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(4;5;0)R (5y + 6z ¡ 3) dx + (5x + 2z ¡ 3) dy + (6x + 2y ¡ 3) dz.

1) векторное 2) потенциальное

3) скалярное 4) соленоидальное

56 Типовой расчет по векторному анализу

1RR

3.Вычислить p21 P (4x ¡ 2y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 2y ¡ 4, вырезанной плоскостями x = 9, y = 2, y = 6 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y ¡ 4z) dydz+(3x ¡ 3y ¡ 3z) dxdz+(4x + 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡1, x = 1, y = 9, y = 5 + x, z = ¡1, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y + 2) dydz+(2z + 3) dxdz+(4x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx2 + y3 = 1, 0 · z · 4g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡!

a = f2x ¡ 2y ¡ 4z; 2x ¡ 2y + 2z; 4x + 2y ¡ 2zg в точке Mo(¡2; ¡2; 3).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(1;0;6)R (10x + 4y ¡ 4z) dx + (4x + 10y + 5z) dy + (¡4x + 5y ¡ 4z) dz.

1RR

3.Вычислить p14 P (2x ¡ 3y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 3y + 3, вырезанной плоскостями x = 4, y = 1, y = ¡5 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y ¡ 2z) dydz+(3x + 4y ¡ 4z) dxdz+(4x ¡ 2y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 10, y = 1, y = 4, y = 8 ¡ x, z = 3, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y + 2)) dydz+(4x + 3y + 2z) dxdz+(4x + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fx4 + z2 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

4x ¡ 2y

6. Вычислить производную функции z = 6x + 3y в точке M1(4; 7)

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(1;6;1)R

(10x + 4¼ sin(¼x)) dx + (12y + 4¼ sin(¼y)) dy + (8z + 2¼ sin(¼z)) dz.

(1;1;2)

11. Ïîëå 4x2 + 2y2 ¡ 2z2 + 3xy ¡ 4yz + 3xz

58 Типовой расчет по векторному анализу

A(1; 7), B(1; 2), C(6; 7), D(12; 7).

1H

2.Вычислить ¼ L (3x2 ¡ 3y ¡ 1) dx + (2x2 + 3y ¡ 4) dy в положительном направлении, если L : fy = 3¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (3x + 4y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 4y ¡ 4, вырезанной плоскостями x = 4, y = 2, y = 7, y = 16 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y ¡ 4z) dydz+(4x + 2y ¡ 2z) dxdz+(2x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, x = 7, y = ¡2, y = ¡1 + x, z = 0, z = 2g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 2y ¡ 2z) dydz+(4x + 4) dxdz+(4y ¡ 4) dxdy по верхней части плоскости P : fy3 + z4 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(2;¡R3;¡4)(2y + 2z + 5) dx + (2x + 3z + 2) dy + (2x + 3y ¡ 2) dz.

является соленоидальным, если m равно...

A(0; 6), B(5; 6), C(0; 1), D(0; ¡3).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x2 + 4y ¡ 4) dx + (4x2 + 4y ¡ 1) dy по часовой стрелке, если L : fy =j x j ¡4, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p33 P (¡4x ¡ 4y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x ¡ 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 13, y = 4, y = 9, y = 1 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 4y ¡ 2z) dydz+(3x + 4y ¡ 3z) dxdz+(3x + 3y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, y = 3, y = 5, y = 11 ¡ x, z = 2, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2) dydz+(3z + 2) dxdz+(2x ¡ 3y ¡ 3z) dxdy по положительной части плоскости P : fx2 + y4 = 1, 0 · z · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡1;6;R ¡3)

(6y + 2z + 5 cos(¼x)) dx + (6x + 3z ¡ 5 cos(¼y)) dy + (2x + 3y ¡ 4 cos(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

60 Типовой расчет по векторному анализу

A(¡2; 8), B(3; 8), C(3; 4), D(7; 8).

1H

2.Вычислить ¼ L (4x + 3y2 + 2) dx + (2x + 3y2 ¡ 2) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 3¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p14 P (¡2x + 3y ¡ z + 3) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями y = 2, y = 4 + x, y = 10 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y ¡ 3z) dydz+(4x + 2y + 3z) dxdz+(2x + 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, x = 8, y = 6, y = ¡4 + x, z = 1, z = 4g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y + 4) dydz+(3x ¡ 3y ¡ 3z) dxdz+(4x ¡ 4) dxdy по верхней части плоскости P : fx3 + z2 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(5;6;2)R

(8x ¡ 2y + 6z) dx + (¡2x ¡ 10y + 6z) dy + (6x + 6y + 8z) dz.

Вариант - 56

1.Вычислить интеграл ABCDR (3x + 2y + 4) dx + (2x + 4y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(2; 3), B(8; 9), C(8; 3), D(11; 3). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x ¡ 2y2 ¡ 3) dx + (4x ¡ 3y2 + 2) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡4, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p14 P (¡3x + 2y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 2y + 4, вырезанной плоскостями y = 6, y = 3 + x, y = 5 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 2z) dydz+(2x + 4y + 4z) dxdz+(4x + 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 10, y = ¡2, y = 1, y = 4 ¡ x, z = ¡1, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y + 4z) dydz+(4x + 3) dxdz+(3y ¡ 3) dxdy по нижней части плоскости P : fy3 + z4 = 1, 0 · x · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(0;4;R¡1) (12x ¡ 4¼ sin(¼x)) dx + (¡10y ¡ 4¼ sin(¼y)) dy + (¡8z ¡ 3¼ sin(¼z)) dz.