Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практические задания по высшей математике. Ч.I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа. Сборник зад

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

511 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

№ 4312 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

П.В. Макаров И.В. Сурская

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ЧАСТЬ I

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Сборник заданий

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2021

УДК 51 М15

Р е ц е н з е н т д-р физ.-мат. наук, д-р техн. наук, проф. К.В. Халкечев

Макаров, Петр Витальевич.

М15 Практические задания по высшей математике. Часть I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа : сб. заданий / П.В. Макаров, И.В. Сурская. – Москва : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2021. – 80 с.

ISBN 978-5-907227-85-9

Сборник содержит практические задания по трем разделам высшей математики: элементы линейной алгебры, векторная алгебра и аналитическая геометрия, комплексные числа. Каждое задание представлено в 30 вариантах, приведены примеры решений. Это позволит преподавателям пользоваться данным пособием при выполнении студентами контрольных и индивидуальных домашних работ, а студентам – на основе разобранного варианта качественно подготовиться к работе.

Для студентов инженерных специальностей, обучающихся в НИТУ «МИСиС».

УДК 51

	Макаров П.В.,
	Сурская И.В., 2021
ISBN 978-5-907227-85-9	НИТУ «МИСиС», 2021

	СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...................................................................		4
Раздел 1.	Элементы линейной алгебры................................	5
Раздел 2.	Векторная алгебра и аналитическая геометрия.....	37
Раздел 3.	Комплексные числа..........................................	74

ПРЕДИСЛОВИЕ

В сборнике приведены практические задания по следующим разделам высшей математики: элементы линейной алгебры, векторная алгебра и аналитическая геометрия, комплексные числа. Эти разделы изучаются студентами НИТУ «МИСиС» в первом семестре на 1-м курсе обучения.

Разделы начинаются с перечня тем, знание которых необходимо при выполнении заданий. Каждое задание представлено в сборнике в 30 вариантах. Это позволит преподавателям выдавать индивидуальные задания каждому студенту, а значит, можно использовать данные материалы не только для контрольных работ, но и для индивидуальных домашних заданий. Также к каждому заданию приведено решение одного варианта, что поможет студентам лучше разобраться в данной теме и подготовиться к контрольной работе.

Сборник предназначен для студентов инженерных специальностей, обучающихся в НИТУ «МИСиС». Он также может использоваться студентами других специальностей и вузов при подготовке к зачетам или экзаменам и преподавателями для проведения различных проверочных работ.

Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по электронной почте: ivsurs@mail.ru Сурской И.В.

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы. Действия над матрицами. Определители. Свойства определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, с помощью обратной матрицы.

1.1. Примеры выполнения заданий

2		−4		0		−1
	3	−2			−4	−3
Пример 1.1. Найти 3A −5B , если A =			; B =				.
	−5	1			1	−2

Решение. Для того чтобы умножить матрицу на число,

необходимо каждый	элемент	матрицы		умножить			на	дан-
		2 3 −4 3				6	−12
ное число. Найдем	матрицы		3 3	−2 3		9	−6		и
		3A =			=
			−5	3 1 3		−15 3

0 (−5)		−1 (−5)	0		5
	−4 (−5)	−3 (−5)
−5B =	−4 (−5)	−3 (−5)	=	20	15	.
	1 (−5)	−2 (−5)		−5	10
	1 (−5)	−2 (−5)		−5	10

Складывать можно матрицы только одинаковой размерности. При сложении таких матриц складываются их соответ-

ствующие элементы:

6 −12

0 5

6 +0 −12 +5

6 −7

9 −6

9+20 −6 +15

3A −5B =

20 15

29 9

−15 3

−5 10

−15 +(−5) 3 +10

−20 13

−7

Ответ: 3A −5B =

−20

Пример 1.2. Найти произведение матриц
	−2		1	3	−2	−1		3	−3
									−2
A =		0 1		5 −3		и B =	2	0		.
							−4	1	3
		2	−1	−4	2
							1	−2	3

Решение. Умножение матриц определяется только в том случае, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и обозначается А В =С . Произведение матриц не подчиняется перестановочному свойству, т.е.

АВ ≠ В А . В данном примере количество столбцов матрицы

Аи количество строк матрицы В равно 4, значит, произведение матриц существует:

−2 1 3 −2

−1

−3

с11 с12

с13

2 0

−2

С = А В =

0 1 5 −3

с с

;

2 −1 −4 2

−4 1

1 −2

−3

−1

−2 1 3 −2

−2

0 1 5 −3

;

С = А В =

−4

с с с

2 −1 −4 2

−2

с11 = −2 (−1) +1 2+3 (−4) +(−2) 1 =12−2 = −10;

с12 = −2 3+1 0 +3 1+(−2) −2 = −2+3 = −1;

с13 = −2 (−3) +1 (−2) +3 3+(−2) 3 = −2+9 =7;

с21 =0 (−1) +1

2+5 (−4) +(−3) 1= −21;

с22 =0 3+1 0 +5 1+(−3) (−2) =5+6 =11; с23 =0 (−3) +1 (−2) +5 3+(−3) 3 =15−11=4;

с31 =2 (−1) +(−1) 2+(−4) (−4) +2 1=16 −2 =14; с32 =2 3+(−1) 0 +(−4) 1+2 (−2) =2−4 = −2; с33 =2 (−3) +(−1) (−2) +(−4) 3+2 3 =2−12 = −10;

									−2 1 3 −2										−1		3		−3		−10 −1			7
									−2 1 3 −2										2 0 −2						−10 −1			7
	С = A B =									0 1 5					−3				2 0 −2					=		−21 11		4	.
																			−4		1		3			14	−2 −10
									2 −1 −4 2												−2					14	−2 −10
																			1		−2		3
											−10				−1			7
												−21			11			4
	Ответ: A B =											−21			11			4	.
												14
												14			−2 −10
	Пример 1.3. Найти многочлен P(x) =3x2 −2x +4 от матрицы
	−3				1				2

A =		6			4			−1 .
		−1			2				0
		−1			2				0
	Решение. Подставим в многочлен P(x) =3x2 −2x +4 матри-
цу А:
										−3 1					2 2				−3 1 2							1 0 0

		P(A) =3									6 4				−1			−2		6		4 −1			+4		0 1 0	.
											−1 2				0					−1 2 0							0 0 1
											−1 2				0					−1 2 0							0 0 1
	Для того чтобы возвести матрицу в квадрат, умножим ее
саму на себя:
									−3 1						2 2			−3 1				2		−3 1 2
					А		2			6 4
					А			=		6 4					−1		=		6 4 −1					6 4 −1 =
										−1 2
			(			)				−1 2					0			−1 2				0		−1 2 0
			(			)							(		)
	−3			−3			+1 6 +2							−1		−3 1+1 4 +2 2									−3 2 +1 (−1) +2 0
= 6 (−3)+4 6 +(−1) (−1) 6 1+4 4 +(−1) 2																								6 2+4 (−1) +(−1) 0 =
	(−1) (−3)+2 6 +0 (−1) (−1) 1+2 4 +0 2
	(−1) (−3)+2 6 +0 (−1) (−1) 1+2 4 +0 2																							(−1) 2+2 (−1) +0 0
																13			5		−7
															=		7		20		8
															=		7		20		8		.
																	15		7		−4
																	15		7		−4

Далее умножим на коэффициенты и сложим полученные

матрицы:
		13 5			−7			−3 1 2					1 0 0

P(A) =3			7 20		8	−	2		6 4	−1 +4				0 1 0		=
			15 7		−4				−1 2 0					0 0 1
			15 7		−4				−1 2 0					0 0 1
	39 15 −21						−6 2 4				4 0 0
							12 8 −2
	=	21 60			24	−	12 8 −2			+		0 4 0			=
		45 21 −12					−2 4 0					0 0 4
		45 21 −12					−2 4 0					0 0 4
39+6 +4 15−2 +0							−21−4 +0						49 13 −25
	21−12		+0 60		−8 +0 24 +2 +0
=	21−12		+0 60		−8 +0 24 +2 +0					=			9 52 26			.
	45+2+0 21
	45+2+0 21				−4 +0 −12 −0 +0								47 17 −12
			49		13	−25
				9	52	26
Ответ: P(A)=				9	52	26		.
				47	17	−12
				47	17	−12

Пример 1.4. Вычислить определитель четвертого порядка:

	1	−1	0	2
	1	−1	0	2
∆ =	0	1	1	−1	.
	2	1	1	−2
	1	2	3	−4

Решение. Выполним следующие действия: из элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2, а из четвертой строки вычтем первую строку. Первая строка останется неизменной. Далее разложим определитель по первому столбцу:

	1	−1	0	2		1	1	−1


	0	1	1	−1
∆ =					=1	3 1		−6	=
	0	3	1	−6		3	3	−6
	0	3	3	−6

Элементы третьей строки кратны 3, а третьего столбца (–1), поэтому, согласно свойству определителей, вынесем (–3) за знак определителя:

	1	1	−1		1	1	1
	1	1	−1		1	1	1
=3	3	1	−6	= −3	3	1	6	=
	1	1	−2		1	1	2

Далее, вычитая из второй строки утроенную первую, а из третьей первую, определитель третьего порядка можно свести к определителю второго порядка:

			1		1		1		1	1		(1 (−2)−0	1)=6.
			1		1		1
	= −3		0	−2			3	= −3 1			= −3
	= −3		0	−2			3	= −3 1	0 −2		= −3
			0		0		1
Ответ: ∆ =6.
Пример			1.5.				Найти		обратную			матрицу	А–1, если
1		−1		1
	2	0	−3			, и выполнить проверку.
А =	2	0	−3			, и выполнить проверку.
	−1	4		0
	−1	4		0

Решение. Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, тогда обратную матрицу можно найти по формуле

				А	А	А
	−1	=	1	11	21	31
А				А	А	А	.
А				А	А	А	.
			∆	12	22	32
			∆	А	А	А
				13	23	33

Вычислим определитель матрицы:

1 −1 1 ∆ = 2 0 −3 = −3+8 +12 =17 ≠0.

−1 4 0

Значит, обратная матрица к данной матрице существует. Далее найдем алгебраические дополнения:

А	1+1		0 −3				=12;			А			=(−1)			2+3			1 −1					= −3;
	1+1		0 −3													2+3			1 −1
	=(−1)
11			4			0					23							−1		4
			4			0												−1		4
А	1+2				2 −3			=3;		А					3+1			−1 1					=3;
	1+2				2 −3										3+1			−1 1
	=(−1)												=(−1)
12				−1		0					31								0	−3
				−1		0													0	−3
А	1+3				2	0	=8;			А			=(−1)			3+2		1		1	=5;
	1+3				2	0										3+2		1		1
	=(−1)
13				−1		4					32							2 −3
				−1		4												2 −3
	2+1			−1 1			=4;			А			=(−1)			3+3		1 −1			=2.
	2+1			−1 1												3+3		1 −1
А =(−1)
21					4	0					33							2		0
					4	0												2		0
А	2+2				1	1	=1;
	2+2				1	1
	=(−1)
22				−1		0
				−1		0
Согласно формуле получаем обратную матрицу:
							12		4	3				12	17		4		17	3		17
							12		4	3					17				17			17
	А	−1			=	1		3 1 5				=		3			1			5					.
																						17

						17			−3					17					17
						17		8	−3	2				8		−3				2
														8		−3				2		17
														17					17			17

Выполним проверку, для этого необходимо матрицу А умножить на полученную обратную матрицу А–1:

						1 −1						1			12				4			3								0
						1 −1						1					17				17		17	1 0						0
А А−1 =							2 0					−3			3	17			1			5	17		0 1			0			= Е;
																17					17		17
						−1 4						0			8					−3		2			0 0			1
															8	17				−3	17	2	17
																17					17		17
e =		12	−		3	+		8	=1;				e		=		24	−		24	=0;		e			= −	12		+			12		=0;

	17			17			17									17			17								17					17
11	17			17			17							21		17			17					31			17					17
e =		4	−		1	−		3		=0;			e =				8	+		9	=1;		e = −					4		+			4	=0;
e =	17		−	17		−	17			=0;			e =			17		+	17		=1;		e = −				17			+		17		=0;
12	17			17			17							22		17			17					32			17					17
e =		3	−		5	+		2			=0;		e =				6	−		6	=0;		e = −					3		+			20	=1.
e =	17		−	17		+	17				=0;		e =			17		−	17		=0;		e = −				17			+		17		=1.
13	17			17			17							23		17			17					33			17					17

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]