Практические задания по высшей математике. Ч.I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа. Сборник зад

Выполнив проверку, мы получили единичную матрицу E, значит, обратная матрица была найдена верно.

Пример 1.6. Найти матрицу Х из заданного уравнения и

Чтобы найти матрицу Х, необходимо умножить обе части

уравнения А Х = В слева на обратную матрицу А–1, тогда получим А−1 А X = А−1 В . Так как А−1 А = Е и Е X = Х , то

X = A−1 B . Значит, для решения данного матричного уравнения необходимо найти обратную матрицу к матрице А и умножить ее на матрицу B:

Для нахождения обратной матрицы к матрице А найдем определитель матрицы и ее алгебраические дополнения:

11

Выполним проверку. Для этого необходимо матрицу А ум-

При проверке получилось верное тождество, значит, матричное уравнение решено верно.

12

Решение. Одним из способов нахождения ранга матрицы является способ, при котором матрица с помощью элементарных преобразований приводится к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк такой матрицы и есть искомый ранг матрицы.

Приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого первую строку умножим на (–6) и сложим со второй строкой, далее первую строку умножим на 3 и сложим с третьей строкой. Элементы первой строки оставим без изменений. Далее сложим

Данную матрицу мы привели к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк равно 2, значит, и ранг матрицы равен 2.

Ответ: rang A = 2.

Пример 1.8. Решить систему линейных уравнений

x1 −x2 +x3 =3,2x1 −3x3 = −4,−x1 +4x2 = −1.

а) методом Крамера; б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

13

Решение. а) Решим методом Крамера систему линейных

Составим определитель матрицы системы и вычислим его

ма имеет единственное решение.

Далее составим и вычислим определители ∆1, ∆2, ∆3. Чтобы получить ∆1, необходимо первый столбец определителя матрицы системы заменить на столбец свободных членов:

3 −1 1

∆1 = −4 0 −3 =17. −1 4 0

Определители ∆2 и ∆3 запишем аналогично, заменив второй и третий столбцы определителя соответственно на столбец свободных членов:

Ответ: (1; 0; 2).

б) Метод Гаусса можно применять для решения любых систем линейных уравнений, в том числе неопределенных, а также систем, у которых матрица системы не является ква-

14

дратной (т.е. количество уравнений системы не равно количеству неизвестных, k ≠ n). Суть метода Гаусса состоит в том, что при помощи элементарных преобразований над строками левую часть расширенной матрицы необходимо привести к единичному виду. Переменные, соответствующие единичной части полученной матрицы, называются базисными. Остальные переменные называются свободными. Следует обратить внимание, что в данном методе используются элементарные преобразования только над строками матрицы.

Решение. Решим методом Гаусса систему линейных урав­ нений

x1 −x2 +x3 =3,2x1 −3x3 = −4,−x1 +4x2 = −1.

Составим расширенную матрицу системы:

Преобразуем матрицу, исключив все элементы первого столбца, кроме первого элемента a11. Для этого первую строку прибавим ко второй. Далее умножим первую строку на (–2) и прибавим к третьей. При этом элементы первой строки останутся неизменными. Мы получили, что элементы a21 = a31 = 0:

Аналогично исключим элементы второго столбца, кроме элемента a22 ≠ 0, т.е. необходимо добиться того, чтобы элементы a12 и a32 были равны нулю. Для этого первую строку умножим на 3 и прибавим ко второй. Вторую строку умножим на (–2) и прибавим к третьей строке, умноженной на 3. Элементы второй строки останутся без изменений:

15

Используя элемент a33 ≠ 0, добиваемся того, чтобы элементы a13 и a23 были равны нулю. Для этого из второй строки вычтем третью, а также третью строку, умноженную на (–4), прибавим к первой. Элементы третьей строки останутся без изменений. Далее разделим первую и вторую строки на 3:

Ответ совпал с ответом, полученным при решении системы методом Крамера.

Ответ: (1;0;2).

в) Матричный способ (с помощью обратной матрицы). С помощью обратной матрицы можно решать системы линейных уравнений, у которых количество уравнений совпадает с количеством неизвестных и определитель матрицы системы ∆ не равен нулю.

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: А Х = В . Найдем решение данной системы уравнений в случае, если ∆ ≠0 . Для этого умножим обе части

уравнения А Х = В слева на обратную матрицу A–1 и получим А−1 А X = А−1 В . Так как А−1 А = Е и Е X = Х , то

X = A−1 B . Такой метод решения называется матричным способом решения системы (или с помощью обратной матрицы).

16

Решение. Теперь решим матричным методом систему линейных уравнений

Далее для нахождения матрицы-столбца неизвестных необходимо перемножить полученную обратную матрицу и матри- цу-столбец свободных членов:

Ответ: x1 = 1; x2 = 0; x3 = 2, он совпадает с ранее полученными ответами при решении этой системы другими способами.

выполнить проверку.

17

ведем ее к единичному виду.

Для этого умножим первую строку на (–2) и прибавим ко второй строке, далее умножим первую строку на (–3) и сложим с третьей строкой:

Вычитая из второй строки третью, получаем, что элементы третьей строки равны нулю, и поэтому третью строку можно отбросить:

Далее из первой строки вычтем вторую:

И перейдем обратно к системе:

Выразим x2 через x3:

x1 =1,x2 = −x3.

Неизвестные x1, x2 являются базисными переменными, а неизвестная x3 свободная. Пусть x3 = t, где t – любое действительное число, значит, система имеет бесконечное количество решений. Ее общее решение (1;−t;t) при t R . Если задать лю-

18

бое t, то найдем одно из частных решений системы уравнений, например при t = 3 частным решением будет (1;−3;3) .

Выполним проверку, для этого подставим общее решение (1;−t;t) в систему уравнений:

Это верно, значит, общее решение системы уравнений найдено верно.

Ответ: (1;−t;t) при t R .

1.2. Задания для самостоятельного выполнения

19

20