Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант - 57

1.Вычислить интеграл ABCDR (2x ¡ 2y ¡ 2) dx + (4x + 4y ¡ 4) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(2; 12), B(2; 9), C(7; 9), D(2; 4). 1 H

2.Вычислитьp¼ L (2x2 + 2y ¡ 3) dx + (3x2 + 4y ¡ 2) dy в положительном направлении, если L : fy = 4 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p26 P (¡4x ¡ 3y ¡ z + 8) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x ¡ 3y + 3, вырезанной плоскостями x = 4, y = 2, y = 8 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 4y + 3z) dydz+(3x + 4y + 3z) dxdz+(3x ¡ 4y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, x = 6, y = 3, y = 6 + x, z = ¡3, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y ¡ 4) dydz+(3z ¡ 3) dxdz+(2x + 3y + 3z) dxdy по отрицательной части плоскости P : fx2 + y3 = 1, 0 · z · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡3;¡R5;¡3)

(2y ¡ 4z + 3) dx + (2x + 3z + 2) dy + (¡4x + 3y + 6) dz.

1) векторное 2) потенциальное

3) скалярное 4) соленоидальное

1RR

3.Вычислить p19 P (¡3x + 3y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями x = 7, y = 4, y = 2 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x + 2y ¡ 2z) dydz+(2x ¡ 4y ¡ 3z) dxdz+(2x ¡ 2y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡3, y = 4, y = 7, y = 6 ¡ x, z = 1, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y ¡ 3)) dydz+(3x ¡ 4y ¡ 2z) dxdz+(2x ¡ 4) dxdy по нижней части плоскости P : fx2 + z4 = 1, 0 · y · 4g, находящейся в первом октанте.

6x + 4y

6. Вычислить производную функции z = 2x + 3y в точке M1(4; 7)

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡1;1;1)R (4y + 6z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (4x + 3z + 3 cos(¼y)) dy + (6x + 3y ¡ 3 cos(¼z)) dz.

(¡2;0;¡2)

11. Ïîëå 4x2 ¡ 4y2 ¡ 2z2 ¡ 2xy + 3yz ¡ 2xz

64 Типовой расчет по векторному анализу

Вариант - 59

1. Вычислить интеграл ABCDR (3x + 4y ¡ 4) dx + (2x + 3y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,

åñëè A(3; 9), B(8; 9), C(3; 4), D(3; ¡2).

2. Вычислить ¼1 H (3x + 4y2 + 1) dx + (2x + 2y2 ¡ 1) dy в отрицательном направлении,

p L

åñëè L : fx = 9 ¡ y2, x = 0g.

1RR

3.Вычислить p21 P (4x + 2y ¡ z + 1) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x + 2y ¡ 4, вырезанной плоскостями x = 9, y = 3, y = 7 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 3y ¡ 2z) dydz+(3x + 4y + 4z) dxdz+(3x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, x = 4, y = 5, y = ¡3 + x, z = ¡2, z = 1g.

5.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y + 4z) dydz+(2x ¡ 2) dxdz+(3y + 2) dxdy по верхней части плоскости P : fy3 + z4 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(1;0;R¡4)(8x + 3y + 3z) dx + (3x + 6y ¡ 3z) dy + (3x ¡ 3y + 4z) dz.

(¡2;0;3)

~ ~ ~

11. Ïîëå f(mx + 7y + 6z)i + (7x ¡ 5y ¡ 2z)j + (6x ¡ 1y ¡ 2z)kg

является соленоидальным, если m равно...

1RR

3.Вычислить p14 P (3x + 2y ¡ z + 4) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x + 2y + 2, вырезанной плоскостями x = 7, y = 1, y = 6, y = 4 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y ¡ 2z) dydz+(2x + 3y ¡ 4z) dxdz+(3x + 2y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 6, y = ¡1, y = 4, y = 1 ¡ x, z = 0, z = 3g.

5.Вычислить интеграл RRP (3y + 2) dydz+(4x ¡ 4y ¡ 4z) dxdz+(2x + 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx5 + z2 = 1, 0 · y · 2g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡! ~ p ~ ~

a = (4 ln x + 3y + 2z)i+(2x + 2 y ¡ 3z)j+(2x ¡ 2y ¡ 2 ctg z)k в точке Mo(2; 3; 2).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(12x + 6¼ sin(¼x)) dx + (¡8y + 2¼ sin(¼y)) dy + (4z + 3¼ sin(¼z)) dz.

~ ~ ~

11. Ïîëå f(¡3x + my + nz)i + (6x + 2y ¡ 2z)j + (6x ¡ 1y ¡ 4z)kg

является потенциальным, если сумма m + n равна...

66 Типовой расчет по векторному анализу

Вариант - 61

A(3; 2), B(6; 5), C(6; 2), D(12; 2).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x2 + 3y ¡ 1) dx + (3x2 + 3y ¡ 4) dy в положительном направлении, если L : fy = 6¡ j x j, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p26 P (¡3x + 4y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 4y + 3, вырезанной плоскостями y = ¡2, y = ¡4 + x, y = 8 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x + 2y ¡ 3z) dydz+(2x ¡ 4y ¡ 3z) dxdz+(2x + 3y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡1, x = 2, y = ¡2, y = 2 + x, z = 3, z = 7g.

5.Вычислить интеграл RRP (4x + 3y + 4z) dydz+(4x + 4) dxdz+(3y + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z4 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.

9. Вычислить модуль ротора векторного поля

¡!

a = f3x + 4y + 2z; 3x ¡ 4y + 3z; 3x + 2y + 4zg в точке Mo(¡3; ¡1; ¡3).

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

A(3; 15), B(3; 10), C(9; 10), D(3; 4).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x2 + 4y + 3) dx + (4x2 + 3y + 4) dy по часовой стрелке, если L : fy =j x j ¡6, y = 0g.

1 RR

3.Вычислить p9 P (2x ¡ 2y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 2y ¡ 2, вырезанной плоскостями y = 6, y = ¡3 + x, y = 9 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 2y + 2z) dydz+(2x ¡ 3y + 3z) dxdz+(3x ¡ 4y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, y = ¡1, y = 1, y = 7 ¡ x, z = 3, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y ¡ 2)) dydz+(3x + 2y ¡ 2z) dxdz+(4x ¡ 2) dxdy по нижней части плоскости P : fx5 + z3 = 1, 0 · y · 4g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(2;1;5)R (5y + 6z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (5x ¡ 4z + 4 cos(¼y)) dy + (6x ¡ 4y + 5 cos(¼z)) dz.

68 Типовой расчет по векторному анализу

A(2; 8), B(2; 3), C(7; 8), D(12; 8).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x ¡ 4y2 + 4) dx + (3x ¡ 4y2 ¡ 1) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 1¡ j y j, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p21 P (¡4x ¡ 2y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x ¡ 2y + 4, вырезанной плоскостями x = ¡2, y = ¡2, y = 1 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y + 4z) dydz+(2x ¡ 3y ¡ 4z) dxdz+(4x + 3y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡2, x = 1, y = 10, y = 6 + x, z = 4, z = 7g.

5.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 4y + 3z) dydz+(3x ¡ 2) dxdz+(3y + 4) dxdy по верхней части плоскости P : fy4 + z3 = 1, 0 · x · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡5;¡R5;¡5)

(12x ¡ 5y + 4z) dx + (¡5x ¡ 8y + 5z) dy + (4x + 5y ¡ 4z) dz.

A(3; 7), B(7; 7), C(3; 3), D(3; ¡1).

1H

2.Вычислить ¼ L (2x ¡ 3y2 ¡ 3) dx + (2x + 2y2 + 4) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡4, x = 0g.

1 RR

3.Вычислить p33 P (¡4x + 4y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 1, y = 4, y = 8 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 2y ¡ 4z) dydz+(3x ¡ 3y + 4z) dxdz+(2x ¡ 4y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 5, y = ¡3, y = 2, y = ¡2 ¡ x, z = 2, z = 4g.

5.Вычислить интеграл RRP (2y ¡ 4) dydz+(2z + 3) dxdz+(2x + 3y + 4z) dxdy по положительной части плоскости P : fx2 + y5 = 1, 0 · z · 5g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(¡2;3;1)R (8x ¡ 2¼ sin(¼x)) dx + (10y + 5¼ sin(¼y)) dy + (10z + 4¼ sin(¼z)) dz.

(¡5;0;¡2)

11. Ïîëå ¡2x2 ¡ 2y2 + 3z2 ¡ 2xy + 3yz ¡ 3xz

1) скалярное 2) векторное

3) соленоидальное 4) потенциальное

70 Типовой расчет по векторному анализу

A(¡2; 4), B(3; 4), C(3; 1), D(6; 4).

1H

2.Вычислитьp¼ L (2x2 ¡ 4y ¡ 3) dx + (2x2 ¡ 4y + 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 16 ¡ x2, y = 0g.

1RR

3.Вычислить p21 P (¡2x + 4y ¡ z + 5) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x + 4y + 2, вырезанной плоскостями x = 7, y = 6, y = 8 ¡ x.

4.Вычислить интеграл RRP (2x + 3y + 3z) dydz+(2x ¡ 2y ¡ 4z) dxdz+(2x + 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, x = 6, y = 3, y = 4 + x, z = 4, z = 7g.

5.Вычислить интеграл RRP (4y ¡ 2) dydz+(3x + 4y ¡ 4z) dxdz+(4x ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx3 + z5 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и

вычислить интеграл

(¡1;0;6)R

(4y ¡ 3z + 6) dx + (4x + 2z ¡ 2) dy + (¡3x + 2y + 5) dz.

является соленоидальным, если m равно...

1RR

3.Вычислить p21 P (¡4x + 2y ¡ z + 8) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 2y + 4, вырезанной плоскостями x = 3, y = 1, y = ¡6 + x.

4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 3y ¡ 4z) dydz+(3x + 4y + 4z) dxdz+(3x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, y = 2, y = 5, y = 13 ¡ x, z = 1, z = 5g.

5.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y ¡ 2z) dydz+(3x ¡ 4) dxdz+(3y ¡ 4) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z4 = 1, 0 · x · 3g, находящейся в первом октанте.

10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл

(2;5;4)R (4y + 5z ¡ 2 cos(¼x)) dx + (4x + 6z ¡ 5 cos(¼y)) dy + (5x + 6y ¡ 5 cos(¼z)) dz.

является потенциальным, если сумма m + n равна...