Типовой расчет по векторному анализу. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
92 |
Типовой расчет по векторному анализу |
Вариант - 87
1.Вычислить интеграл ABCDR (3x ¡ 3y ¡ 2) dx + (4x ¡ 3y ¡ 3) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(0; 11), B(0; 8), C(4; 8), D(0; 4). 1 H
2.Вычислить ¼ L (4x ¡ 4y2 + 2) dx + (3x + 4y2 ¡ 3) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 4¡ j y j, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p9 P (2x ¡ 2y ¡ z + 7) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 2y + 2, вырезанной плоскостями x = 1, y = 3, y = 9 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y ¡ 2z) dydz+(2x ¡ 3y + 3z) dxdz+(3x ¡ 2y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡4, x = ¡2, y = ¡2, y = 5 + x, z = 4, z = 6g.
5.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y ¡ 3z) dydz+(2x + 2) dxdz+(4y + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z5 = 1, 0 · x · 3g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
2x ¡ 4y |
|
|
M |
( |
¡ |
2; |
|
|
2) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
¡ |
2y в точке |
|
1 |
|
¡ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡6; 1). |
|
3x + 4y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
|
|
|
M (10; |
3). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
¡ |
3y в точке |
o |
¡ |
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a = |
¡4x + 3y + 4z |
~i + |
¡2x + 5y + 5z |
~j + |
4x ¡ 4y + 4z |
~k в точке M ( |
|
2; |
3; 3). |
|
|||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
o |
|
¡ |
¡ |
|
|||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a = |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
в точке |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
fx ¡ 2y + 2z; 4x ¡ y ¡ 2z; 2x + 3y ¡ z g |
Mo(¡2; ¡1; 3) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(0;¡R1;¡3)
(6x + 6y + 4z) dx + (6x + 6y ¡ 3z) dy + (4x ¡ 3y + 4z) dz.
(¡2;¡7;¡4) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(3x + 2y ¡ 4z)i + (2x ¡ 3y + 3z)j + (¡4x + 3y + 3z)kg |
||
1) векторное 2) соленоидальное
3) скалярное 4) потенциальное
Типовой расчет по векторному анализу |
93 |
Вариант - 88
1.Вычислить интеграл ABCDR (3x + 2y ¡ 2) dx + (4x ¡ 3y + 3) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(0; 6), B(0; 1), C(5; 6), D(8; 6). 1 H
2.Вычислить ¼ L (2x ¡ 2y2 ¡ 1) dx + (4x + 4y2 ¡ 2) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡4, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p14 P (2x ¡ 3y ¡ z + 4) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x ¡ 3y + 2, вырезанной плоскостями x = 7, y = ¡2, y = ¡5 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 3z) dydz+(2x + 3y + 4z) dxdz+(4x ¡ 3y + 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, y = 3, y = 8, y = 12 ¡ x, z = ¡1, z = 2g.
5.Вычислить интеграл RRP (3y + 3)) dydz+(4x ¡ 2y ¡ 4z) dxdz+(2x ¡ 2) dxdy по нижней части плоскости P : fx5 + z3 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
7xy |
|
|
|
M1(¡2; 7) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x |
¡ |
3y |
в точке |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по направлению радиус-вектора к точке M2(6; ¡8). |
|
2xy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
M (6; 7). |
|
|||||||||||||||||||||||
3x |
|
4y в точке |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
o |
|
|||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a = |
¡2x + 4y |
~i + |
5x + 3y |
~j + |
4x ¡ 4z |
~k в точке M ( |
2; 2; |
|
3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
¡! |
|
4x |
¡ |
3z |
4y |
¡ |
2z |
|
2y + 5z |
|
|
|
|
|
o |
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ ¡ |
|
|||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
¡ |
|
|
~+ |
|
¡ ¡ 4z)j |
(2x ¡ 2y + 3 tg z)k |
|
o |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~+ |
|
|
|
|
|
|
|
~ в точке |
|
|
|
|||||||
a = (4 cos x 2y + 3z)i (3x |
|
4e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( |
1; 2; 2) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(1;¡R2;¡3)
(10x ¡ 3¼ sin(¼x)) dx + (4y ¡ 4¼ sin(¼y)) dy + (¡8z + 3¼ sin(¼z)) dz.
(¡6;¡6;¡5)
11. Ïîëå 3x2 ¡ 3y2 + 2z2 + 4xy ¡ 2yz ¡ 4xz
1) |
потенциальное |
2) |
скалярное |
3) |
векторное |
4) |
соленоидальное |
94 |
Типовой расчет по векторному анализу |
Вариант - 89
1.Вычислить интеграл ABCDR (4x + 4y + 4) dx + (2x ¡ 3y + 4) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(2; 7), B(6; 7), C(2; 3), D(2; ¡3). 1 H
2.Вычислитьp¼ L (2x2 + 2y ¡ 2) dx + (3x2 ¡ 3y + 3) dy в положительном направлении, если L : fy = 1 ¡ x2, y = 0g.
1RR
3.Вычислить p21 P (¡2x ¡ 4y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡2x ¡ 4y + 3, вырезанной плоскостями x = 8, y = 2, y = 5 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 2y + 4z) dydz+(4x + 2y + 2z) dxdz+(3x ¡ 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = ¡3, x = ¡1, y = 3, y = ¡1 + x, z = ¡1, z = 2g.
5.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y + 2z) dydz+(4x + 3) dxdz+(4y ¡ 3) dxdy по верхней части плоскости P : fy5 + z2 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.
6.Вычислить производную функции z = 3x + 4y
x + 1
по направлению к точке M2(10; ¡12).
¡!
7. Вычислить модуль градиента (j rz j) функции
+ |
7x ¡ 3y |
M |
(4; |
¡ |
4) |
||
|
y |
¡ |
4 в точке |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2y
z = 3x ¡ 3y в точке Mo(4; ¡3).
8. Вычислить дивергенцию векторного поля
|
~ ~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = |
¡3xi + 4yj + 3zk |
M |
(4; |
¡ |
3; 3). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¡! |
|
x2 + y2 + z2 |
|
в точке |
o |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
3z)~j+(4x |
|
2y |
|
4 ctg z)~k в точке Mo(1; |
|
3; 2). |
||||
a = (2 ln x + 2y + 2z)~i+(2x + 3py |
|
|
|
|
|||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
¡ |
¡ |
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(4y + 6z ¡ 2) dx + (4x + 4z ¡ 4) dy + (6x + 4y ¡ 2) dz.
~ ~ ~
11. Ïîëå f(mx + 6y + 5z)i + (6x ¡ 3y + 4z)j + (5x + 5y ¡ 2z)kg
является соленоидальным, если m равно...
Типовой расчет по векторному анализу |
95 |
|
|
|
|
|
R |
Вариант - 90 |
1. |
|
|
|
|
|
|
Вычислить интеграл ABCD |
(4x + 3y + 3) dx + (2x ¡ 3y + 3) dy по ломаной ABCD, |
|||||
åñëè A(¡4; 6), B(1; 6), C(1; 2), D(5; 6). |
||||||
2. |
Вычислить |
1 |
H |
|
||
¼ |
(2x2 ¡ 3y ¡ 3) dx + (4x2 + 2y + 3) dy по часовой стрелке, |
|||||
åñëè L : fy = p |
|
L |
|
|||
|
, y = 0g. |
|
||||
9 ¡ x2 |
|
|||||
1RR
3.Вычислить p26 P (¡3x + 4y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x + 4y + 2, вырезанной плоскостями x = ¡4, y = 2, y = 3 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x + 4y + 2z) dydz+(2x + 3y ¡ 2z) dxdz+(3x + 4y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, y = ¡4, y = ¡2, y = ¡5 ¡ x, z = ¡3, z = 0g.
5.Вычислить интеграл RRP (4y + 3) dydz+(3x + 4y + 3z) dxdz+(2x ¡ 4) dxdy по верхней части плоскости P : fx2 + z4 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
3x + 3y |
+ |
4x + 2y |
|
в точке M1(¡2; ¡4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 1 |
|
|
y + 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡14; ¡9). |
|
|
3xy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
|
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
|
M (5; 6). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
5x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
4y в точке |
o |
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a = |
|
5y + 3z |
~i + |
5x ¡ 4z |
~j + |
|
5x + 4y |
~k в точке M |
( |
|
2; 3; |
¡ |
3). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|||||||||||||||||||||||
¡! |
|
f |
3x + 2y + 3z; 2x |
¡ |
3y |
¡ |
2z; 3x |
¡ |
2y |
¡ |
3z |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|||||||||||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке M ( |
|
|
2; 1; 1). |
|
||||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(4y + 5z ¡ 5 cos(¼x)) dx + (4x + 3z + 5 cos(¼y)) dy + (5x + 3y + 6 cos(¼z)) dz.
~ ~ ~
11. Ïîëå f(6x + my + nz)i + (¡2x ¡ 4y + 2z)j + (4x + 3y + 5z)kg
является потенциальным, если сумма m + n равна...
96 Типовой расчет по векторному анализу
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант - 91 |
|
1. |
Вычислить работу силы |
F = (4x |
|
3y + 4)¡!i + (4x 2y + 4)¡! |
|||||
|
¡ |
¡ |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A(0; 2), B(3; 5), C(3; 2), D(7; 2). |
|
|
|
||||||
2. |
Вычислить |
1 |
H |
|
|
|
|
||
¼ |
(2x + 2y2 + 1) dx + (3x + 2y2 ¡ 4) dy в отрицательном направлении, |
||||||||
åñëè L : fx = p |
|
L |
|
|
|
|
|||
|
, x = 0g. |
|
|
|
|||||
36 ¡ y2 |
|
|
|
||||||
1RR
3.Вычислить p21 P (2x + 4y ¡ z + 4) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 2x + 4y + 2, вырезанной плоскостями x = ¡1, y = ¡2, y = 3, y = 7 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 2z) dydz+(3x + 4y + 4z) dxdz+(3x ¡ 2y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 3, x = 7, y = 4, y = 5 + x, z = ¡4, z = ¡2g.
5.Вычислить интеграл RRP (2x ¡ 2y ¡ 4z) dydz+(4x ¡ 4) dxdz+(3y + 2) dxdy по нижней части плоскости P : fy2 + z5 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
в точке M1(¡3; ¡3) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2x + 3y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
по направлению к точке M2(5; ¡9). |
|
|
|
|
|
|
2x ¡ 3y |
|
|
|
6x ¡ 3y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
!¡ z |
j |
) функции z = |
+ |
|
|
|
|
M ( |
1; 1). |
||||||||||||||||||||||
|
y + 3 |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
x |
¡ |
4 |
|
|
|
o |
¡ |
|||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a = |
5x + 2y + 3z |
~i + |
3x ¡ 3y + 4z |
~j + |
¡2x + 3y + 2z |
~k в точке M |
|
(1; |
¡ |
3; |
¡ |
2). |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
o ¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
¡! |
2 |
¡ |
~+ |
2 |
|
|
~+ |
|
2 ~ |
в точке |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
a = (4x |
|
4y + 3z)i (3x + 4y |
|
+ 4z)j |
|
(3x + 2y + 4z )k |
|
|
|
|
M ( 3; 3; 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(¡4;3;0)R
(12x + 4y ¡ 4z) dx + (4x + 10y + 6z) dy + (¡4x + 6y + 4z) dz.
(¡6;¡6;¡5) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(¡3x + 3y + 2z)i + (3x + 3y + 4z)j + (2x + 4y ¡ 0z)kg |
||||
1) |
скалярное |
2) |
потенциальное |
|
|
|
3) |
соленоидальное |
4) |
векторное |
|
|
|
Типовой расчет по векторному анализу |
97 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант - 92 |
|
Вычислить работу силы F |
= (3x + 3y ¡ 4)¡!i + (2x ¡ 2y ¡ 2)¡! |
|||||
1. |
|
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
|||||
A(1; 12), B(1; 7), C(6; 7), D(1; 2). |
|
||||||
2. |
Вычислить |
1 |
H |
|
|
||
¼ |
(4x + 4y2 ¡ 4) dx + (4x + 2y2 + 4) dy против часовой стрелки, |
||||||
åñëè L : fx = p |
|
L |
|
|
|||
|
, x = 0g. |
|
|
||||
1 ¡ y2 |
|
|
|||||
1RR
3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 9) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y + 4, вырезанной плоскостями x = 10, y = ¡1, y = 2, y = ¡5 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (2x + 4y + 2z) dydz+(4x + 3y + 3z) dxdz+(3x ¡ 4y ¡ 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, y = 3, y = 5, y = 9 ¡ x, z = 3, z = 6g.
5.Вычислить интеграл RRP (2y ¡ 3)) dydz+(2x + 4y ¡ 4z) dxdz+(3x ¡ 3) dxdy по нижней части плоскости P : fx4 + z5 = 1, 0 · y · 5g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
3x ¡ 3y |
|
|
|
|
|
M |
|
( |
3; |
¡ |
4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3x + 4y в точке |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡18; ¡12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
!¡ z |
j |
)функции z = |
3x ¡ 2y |
+ |
5x + 3y |
|
M |
(6; |
¡ |
1). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
4 |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
x |
¡ |
2 |
|
|
|
|
¡ |
o |
|
|
|||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a = |
|
3x + 2y |
~i + |
2x ¡ 3y |
~j + |
¡3x + 3z |
~k в точке M |
(1; 3; |
¡ |
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4y + 3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
2x + 2z |
|
|
|
3y |
¡ |
4z |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a = |
|
4 |
|
|
3y + 3z; 3x + |
|
3 |
+ 2z; 3x + 4y |
|
3 |
|
в точке M |
(3; 2; |
|
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
fx |
¡ |
|
¡ z g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(5;¡R3;¡1)
(12x ¡ 2¼ sin(¼x)) dx + (6y + 2¼ sin(¼y)) dy + (4z + 4¼ sin(¼z)) dz.
(¡5;¡2;¡2) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(6x + 4y ¡ 2z)i + (4x + 5y + 4z)j + (¡2x + 5y ¡ 11z)kg |
||||
1) |
скалярное |
2) |
соленоидальное |
|
|
|
3) |
потенциальное |
4) |
векторное |
|
|
|
98 Типовой расчет по векторному анализу
|
Вариант - 93 |
1. Вычислить работу силы F |
= (2x ¡ 3y ¡ 3)¡!i + (2x + 3y ¡ 4)¡! |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
A(1; 9), B(1; 3), C(7; 9), D(10; 9).
1H
2.Вычислить ¼ L (4x2 ¡ 4y ¡ 2) dx + (4x2 ¡ 2y + 2) dy в положительном направлении, если L : fy = 3¡ j x j, y = 0g.
1 RR
3.Вычислить p33 P (4x ¡ 4y ¡ z + 4) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 4x ¡ 4y ¡ 2, вырезанной плоскостями y = ¡4, y = ¡1 + x, y = ¡3 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 2y ¡ 4z) dydz+(4x + 4y + 4z) dxdz+(2x ¡ 3y ¡ 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 4, x = 9, y = 5, y = ¡8 + x, z = ¡4, z = ¡2g.
5.Вычислить интеграл RRP (3x + 3y + 2z) dydz+(3x + 4) dxdz+(3y + 4) dxdy по верхней части плоскости P : fy5 + z4 = 1, 0 · x · 2g, находящейся в первом октанте.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Вычислить производную функции z = |
|
|
|
|
в точке M1(¡3; 10) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5x |
¡ |
4y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡11; 4). |
|
5x + 4y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
M (5; 7). |
|
||||||||||||||||||||||||
5x |
|
4y в точке |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
o |
|
|
|||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = |
2xi + 2yj + 3zk |
|
M ( |
|
3; 4; |
¡ |
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
¡! |
|
x2 + y2 + z2 в точке |
o |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡! |
Вычислить модуль ротора векторного поля |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
~+ |
|
|
|
|
~ |
+ |
|
|
¡ |
|
|
|
~ в точке |
|
o |
|
. |
||||||||||
a = (2 cos x |
|
4y + 2z)i (4x + 3e |
y |
+ 2z)j |
|
|
(4x |
|
2y |
|
4 tg z)k |
M (2; 1; |
2) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(¡2;5;2)R
(5y ¡ 3z ¡ 5) dx + (5x ¡ 3z + 5) dy + (¡3x ¡ 3y + 3) dz.
(¡6;¡5;¡1) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
11. Ïîëå |
|
|
||||
|
|
f(¡5x + 2y ¡ 3z)i + (2x + 3y + 6z)j + (¡3x + 6y + 5z)kg |
||||
1) |
потенциальное |
2) |
соленоидальное |
|
|
|
3) |
скалярное |
4) |
векторное |
|
|
|
|
Типовой расчет по векторному анализу |
|
99 |
||
|
|
|
Вариант - 94 |
|
|
1. Вычислить работу силы F |
= (2x |
|
4y + 3)¡!i + (2x 3y + 2)¡! |
|
|
|
¡ |
¡ |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
|
|
|
|
|
|
||
A(2; 8), B(6; 8), C(2; 4), D(2; 1).
1H
2.Вычислить ¼ L (3x2 ¡ 2y ¡ 3) dx + (3x2 + 4y ¡ 3) dy по часовой стрелке, если L : fy =j x j ¡5, y = 0g.
1 RR
3.Вычислить p26 P (¡4x + 3y ¡ z + 8) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡4x + 3y + 2, вырезанной плоскостями y = 8, y = 1 + x, y = 5 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 3y + 3z) dydz+(3x ¡ 3y ¡ 2z) dxdz+(2x + 2y + 4z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 5, y = 1, y = 4, y = 3 ¡ x, z = ¡4, z = ¡2g.
5.Вычислить интеграл RRP (4y ¡ 3) dydz+(3z + 4) dxdz+(3x ¡ 4y ¡ 2z) dxdy по положительной части плоскости P : fx2 + y3 = 1, 0 · z · 2g, находящейся в первом октанте.
6.Вычислить производную функции z = 4x + 4y
x ¡ 3
по направлению к точке M2(¡15; ¡1).
¡!
7. Вычислить модуль градиента (j rz j) функции
+ |
3x ¡ 2y |
|
M ( |
¡ |
3; 4) |
|||
y + 1 |
|
|||||||
|
в точке |
|
1 |
|
||||
z = |
7x ¡ |
4y |
|
Mo(10; 9). |
||||
|
|
|||||||
7x + |
2y в точке |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
8. Вычислить дивергенцию векторного поля
a = |
¡2y ¡ 2z |
~i + |
5x + 2z |
~j + |
¡4x ¡ 3y |
~k в точке M |
(4; |
2; 4). |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¡! |
x2 |
y2 |
|
|
z2 |
|
o |
|
¡ |
|
|
|
||||
9. Вычислить модуль ротора векторного поля |
2y + 4 ctg z)~k в точке Mo( 2; |
2; |
|
1). |
||||||||||||
a = (2 ln x + 2y + 3z)~i+(3x |
|
4py + 4z)~j+(4x |
|
|
||||||||||||
¡! |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
¡ |
¡ |
|
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡2;R¡2;2)(5y + 3z ¡ 4 cos(¼x)) dx + (5x ¡ 4z ¡ 2 cos(¼y)) dy + (3x ¡ 4y ¡ 4 cos(¼z)) dz.
(1;¡6;¡7)
11. Ïîëå ¡4x2 + 4y2 + 2z2 ¡ 4xy ¡ 3yz ¡ 2xz
1) векторное 2) скалярное
3) потенциальное 4) соленоидальное
100 Типовой расчет по векторному анализу
|
Вариант - 95 |
1. Вычислить работу силы F |
= (4x ¡ 2y ¡ 3)¡!i + (2x + 3y ¡ 2)¡! |
j íà ïóòè ABCD, åñëè |
A(¡4; 7), B(2; 7), C(2; 4), D(5; 7).
1H
2.Вычислить ¼ L (2x + 3y2 + 1) dx + (2x ¡ 2y2 + 3) dy в отрицательном направлении, если L : fx = 4¡ j y j, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p26 P (3x ¡ 4y ¡ z + 6) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = 3x ¡ 4y + 4, вырезанной плоскостями x = ¡3, y = ¡1, y = 1 ¡ x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x ¡ 2y + 3z) dydz+(4x ¡ 3y ¡ 2z) dxdz+(3x + 3y ¡ 3z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, x = 5, y = 2, y = 2 + x, z = ¡1, z = 1g.
5.Вычислить интеграл RRP (3y + 4) dydz+(2x + 3y + 4z) dxdz+(3x + 3) dxdy по верхней части плоскости P : fx2 + z3 = 1, 0 · y · 3g, находящейся в первом октанте.
6. |
Вычислить производную функции z = |
5x + 4y |
+ |
3x + 3y |
|
M1(6; 7) |
|
|||||||||||||||
x ¡ 2 |
|
|
y ¡ 1 |
в точке |
|
|||||||||||||||||
по направлению радиус-вектора к точке M2(¡2; ¡8). |
2xy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
¡!z |
j |
) функции z = |
|
|
M (5; |
3). |
||||||||||||||
4x + 3y в точке |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
||||||||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a = |
¡4x + 3y ¡ 2z |
~i + |
¡3x + 2y + 3z |
~j + |
3x ¡ 2y ¡ 4z |
~k в точке M ( |
|
1; |
2; 4). |
|||||||||||||
¡! |
|
x |
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
o |
¡ |
¡ |
|
|||
9. Вычислить модуль ротора векторного поля
¡!
a = f2x ¡ 2y + 2z; 2x + 2y + 4z; 2x + 4y ¡ 2zg в точке Mo(3; 2; ¡2).
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и вычислить интеграл
(4;¡R4;2) (10x ¡ 3y ¡ 4z) dx + (¡3x ¡ 4y + 3z) dy + (¡4x + 3y + 12z) dz.
(¡5;1;¡7) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(mx ¡ 3y ¡ 5z)i + (¡3x + 7y ¡ 2z)j + (¡5x ¡ 1y ¡ 3z)kg |
||
является соленоидальным, если m равно...
Типовой расчет по векторному анализу |
101 |
Вариант - 96
1.Вычислить интеграл ABCDR (4x + 3y + 4) dx + (2x ¡ 4y + 4) dy по ломаной ABCD,
åñëè A(2; 1), B(8; 7), C(8; 1), D(12; 1). 1 H
2.Вычислить ¼ L (4x ¡ 4y2 + 4) dx + (4x ¡ 4y2 ¡ 3) dy против часовой стрелки, если L : fx =j y j ¡1, x = 0g.
1 RR
3.Вычислить p19 P (¡3x ¡ 3y ¡ z + 2) d¾, ãäå P ¡ часть плоскости z = ¡3x ¡ 3y ¡ 3, вырезанной плоскостями x = 1, y = 1, y = 5 + x.
4.Вычислить интеграл RRP (4x + 3y ¡ 4z) dydz+(4x + 4y + 4z) dxdz+(4x + 3y + 2z) dxdy по замкнутой поверхности P : fx = 2, y = ¡1, y = 3, y = 8 ¡ x, z = ¡1, z = 3g.
5.Вычислить интеграл RRP (3x ¡ 3y + 2z) dydz+(3x + 3) dxdz+(3y ¡ 3) dxdy по нижней части плоскости P : fy5 + z3 = 1, 0 · x · 4g, находящейся в первом октанте.
4x + 4y
6. Вычислить производную функции z = 6x + 4y в точке M1(7; ¡3)
по направлению к точке M2(¡2; ¡15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2y |
|
|
5x ¡ 4y |
|
|
|
||||||||||||
7. |
Вычислить модуль градиента ( |
!¡ z |
j |
) функции z = |
|
+ |
|
M |
(5; 6). |
||||||||||||||||||
|
x + 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
¡ |
4 в точке |
o |
|
|||
8. |
Вычислить дивергенцию векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a = |
¡2x + 2y |
~i + |
¡3x + 5y |
~j + |
2x + 5z |
~k в точке M (2; 2; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
¡! |
¡2x ¡ 2z |
|
¡4y + 3z |
|
|
¡4y + 3z |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычислить модуль ротора векторного поля |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
||||||||||||||
¡! |
|
2 |
+ 4y ¡ 3z)i (4x ¡ 3y |
2 |
|
~+ |
|
|
2 |
|
~ в точке |
|
o |
|
. |
|
|
||||||||||
a = (2x |
|
|
|
|
|
|
+ 4z)j |
|
|
(4x + 2y 4z |
)k |
|
M ( 1; 1; 2) |
|
|
||||||||||||
10. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом и
вычислить интеграл
(¡3;R¡1;5)(4x ¡ 4¼ sin(¼x)) dx + (6y + 3¼ sin(¼y)) dy + (6z ¡ 4¼ sin(¼z)) dz.
(¡1;¡1;2) |
~ |
~ |
~ |
11. Ïîëå |
|||
|
f(6x + my + nz)i + (7x + 7y ¡ 4z)j + (3x ¡ 3y ¡ 5z)kg |
||
является потенциальным, если сумма m + n равна...