Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант - 7

1.Вычислить интеграл ABCDR (2x ¡ 2y + 4) dx + (3x + 3y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(1; 8), B(1; 4), C(4; 4), D(1; 1). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x ¡ 3y2 ¡ 2) dx + (3x ¡ 3y2 ¡ 2) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 3¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y + 2, вырезанной плоскостями y = 2, y = ¡2 + x, y = 16 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 4y + 3z) dydz+(4x + 4y + 3z) dxdz+(2x + 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡2, x = 3, y = 8, y = 3 + x, z = ¡1, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y ¡ 4z) dydz+(4x + 2) dxdz+(3y ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy3 + z2 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(3;¡R5;0) (8x + 4y ¡ 2z) dx + (4x ¡ 6y ¡ 3z) dy + (¡2x ¡ 3y ¡ 6z) dz.

1) векторное 2) потенциальное

3) скалярное 4) соленоидальное

Вариант - 8

1.Вычислить интеграл ABCDR (4x ¡ 3y + 4) dx + (2x ¡ 2y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(1; 10), B(1; 4), C(7; 10), D(12; 10). 1 H

2.Вычислить ¼ L (4x ¡ 2y2 ¡ 1) dx + (2x ¡ 3y2 ¡ 1) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡2, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (¡3x + 4y ¡ z + 4) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 4y ¡ 2, вырезанной плоскостями y = 1, y = ¡5 + x, y = ¡3 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y + 2z) dydz+(2x ¡ 4y + 4z) dxdz+(3x ¡ 2y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 6, y = 1, y = 4, y = 3 ¡ x, z = 3, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y + 3) dydz+(2z + 3) dxdz+(4x + 4y ¡ 2z) dxdy по положительной части плоскости P : fx2 + y3 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(4;1;2)R (12x ¡ 2¼ sin(¼x)) dx + (¡6y + 6¼ sin(¼y)) dy + (12z + 3¼ sin(¼z)) dz.

Вариант - 9

1.Вычислить интеграл ABCDR (3x + 2y + 4) dx + (3x ¡ 4y ¡ 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(2; 8), B(7; 8), C(2; 3), D(2; 0). 1 H

2.Вычислитьp¼ L (3x2 ¡ 2y + 3) dx + (2x2 ¡ 4y ¡ 1) dy в положительном направлении, если L : fy = 25 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p14 P (2x + 3y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x + 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями x = 1, y = ¡1, y = 2 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 4z) dydz+(2x ¡ 2y + 2z) dxdz+(4x + 2y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 6, y = 3, y = 7 + x, z = 4, z = 7g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 3) dydz+(2x ¡ 3y ¡ 4z) dxdz+(4x ¡ 2) dxdy по верхней части плоскости P : fx4 + z2 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(1;¡R4;4) (6y + 5z + 4) dx + (6x + 4z + 5) dy + (5x + 4y + 6) dz.

1) скалярное 2) соленоидальное

3) векторное 4) потенциальное

1RR

3.Вычислить p21 P (¡2x ¡ 4y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x ¡ 4y ¡ 2, вырезанной плоскостями x = 7, y = 4, y = 1 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 3y + 2z) dydz+(4x + 2y + 3z) dxdz+(3x + 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, y = 4, y = 9, y = 15 ¡ x, z = ¡2, z = 0g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 4y + 2z) dydz+(3x ¡ 4) dxdz+(2y + 3) dxdy по нижней части плоскости P : fy3 + z5 = 1, 0 · x · 3g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡! ~ p ~ ~

a = (2 ln x ¡ 2y ¡ 2z)i+(2x ¡ 4 y ¡ 4z)j+(3x ¡ 3y ¡ 4 ctg z)k в точке Mo(¡2; 3; 1).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(2;2;R¡2)(4y + 6z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (4x + 4z + 2 cos(¼y)) dy + (6x + 4y ¡ 4 cos(¼z)) dz.

(0;2;3)

11. Ïîëå ¡3x2 + 3y2 + 3z2 + 3xy ¡ 4yz ¡ 2xz

16 Типовой расчет по векторному анализу

1RR

3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 8) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y + 2, вырезанной плоскостями x = 7, y = 4, y = 6 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y + 3z) dydz+(2x ¡ 2y + 3z) dxdz+(4x ¡ 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, x = 4, y = 3, y = ¡5 + x, z = ¡3, z = 0g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y + 4) dydz+(2z ¡ 2) dxdz+(2x ¡ 2y ¡ 4z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx3 + y5 = 1, 0 · z · 3g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡!

a = f4x ¡ 3y ¡ 3z; 4x ¡ 3y ¡ 3z; 4x + 3y + 2zg в точке Mo(¡3; 1; 1).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(12x + 3y ¡ 2z) dx + (3x + 8y + 6z) dy + (¡2x + 6y ¡ 4z) dz.

~ ~ ~

11. Ïîëå f(mx + 7y + 2z)i + (7x + 4y + 2z)j + (2x + 3y ¡ 4z)kg

является соленоидальным, если m равно...

Вариант - 12

1RR

3.Вычислить p14 P (3x ¡ 2y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 2y + 2, вырезанной плоскостями x = 3, y = 7, y = 1 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 2y ¡ 2z) dydz+(2x + 3y ¡ 2z) dxdz+(2x + 2y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, y = 1, y = 6, y = 2 ¡ x, z = 4, z = 7g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y + 2)) dydz+(3x ¡ 4y + 4z) dxdz+(2x + 4) dxdy по нижней части плоскости P : fx5 + z4 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(1;¡R3;¡5)

(12x + 4¼ sin(¼x)) dx + (¡8y ¡ 2¼ sin(¼y)) dy + (¡4z + 2¼ sin(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

18 Типовой расчет по векторному анализу

A(1; 6), B(1; 3), C(4; 6), D(10; 6).

1H

2.Вычислить ¼ L (4x2 ¡ 3y ¡ 4) dx + (4x2 + 3y + 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 4¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (4x ¡ 3y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 3y ¡ 4, вырезанной плоскостями x = 4, y = 1, y = 3, y = 9 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 3z) dydz+(4x ¡ 3y + 2z) dxdz+(4x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 5, y = 2, y = 5 + x, z = 3, z = 6g.

5.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 3z) dydz+(2x + 3) dxdz+(3y + 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy2 + z4 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡4;5;0)R

(6y ¡ 4z + 6) dx + (6x + 6z ¡ 3) dy + (¡4x + 6y + 4) dz.

A(3; 9), B(9; 9), C(3; 3), D(3; ¡2).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x2 ¡ 3y ¡ 1) dx + (3x2 + 3y ¡ 3) dy по часовой стрелке, если L : fy =j x j ¡5, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (¡3x + 4y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 4y ¡ 4, вырезанной плоскостями x = 14, y = ¡3, y = 2, y = ¡7 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 3z) dydz+(4x ¡ 3y + 2z) dxdz+(2x ¡ 4y ¡ 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡1, y = 3, y = 7, y = 8 ¡ x, z = 4, z = 6g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y + 4) dydz+(2z + 4) dxdz+(2x + 2y + 4z) dxdy по положительной части плоскости P : fx3 + y2 = 1, 0 · z · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(3;¡R2;6)(3y + 2z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (3x + 4z ¡ 2 cos(¼y)) dy + (2x + 4y ¡ 5 cos(¼z)) dz.

20 Типовой расчет по векторному анализу

A(¡3; 7), B(2; 7), C(2; 3), D(6; 7).

1H

2.Вычислить ¼ L (3x ¡ 4y2 + 3) dx + (4x ¡ 4y2 + 2) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 3¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (4x ¡ 3y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями y = 4, y = 1 + x, y = 13 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 2y ¡ 4z) dydz+(2x ¡ 2y ¡ 4z) dxdz+(4x + 4y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡2, x = 3, y = 12, y = 6 + x, z = ¡2, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y ¡ 3) dydz+(4x + 2y + 4z) dxdz+(2x + 2) dxdy по верхней части плоскости P : fx4 + z5 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(3;6;R¡3)

(4x + 6y ¡ 5z) dx + (6x ¡ 8y ¡ 2z) dy + (¡5x ¡ 2y + 10z) dz.

1) скалярное 2) потенциальное

3) векторное 4) соленоидальное

Вариант - 16

1.Вычислить интеграл ABCDR (4x + 3y ¡ 4) dx + (3x + 4y ¡ 4) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(1; 1), B(4; 4), C(4; 1), D(8; 1). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x ¡ 4y2 + 3) dx + (3x ¡ 3y2 ¡ 4) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡3, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p33 P (¡4x + 4y ¡ z + 3) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 4y ¡ 3, вырезанной плоскостями y = 6, y = ¡8 + x, y = 10 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y ¡ 3z) dydz+(4x + 2y + 4z) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 6, y = 4, y = 7, y = 8 ¡ x, z = ¡1, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 3z) dydz+(4x + 2) dxdz+(2y + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy5 + z2 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡4;1;1)R (12x ¡ 2¼ sin(¼x)) dx + (¡4y + 6¼ sin(¼y)) dy + (12z + 5¼ sin(¼z)) dz.

(0;¡1;¡1)

11. Ïîëå ¡4x2 ¡ 2y2 + 4z2 + 2xy + 4yz + 4xz