Практические задания по высшей математике. Ч.I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа. Сборник зад

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3.2.6. а) z =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

511 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

2.11.1. М0 (−2;3;−1) ;

2.11.2. М0 (2;−3;−5) ;

2.11.3. М0 (1;8;6) ;

2.11.4. М0 (2;5;−7) ;

2.11.5. М0 (4;−3;3) ;

2.10.22.l:

2.10.23.l:

2.10.24.l:

2.10.25.l:

2.10.26.l:

2.10.27.l:

2.10.28.l:

2.10.29.l:

2.10.30.l:

x−−13 = y2+1 = z 0−7 ; x−+31 = y2−1 = z−−12 ; x2−7 = y−+11 = z3−1 ; x6−1 = y−−15 = z−−33 ; x−−13 = y2+1 = z 0−7 ; x2−2 = y−−11 = z 3+5 ; x−+14 = y2+1 = z−−37 ; x−−31 = y2+1 = z4−1 ; x4+1 = y−−51 = z −06 ;

α: 3x −y +4z =0 .

α: 2x −3y +4z +5 =0 .

α: 4x −5y −z −7 =0 .

α: 3x +y −5z +4 =0 .

α: 2x +y +z +5 =0 .

α: x −y −2z +7 =0 .

α: x +y +3z +9 =0 .

α: −x +2y +z +7 =0 .

α: 3x −4y +5z +6 =0 .

Задание 2.11. Найти точку M, симметричную точке M0 относительно прямой l (для вариантов 2.11.1–2.11.15) или плоскости α (для вариантов 2.11.16–2.11.30).

l: x2+3 = y3−1 = z5−1 . l: x6−2 = y1−4 = z +34 . l: x2−2 = y0−2 = z2−5 . l: x−−13 = y2+1 = z 0−7 . l: x−+31 = y2−1 = z−−12 .

2.11.6. М (2;0;7) ;

x −7

y +1

z −1

−1

2.11.7. М (−2;1;1) ;

x −1

y −2

z +1

−3

2.11.8. М (1;−3;−1) ;

x −1

y −2

z +3

−1

2.11.9. М (3;0;7) ;

x −3

y −2

z +4

2.11.10. М (−1;0;−1) ;

y −1,5

z −24

−1

2.11.11. М (0;2;1) ;

x −1

y −2

z +4

−1

2.11.12. М (1;2;1) ;

x +2

y −1

z −4

−3

−1

2.11.13. М (3;1;−1) ;

x −3

y +2

z −3

−5

−2

2.11.14. М (1;−2;0) ;

x −5

y −3

z +4

−3

−4

2.11.15. М (2;−3;−1) ;

x −1

y −10

z +6

−3

2.11.16. М0

(1;−2;−3) ;

α: 2x −3y +z +8 =0 .

2.11.17. М0

(1;2;−4) ;

α: 6x −2y −z −1 =0 .

2.11.18. М0

(2;3;2) ;

α: x −4y +z +20 =0 .

2.11.19. М0

(1;1;−1) ;

α: x −3y +z +9 =0 .

2.11.20. М0

(1;2;0) ;

α: 2x +y −3z +19 =0 .

2.11.21. М0

(2;−2;−1) ;

α: 3x −2y −z +4 =0 .

2.11.22. М0

(2;1;−3) ;

α: 5x −4y +2z +5 =0 .

2.11.23. М0

(3;−3;2) ;

α: x −3z −5 =0 .


2.11.24. М0 (0;−2;1) ;			α: x −y +3z +19 =0 .
2.11.25. М0 (1;0;−2)		;	α: −3x −2y +4z −7 =0 .
2.11.26. М0 (1;−2;4) ;			α: −x +7y −2z +8 =0 .
2.11.27. М0	(5;−1;3) ;		α: x −2y +z +14 =0 .
2.11.28. М0	(6;−2;0) ;		α: 3x −2y +4z −4 =0 .
2.11.29. М0	(1;−2;−2) ;		α: 2x −y −3z +17 =0 .
2.11.30. М0	(−2;3;1) ;		α: −x −3y −2z +17 =0 .

РАЗДЕЛ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Определение комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел.

Действия над комплексными числами.

3.1. Примеры выполнения заданий

Пример 3.1. Решить уравнение: 5x2 +x +3 =0 . Решение. Решим данное уравнение через дискриминант:

D =12 −4 5 3 = −59;

D = −59 =i59,

учитывая, что

		−1	=i,

x = −1±i		59	= −	1	±	i 59	.

1,2	10		10		10

Ответ: −101 ± i 1059 .

Пример 3.2.

а) Записать данное число z =137 −+6ii в алгебраической, триго-

нометрической и показательной форме комплексного числа. Изобразить число z на плоскости.

б) Возвести число z в соответствующую степень z16.

в) Извлечь корень соответствующей степени из числа 3z .

Решение.

а) Для того чтобы представить число z в алгебраической форме z =x +iy , необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное со знаменателем выражение, т.е. на (7 +6i):

z =13+i 7 +6i = 91+78i +7i +6i2 = 91+85i −6 = 85+85i =1+i. 7 −6i 7 +6i 49−36i2 49+36 85

Теперь представим число z в тригонометрической форме. Запись числа z в виде z =r (cosϕ+isinϕ) называется триго-

нометрической формой, где r – модуль числа r = z =x2 +y2 ,

а ϕ – аргумент z, определяется по формуле tgϕ=

, так как

−π<argz ≤ π , то

, при x >0;

arctg

ϕ=argx = arctg

+π,

при x <0, y >0;

−π,

при x <0,

y <0.

arctg

Имеем x = 1, y = 1,

r = 12 +12 =

находим

модуль

и аргумент

ϕ=arctg

=arctg

= π

комплексного числа

+isin

z =1+i = 2 cos

Запись числа z в виде z =reiϕ

называется показательной

формой числа, тогда z =1+i =

i π

4 .

Изобразим число z на координатной плоскости (рис. 3.1). б) Для возведения комплексного числа в натуральную сте-

пень используем форму Муавра:

zn =(r (cosϕ+isinϕ))n =rn (cosnϕ+isinnϕ).

Возведем число z в 16-ю степень:

			π	+isin	π	16
	2
z =		cos	4		4		=

=(		16		16	π		16	π	8	8	1 =256.

	2)		cos			+isin			=2	(cos4π+isin4π)=2
					4			4

Рис. 3.1. Число z на координатной плоскости

в) Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений, которые находятся по формуле

n		n		ϕ+2πk		ϕ+2πk

	z = n (r (cosϕ+isinϕ))=				+isin
			r cos	n		n	,

где k = 0, 1, 2, 3, … , n – 1.

Извлечем кубический корень из числа z:

+2πk

z = 3

2 cos

+isin

2 cos

+isin

2πk

cos

+isin

где k = 0, 1, 2.

Полагая k = 0, 1, 2, получим:

cos

+isin

≈1,0842 +0,2905i;

= 6

cos

3π

≈ −0,7937 +0,7937i;

= 6

+isin

cos

17π

+isin

17π

≈ −0,2905−1,0842i.

cos π +isin

π ; z =

Ответ: а) z =1+i; z =

4; б) z16 =256;

в) z0 ≈1,0842 +0,2905i; z1 ≈ −0,7937 +0,7937i; z2 ≈ −0,2905−1,0842i.

3.2. Задания для самостоятельного выполнения

Задание 3.1. Решить уравнение.

3.1.1.2x2 +3x +3 =0 . 3.1.2. 3x2 +2x +4 =0 .

3.1.3.3x2 −4x +4 =0 . 3.1.4. 2x2 +4x +3 =0 .

3.1.5.5x2 +2x +3 =0 . 3.1.6. 3x2 +3x +4 =0 .

3.1.7. 4x2 −2x +3 =0 .			3.1.8. 3x2 −2x +5 =0 .
3.1.9. 2x2 −3x +3 =0 .			3.1.10. 4x2 +6x +5 =0 .
3.1.11. 3x2 −		3x +4 =0 .	3.1.12. 5x2 −2x +3 =0 .
3.1.13. 3x2	+4x +4 =0 .		3.1.14. 2x2 −4x +3 =0 .
3.1.15. 3x2	+	2x +5 =0 .	3.1.16. 5x2	−3x +3 =0 .
3.1.17. 4x2 +7x +5 =0 .			3.1.18. 5x2	−4x +	3 =0 .
3.1.19. 2x2	+3x +5 =0 .		3.1.20. 4x2 −6x +5 =0 .
3.1.21. x2 +3x +4 =0 .			3.1.22. 4x2 −7x +5 =0 .
3.1.23. 5x2 +3x +3 =0 .			3.1.24. 2x2 −3x +5 =0 .
3.1.25. 4x2 +8x +5 =0 .			3.1.26. 5x2	−6x +4 =0 .
3.1.27. 4x2 −8x +5 =0 .			3.1.28. 2x2 +x +2 =0 .
3.1.29. x2 −2x +7 =0 .			3.1.30. 5x2	+6x +4 =0 .

Задание 3.2.

а) Записать данное число z в алгебраической, тригонометрической и показательной форме комплексного числа. Изобразить число z на плоскости.

б) Возвести число z в соответствующую степень.

в) Извлечь корень соответствующей степени из числа z.

(1+

3.2.1. а) z =

3)i

б) z15 ;

;

в)

− 3 +i

3.2.2. а) z =

−1+7i

б) z13 ;

8 z .

3+4i ;

в)

3.2.3. а) z =	−4i	;

	3 −i

3.2.4.а) z =175++127ii ;

3.2.5.а) z = 14++73ii ;

3.2.7.а) z = −17 +7i ; 12 +5i

3.2.8.а) z = 14−−73ii ;

3.2.9. а) z = −2			3		+2i		;

		3 +i
3.2.10. а) z =		4		i		;

	3 −i

3.2.11.а) z = 31+−74ii ;

3.2.12.а) z = 2 3 +2i ;

− 3 +i

3.2.13.а) z = 3−7+−4ii ;

3.2.14.а) z = 2 3 +2i ;

+i 31

3.2.15.а) z =1712 +−75ii ;

3.2.16.а) z = −41+−37ii ;

3.2.17. а) z =	−4i		;
	−i
1		3


б) z11 ;	в) 10			z			.
б) z9 ;
	в) 12		z			.
б) z7 ;
	в) 14			z			.
б) z5 ;
	в) 16			z			.
б) z17 ;
	в) 6	z			.
б) z15 ;
	в) 8	z			.
б) z13 ;
	в) 10			z			.
б) z11 ;
	в) 12		z			.
б) z9 ;
	в) 14			z			.
б) z7 ;
	в) 16			z			.
б) z5 ;
	в) 18			z			.
б) z17 ;
	в) 8	z			.
б) z15 ;
	в) 10			z			.
б) z13 ;
	в) 12		z			.
б) z11 ;
	в) 14			z			.

3.2.18.а)

3.2.19.а)

3.2.20.а)

3.2.21.а)

3.2.22.а)

3.2.23.а)

3.2.24.а)

3.2.25.а)

3.2.26.а)

3.2.27.а)

3.2.28.а)

3.2.29.а)

3.2.30.а)

7 +17i

;

12 +5i

1−7i

;

3+4i

;

−1+i

−7 +17i

;

5+12i

;

1−i

2−12i

;

7 −5i

7 −17i

;

12 −5i

;

1+i

17 +7i

;

12 −5i

(1−

3) +i(1+ 3)

;

1+i

9+i

;

4 +5i

1−9i

;

5−4i

9−i

;

4 −5i


б) z9 ;	в) 16			z				.
б) z7 ;
	в) 18			z				.
б) z5 ;
	в) 20				z				.
б) z19 ;
	в) 6	z				.
б) z17 ;
	в) 10			z				.
б) z15 ;
	в) 12		z				.
б) z13 ;
	в) 14			z				.
б) z11 ;
	в) 16			z				.
б) z9 ;
	в) 6	z				.
б) z7 ;
	в) 18			z				.
б) z5 ;
	в) 20				z				.
б) z19 ;
	в) 8	z				.
б) z17 ;
	в) 12		z				.

Учебное издание

Макаров Петр Витальевич Сурская Ирина Валерьевна

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть I

Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа

Сборник заданий

Технический редактор Т.В. Суханова

Корректор Е.Н. Леонова

Компьютерная верстка И.В. Баратова

Подписано в печать 20.10.21 Формат 60 × 90 1/16

Уч.-изд. л. 5

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638-44-06

Отпечатано в типографии Издательского Дома НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638-44-16, 8 (495) 638-44-43

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]