Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант - 17

1.Вычислить интеграл ABCDR (2x ¡ 4y + 4) dx + (3x ¡ 3y ¡ 4) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(3; 13), B(3; 10), C(9; 10), D(3; 4). 1 H

2.Вычислитьp¼ L (4x2 ¡ 3y ¡ 4) dx + (3x2 ¡ 2y + 4) dy в положительном направлении, если L : fy = 25 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p33 P (¡4x ¡ 4y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x ¡ 4y ¡ 3, вырезанной плоскостями x = ¡2, y = 3, y = 4 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y ¡ 3z) dydz+(3x + 4y + 2z) dxdz+(3x ¡ 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 5, y = ¡4, y = ¡3 + x, z = 1, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2)) dydz+(2x ¡ 3y ¡ 2z) dxdz+(3x ¡ 3) dxdy по нижней части плоскости P : fx4 + z5 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(0;6;1)R

(5y ¡ 2z ¡ 5) dx + (5x ¡ 4z + 6) dy + (¡2x ¡ 4y ¡ 4) dz.

является соленоидальным, если m равно...

1RR

3.Вычислить p14 P (3x + 2y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 2y ¡ 2, вырезанной плоскостями x = 6, y = ¡3, y = ¡5 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y + 2z) dydz+(4x ¡ 2y ¡ 3z) dxdz+(2x + 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, y = 2, y = 6, y = 14 ¡ x, z = 1, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y ¡ 2z) dydz+(2x + 3) dxdz+(2y ¡ 4) dxdy по верхней части плоскости P : fy4 + z5 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(6;4;R¡4)

(4y ¡ 2z + 3 cos(¼x)) dx + (4x ¡ 5z + 5 cos(¼y)) dy + (¡2x ¡ 5y ¡ 3 cos(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

24 Типовой расчет по векторному анализу

Вариант - 19

1. Вычислить интеграл ABCDR (4x + 2y ¡ 4) dx + (4x ¡ 2y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(2; 6), B(6; 6), C(2; 2), D(2; ¡4).

2. Вычислить ¼1 H (4x ¡ 4y2 + 3) dx + (4x ¡ 4y2 + 1) dy в отрицательном направлении,

p L

åñëè L : fx = 16 ¡ y2, x = 0g.

1RR

3.Вычислить p33 P (4x + 4y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x + 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 3, y = ¡2, y = ¡1 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 4y ¡ 3z) dydz+(2x ¡ 2y + 3z) dxdz+(3x + 2y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 5, y = 6, y = ¡3 + x, z = ¡3, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 3) dydz+(4z ¡ 4) dxdz+(2x + 4y ¡ 3z) dxdy по положительной части плоскости P : fx4 + y5 = 1, 0 · z · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡3;4;3)R

(4x ¡ 2y ¡ 4z) dx + (¡2x + 10y + 5z) dy + (¡4x + 5y ¡ 4z) dz.

Вариант - 20

1. Вычислить интеграл ABCDR (2x + 2y + 4) dx + (3x ¡ 4y + 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(¡4; 6), B(0; 6), C(0; 3), D(3; 6).

2. Вычислить ¼1 H (2x ¡ 3y2 ¡ 4) dx + (4x ¡ 2y2 ¡ 3) dy против часовой стрелки,

p L

åñëè L : fx = 36 ¡ y2, x = 0g.

1RR

3.Вычислить p26 P (4x ¡ 3y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 3y + 2, вырезанной плоскостями x = 1, y = 1, y = ¡3 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 2y ¡ 3z) dydz+(2x + 3y + 3z) dxdz+(2x + 4y ¡ 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 11, y = ¡3, y = 1, y = 4 ¡ x, z = ¡3, z = 0g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y ¡ 4) dydz+(3x ¡ 3y ¡ 3z) dxdz+(3x ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx2 + z5 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡2;¡R2;¡3)

(12x + 4¼ sin(¼x)) dx + (6y + 4¼ sin(¼y)) dy + (8z ¡ 2¼ sin(¼z)) dz.

1) векторное 2) соленоидальное

3) скалярное 4) потенциальное

26 Типовой расчет по векторному анализу

A(3; 4), B(7; 8), C(7; 4), D(13; 4).

1H

2.Вычислить ¼ L (4x2 + 2y ¡ 3) dx + (4x2 + 2y + 4) dy в положительном направлении, если L : fy = 4¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p9 P (2x ¡ 2y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 2y + 3, вырезанной плоскостями x = ¡3, y = ¡2, y = 2, y = 3 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 3y + 3z) dydz+(2x ¡ 2y + 4z) dxdz+(2x ¡ 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡4, x = ¡1, y = ¡1, y = 8 + x, z = 4, z = 7g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x + 2y ¡ 3z) dydz+(4x ¡ 3) dxdz+(3y + 3) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z4 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡!

a = f4x + 4y + 3z; 3x ¡ 3y + 4z; 2x + 4y ¡ 2zg в точке Mo(¡2; 2; 3).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(6;¡R5;¡5)(5y ¡ 4z ¡ 4) dx + (5x + 2z + 4) dy + (¡4x + 2y + 2) dz.

A(0; 12), B(0; 8), C(6; 8), D(0; 2).

1H

2.Вычислить ¼ L (3x2 + 4y + 3) dx + (2x2 + 3y ¡ 3) dy по часовой стрелке, если L : fy =j x j ¡6, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (¡3x ¡ 4y ¡ z + 3) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x ¡ 4y ¡ 3, вырезанной плоскостями x = 7, y = ¡1, y = 2, y = ¡2 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y ¡ 4z) dydz+(4x ¡ 4y + 4z) dxdz+(2x ¡ 2y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, y = 1, y = 3, y = 8 ¡ x, z = 0, z = 2g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y + 4) dydz+(4z + 3) dxdz+(3x + 3y ¡ 2z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx3 + y5 = 1, 0 · z · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡3;3;2)R (5y ¡ 4z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (5x ¡ 3z ¡ 2 cos(¼y)) dy + (¡4x ¡ 3y + 3 cos(¼z)) dz.

(¡1;¡1;2)

11. Ïîëå ¡4x2 ¡ 4y2 + 2z2 + 2xy + 4yz ¡ 4xz

28 Типовой расчет по векторному анализу

A(0; 10), B(0; 4), C(6; 10), D(11; 10).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x ¡ 4y2 + 4) dx + (2x + 2y2 ¡ 2) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 5¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (¡3x + 4y ¡ z + 10) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 4y + 4, вырезанной плоскостями y = ¡3, y = 1 + x, y = ¡3 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 2y ¡ 3z) dydz+(3x + 4y + 3z) dxdz+(2x + 4y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 3, y = 9, y = 1 + x, z = ¡4, z = ¡2g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 4)) dydz+(4x + 2y + 2z) dxdz+(3x + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fx3 + z5 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡5;4;R ¡1)

(4x ¡ 2y ¡ 3z) dx + (¡2x ¡ 10y + 6z) dy + (¡3x + 6y + 10z) dz.

является соленоидальным, если m равно...

A(0; 4), B(3; 4), C(0; 1), D(0; ¡3).

1H

2.Вычислить ¼ L (4x + 2y2 ¡ 2) dx + (3x ¡ 2y2 ¡ 4) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡6, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y + 3, вырезанной плоскостями y = 2, y = ¡8 + x, y = 6 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 2z) dydz+(2x + 4y ¡ 3z) dxdz+(4x + 3y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, y = 1, y = 3, y = 2 ¡ x, z = 0, z = 2g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x + 3y ¡ 3z) dydz+(4x + 3) dxdz+(2y ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy5 + z3 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(1;¡R5;3)(10x ¡ 5¼ sin(¼x)) dx + (¡8y ¡ 3¼ sin(¼y)) dy + (¡6z + 4¼ sin(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...

30 Типовой расчет по векторному анализу

A(¡3; 7), B(0; 7), C(0; 1), D(6; 7).

1H

2.Вычислитьp¼ L (4x2 + 3y ¡ 2) dx + (4x2 + 4y ¡ 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 16 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y + 2, вырезанной плоскостями x = 3, y = 4, y = 12 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y ¡ 3z) dydz+(3x + 3y ¡ 2z) dxdz+(4x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 1, x = 6, y = ¡2, y = 2 + x, z = ¡4, z = ¡1g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2) dydz+(3x ¡ 4y + 2z) dxdz+(3x + 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx3 + z4 = 1, 0 · y · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡3;¡5;¡2)

1RR

3.Вычислить p33 P (¡4x + 4y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 4y + 3, вырезанной плоскостями x = 1, y = 1, y = 5 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 2z) dydz+(4x + 3y ¡ 2z) dxdz+(3x + 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, y = ¡3, y = 2, y = 8 ¡ x, z = ¡4, z = 0g.

5.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 3y + 3z) dydz+(2x + 2) dxdz+(3y ¡ 4) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z5 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(3;1;1)R

(6y ¡ 5z ¡ 3 cos(¼x)) dx + (6x + 5z ¡ 5 cos(¼y)) dy + (¡5x + 5y + 4 cos(¼z)) dz.