Практические задания по высшей математике. Ч.II. Предел функции. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Сборник заданий

№ 4313 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСИС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

И.В. Сурская П.В. Макаров

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть  II. Предел функции. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Сборник заданий

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2021

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем сборнике подобраны практические задания по следующим разделам курса высшей математики: предел функции и дифференциальное исчисление функций одной переменной. Эти разделы изучаются студентами НИТУ «МИСиС» в первом семестре на 1-м курсе обучения.

Разделы начинаются с перечня тем, знание которых необходимо при выполнении заданий. Каждое задание, представленное в сборнике, составлено в 30 вариантах. Это позволит преподавателям выдавать индивидуальные задания каждому студенту, а значит, можно использовать данные материалы не только для проведения контрольных работ, но и индивидуальных домашних заданий. Также к каждому заданию приведено решение одного варианта, что поможет студентам лучше разобраться в данной теме и подготовиться к контрольной работе.

Сборник составлен для студентов инженерных специальностей, обучающихся в НИТУ «МИСиС». Он также может использоваться студентами других специальностей и вузов при подготовке к зачетам или экзаменам и преподавателями для проведения различных проверочных работ.

Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по электронной почте: ivsurs@mail.ru Сурской И.В.

4

РАЗДЕЛ  1. Предел функции

Определение предела функции. Свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквива-

лентность функций.

Раскрытие неопределенностей.

Первый и второй замечательные пределы.

1.1.  Примеры выполнения заданий

Решение. При x → ∞ числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому имеем неопределенность

∞

вида . Чтобы ее «раскрыть», разделим числитель и знаме-

∞

натель дроби на старшую степень x, т.е. на x5. Учитывая, что

Решение. При x → 2 и знаменатель, и числитель дроби обращаются в нуль: 3 22 −5 2−2 =0 и 5 22 −12 2 +4 =0, откуда

5

Чтобы «раскрыть» неопределенность (т.е. избавиться от нее), разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни числителя:

Далее сократим числитель и знаменатель на (x – 2). В полу-

0 ченной дроби неопределенности 0 уже нет, и можно найти

предел:

Решение. При x → 11 числитель и знаменатель дроби обра-

0 щаются в 0, поэтому имеем неопределенность 0 . Для ее рас-

крытия умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 15−x +x −7, сопряженное знаменателю, чтобы избавиться от иррациональности, и выполним необходимые преобразования:

6

Решение. При x → 0 имеем неопределенность (0 ∞). Преобразуем выражение (sin3x ctg7x) так, чтобы можно было ис-

пользовать первый замечательный предел lim sinu =1, т.е. при-

u→0 u

предел методом замены бесконечно малых эквивалентными.

7

Для этого используем эквивалентность следующих бесконечно малых:

arcsin8x 8x, tg9x 9x, ln(1+7x) 7x, e−x −1 (−x),

Решение. При x → ∞ имеем неопределенность (1∞). Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть и выполним преобразования так, чтобы можно было использо-

8

1.2.  Задания для самостоятельного выполнения

Вариант  1

9

Вариант  3

Вариант  4

1.  lim 4x4 +2x3 −1;

x→∞ 4x3 −5x2

2.  lim 2x2 +x −1;

x→−1 x2 +6x +5

10