Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант - 37

1.Вычислить интеграл ABCDR (2x + 3y + 2) dx + (3x ¡ 4y ¡ 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(3; 10), B(3; 7), C(6; 7), D(3; 4). 1 H

2.Вычислить ¼ L (2x2 + 4y ¡ 1) dx + (4x2 + 2y ¡ 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 5¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p14 P (3x ¡ 2y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 2y + 4, вырезанной плоскостями x = 4, y = ¡1, y = 2, y = 9 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y ¡ 3z) dydz+(3x ¡ 3y + 3z) dxdz+(2x + 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, x = 9, y = 3, y = 4 + x, z = 1, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y ¡ 4)) dydz+(2x + 3y ¡ 4z) dxdz+(2x + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fx4 + z2 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡1;¡2;5)

R

(4y + 4z ¡ 3) dx + (4x + 6z + 6) dy + (4x + 6y ¡ 3) dz.

(¡3;0;¡7)

Вариант - 38

1.Вычислить интеграл ABCDR (3x + 4y + 2) dx + (3x + 3y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(3; 9), B(3; 4), C(8; 9), D(12; 9). 1 H

2.Вычислить ¼ L (4x2 ¡ 4y ¡ 1) dx + (3x2 + 4y ¡ 2) dy по часовой стрелке,

åñëè L : fy =j x j ¡4, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p21 P (¡2x ¡ 4y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x ¡ 4y ¡ 2, вырезанной плоскостями x = 3, y = 3, y = 5, y = 4 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 4y + 4z) dydz+(4x ¡ 4y + 2z) dxdz+(4x + 3y ¡ 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, y = 1, y = 4, y = 9 ¡ x, z = ¡2, z = 2g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 3y + 3z) dydz+(2x + 2) dxdz+(3y ¡ 4) dxdy по верхней части плоскости P : fy2 + z5 = 1, 0 · x · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(1;¡R5;¡1)(3y ¡ 4z ¡ 3 cos(¼x)) dx + (3x ¡ 4z + 4 cos(¼y)) dy + (¡4x ¡ 4y + 4 cos(¼z)) dz.

1) скалярное 2) потенциальное

3) векторное 4) соленоидальное

Вариант - 39

1.Вычислить интеграл ABCDR (4x ¡ 4y + 3) dx + (3x + 2y ¡ 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(2; 6), B(7; 6), C(2; 1), D(2; ¡5). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x + 4y2 + 1) dx + (3x + 4y2 ¡ 1) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 3¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p14 P (2x + 3y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x + 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями y = 4, y = 3 + x, y = 15 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y + 4z) dydz+(2x + 3y ¡ 2z) dxdz+(3x ¡ 3y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, x = 7, y = 12, y = 1 + x, z = ¡2, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y + 2) dydz+(4x ¡ 4y + 4z) dxdz+(4x + 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx5 + z4 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(1;¡R5;¡4)(6x + 2y + 4z) dx + (2x + 4y ¡ 2z) dy + (4x ¡ 2y + 4z) dz.

(¡7;¡1;2)

~ ~ ~

11. Ïîëå f(¡3x + 3y + 5z)i + (3x + 3y + 3z)j + (5x + 3y + 3z)kg

1) соленоидальное 2) скалярное

3) потенциальное 4) векторное

Вариант - 40

1.Вычислить интеграл ABCDR (4x ¡ 2y ¡ 4) dx + (2x ¡ 3y + 2) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(¡3; 7), B(2; 7), C(2; 3), D(6; 7). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x ¡ 2y2 + 2) dx + (4x ¡ 4y2 + 3) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡1, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p19 P (¡3x + 3y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями y = 3, y = ¡9 + x, y = 7 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 4y ¡ 4z) dydz+(3x + 3y + 4z) dxdz+(4x + 2y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 11, y = ¡3, y = 1, y = 4 ¡ x, z = 1, z = 4g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y ¡ 2z) dydz+(3x + 2) dxdz+(2y ¡ 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy5 + z4 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(3;5;R¡4)(6x + 6¼ sin(¼x)) dx + (¡4y + 4¼ sin(¼y)) dy + (8z + 3¼ sin(¼z)) dz.

(3;¡5;2)

11. Ïîëå ¡4x2 ¡ 2y2 ¡ 2z2 + 3xy + 3yz + 2xz

46 Типовой расчет по векторному анализу

Вариант - 41

A(3; 4), B(8; 9), C(8; 4), D(14; 4).

1H

2.Вычислитьp¼ L (2x2 ¡ 3y + 4) dx + (3x2 ¡ 2y ¡ 4) dy в положительном направлении, если L : fy = 9 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p26 P (3x + 4y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 3, y = 4, y = 9 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y + 3z) dydz+(2x ¡ 4y + 4z) dxdz+(2x + 3y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, x = 8, y = 2, y = 3 + x, z = 3, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y + 2) dydz+(4z ¡ 4) dxdz+(4x ¡ 4y ¡ 4z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx3 + y4 = 1, 0 · z · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(0;¡R3;2) (3y ¡ 2z ¡ 5) dx + (3x ¡ 5z ¡ 3) dy + (¡2x ¡ 5y ¡ 2) dz.

является соленоидальным, если m равно...

Вариант - 42

A(0; 11), B(0; 8), C(6; 8), D(0; 2).

1H

2.Вычислитьp¼ L (3x2 + 4y + 3) dx + (2x2 + 4y + 2) dy по часовой стрелке, если L : fy = 1 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p21 P (4x + 2y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x + 2y + 4, вырезанной плоскостями x = 1, y = 1, y = 3 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 4y ¡ 2z) dydz+(2x + 4y ¡ 2z) dxdz+(4x + 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, y = 1, y = 6, y = 11 ¡ x, z = ¡1, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y + 2)) dydz+(3x ¡ 3y + 4z) dxdz+(2x ¡ 2) dxdy по нижней части плоскости P : fx4 + z3 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(2;2;3)R (6y ¡ 4z ¡ 5 cos(¼x)) dx + (6x ¡ 2z + 5 cos(¼y)) dy + (¡4x ¡ 2y ¡ 3 cos(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

48 Типовой расчет по векторному анализу

1RR

3.Вычислить p33 P (¡4x + 4y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 4y + 3, вырезанной плоскостями x = 4, y = 4, y = 6 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 2y ¡ 2z) dydz+(2x + 4y ¡ 3z) dxdz+(3x ¡ 3y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡4, x = ¡2, y = 11, y = 8 + x, z = ¡4, z = ¡1g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 4y + 4z) dydz+(4x + 3) dxdz+(3y ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy4 + z3 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(4;¡1;¡1)

R

(6x + 2y ¡ 3z) dx + (2x + 8y ¡ 2z) dy + (¡3x ¡ 2y ¡ 4z) dz.

(1;1;0)

50 Типовой расчет по векторному анализу

A(¡4; 7), B(2; 7), C(2; 1), D(8; 7).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x2 + 2y ¡ 4) dx + (2x2 + 2y ¡ 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 6¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p33 P (4x + 4y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x + 4y + 3, вырезанной плоскостями x = 1, y = ¡4, y = ¡2, y = 1 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 2y + 3z) dydz+(4x ¡ 3y + 3z) dxdz+(3x + 3y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, x = 7, y = 4, y = 5 + x, z = 2, z = 6g.

5.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 4z) dydz+(2x + 3) dxdz+(4y + 4) dxdy по нижней части плоскости P : fy5 + z2 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(3;¡R2;6)

(5y + 3z ¡ 4) dx + (5x + 5z ¡ 4) dy + (3x + 5y + 5) dz.

(¡6;¡4;¡6)

~ ~ ~

11. Ïîëå f(6x + 5y + 6z)i + (5x ¡ 3y ¡ 4z)j + (6x ¡ 4y ¡ 0z)kg

Вариант - 46

1.Вычислить интеграл ABCDR (3x + 3y + 2) dx + (2x + 4y + 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(0; 1), B(5; 6), C(5; 1), D(11; 1). 1 H

2.Вычислить ¼ L (3x2 ¡ 4y + 2) dx + (4x2 + 4y ¡ 2) dy по часовой стрелке,

åñëè L : fy =j x j ¡3, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p26 P (4x ¡ 3y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями x = 11, y = ¡1, y = 3, y = ¡4 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y ¡ 3z) dydz+(2x ¡ 3y + 3z) dxdz+(2x ¡ 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, y = 1, y = 3, y = 11 ¡ x, z = ¡3, z = ¡1g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y ¡ 2) dydz+(2z + 4) dxdz+(2x + 2y + 2z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx4 + y2 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡!

a = f2x + 4y ¡ 4z; 3x ¡ 3y ¡ 2z; 2x ¡ 3y ¡ 2zg в точке Mo(2; 1; ¡2).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡1;R¡1;6)

(3y + 5z + 3 cos(¼x)) dx + (3x + 4z ¡ 2 cos(¼y)) dy + (5x + 4y ¡ 4 cos(¼z)) dz.

(¡5;¡3;¡7)

11. Ïîëå 2x2 ¡ 2y2 ¡ 2z2 + 4xy + 3yz ¡ 2xz