Практические задания по высшей математике. Ч.II. Предел функции. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Сборник заданий

б)  y =arcsin(ln x );

51

е)  y =xln(7x−1).

Задание  2.2. Найти производную неявно заданной функции. 2.2.1.  2x2y =−ey.

2.2.2.  ey +3x =4x+y. 2.2.3.  y =5 +xe3y. 2.2.4.  x2y =cos(3x −y). 2.2.5.  y4 cosx =x3 sin y. 2.2.6.  y =5arctg(3y −x). 2.2.7.  ln y +x2y3 =7x2. 2.2.8.  y =sin(3xy ). 2.2.9.  exy −2y5 +7x2 =0. 2.2.10.  7xln y =ye4x. 2.2.11.  6xy2 =sin5y. 2.2.12.  cos(4xy)=e7x. 2.2.13.  sin(6xy)=ye2x. 2.2.14.  e2xy +5x3 =y2. 2.2.15.  e3xy =4xy+8x3. 2.2.16.  y =e2xy +9x. 2.2.17.  x6 +y2 =4xy. 2.2.18.  y2 +tg5y =9x5.

52

2.2.19.  4x2y=sin7y. 2.2.20.  x4y2 =ln2y. 2.2.21.  ysin6x =x2 cos8y. 2.2.22.  x2 +e−y =yex. 2.2.23.  xln3y =y2 sin8x. 2.2.24.  ycos2x +7x =5xey. 2.2.25.  6x3y =e4xy. 2.2.26.  y =2x cos(4xy). 2.2.27.  exy +5x4 =y7. 2.2.28.  7x2y3 =cos(2x −y). 2.2.29.  x3 +5y3 =xy5. 2.2.30.  xy2 +5x3 =7y +e2xy.

Задание  2.3. Найти производную yx′ от функции, заданной параметрически.

53

2.3.9.  x =tsin5t,

y =tcos(4t +1).

x =tln9t, 2.3.10. 

y =1+sin2 7t.

54

x =arcsin(5t +3), 2.3.23.  ( )

y =arccos 2t +2 .

Задание  2.4. Найти dy и d2y для заданной функции. 2.4.1.  y =e4x2 +3x−5 .

2.4.2.  y =tg3 4x.

55

2.4.3.  y =sin4 (2x). 2.4.4.  y =ctg2 6x. 2.4.5.  y = 3e3x2 −x . 2.4.6.  y = 4sin(x5 −3x2 ). 2.4.7.  y =sin(tg3x). 2.4.8.  y =ctg(e2x ).

2.4.9.  y =cos3 (6x4 +4x3 −x). 2.4.10.  y =tg(ln3x). 2.4.11.  y =cos6 (3x).

2.4.15.  y =ln(cos3x). 2.4.16.  y =tg(e8x ). 2.4.17.  y =ctg(e4x +2). 2.4.18.  y =ln5 (3x). 2.4.19.  y =cos4x3 +2. 2.4.20.  y =sin(e6x2 +3x−2 ).

2.4.21.  y =sin8 9x. 2.4.22.  y =ln2 (ctgx). 2.4.23.  y =sin(ln7x). 2.4.24.  y =sin(5x ). 2.4.25.  y = 4e5x+1 .

56

2.4.26.  y =ln(sin8x). 2.4.27.  y =ctg(ln3x). 2.4.28.  y =cos 33x2 −x. 2.4.29.  y =ctg5 (2x +1). 2.4.30.  y =cos(e4x+3 ).

Задание  2.5. Вычислить приближенно, используя дифференциал.

2.5.1.  ln0,97. 2.5.2.  38,03. 2.5.3.  sin58°. 2.5.4.  326.

2.5.5.  e0,01. 2.5.6.  416,02. 2.5.7.  arcctg1,02.

2.5.8.  533. 2.5.9.  cos 29°.

2.5.10.  532,05. 2.5.11.  ln1,03. 2.5.12.  e−0,2.

2.5.13.  sin29°. 2.5.14.  tg44°.

2.5.15.  26. 2.5.16.  log2 2,2.

2.5.17.  38,5. 2.5.18.  0,984. 2.5.19.  e1,1.

2.5.20.  530. 2.5.21.  sin61°. 2.5.22.  ln0,98.

57

2.5.23.  18. 2.5.24.  415,7. 2.5.25.  e1,3.

2.5.26.  534. 2.5.27.  tg47°.

2.5.28.  417,5. 2.5.29.  arctg1,04. 2.5.30.  37,5.

Задание  2.6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0.

2.6.1.  y =x4 −5, x0 =1. 2.6.2.  y =2 −4x −x2, x0 =1. 2.6.3.  y =5−x4, x0 =2. 2.6.4.  y =x4 +3x, x0 =−2. 2.6.5.  y =2−x3, x0 =2. 2.6.6.  y =x3 +4x −5, x0 =2. 2.6.7.  y =x3 +5x, x0 =−2. 2.6.8.  y =5x2 −4x +1, x0 =2. 2.6.9.  y =5−x2, x0 =3. 2.6.10.  y =2x4 −4x3, x0 = −1. 2.6.11.  y =3x3 −2, x0 =−2. 2.6.12.  y =x7 +5x −3, x0 =1. 2.6.13.  y =2x2 −3x, x0 =4. 2.6.14.  y =4x3 −5x, x0 =2.

2.6.15.  y =3x3 −6x −1, x0 =−3. 2.6.16.  y =x4 −2x2, x0 =−1. 2.6.17.  y =9x −3x2, x0 =−4.

58

2.6.18.  y =7x2 −4x3, x0 =2. 2.6.19.  y =2x3 −x4 +1, x0 =−1. 2.6.20.  y =2 +3x −7x3, x0 =−2. 2.6.21.  y =9x −8x2, x0 =1. 2.6.22.  y =2x3 −6x, x0 =3. 2.6.23.  y =5x4 −3x, x0 =−1. 2.6.24.  y =4x −3x2, x0 =−4. 2.6.25.  y =3x3 −5x2, x0 = −2. 2.6.26.  y =4x2 +2, x0 =7. 2.6.27.  y =3x3 −x, x0 =3. 2.6.28.  y =4x5 +2x, x0 =1. 2.6.29.  y =3x −4x5, x0 =−1. 2.6.30.  y =6x4 −10, x0 =1.

Задание  2.7. Найти пределы, воспользовавшись правилом Лопиталя.

Вариант  1

а)  lim x2 +x −12;

x→3 x2 −5x +6

б)  lim 1−x +lnx ;

x→1 1−2x −x2

59

Вариант  3

а)  lim x3 −6x2 −20x +120; x→6 x3 −6x2 −12x +72

sin2 x

б)  lim (3 ); x→0 arctg 5x2

Вариант  4

а)  lim 5x −x ;

x→5 x −5

ln x

б)  lim 5 ; x→0 arctg7x

πx

в)  lim(1−x)cos 2 .

x→1

Вариант  5

а)  lim x3 −4x2 −17x +68; x→−4 x3 −5x2 −26x +40

60