Практические задания по высшей математике. Ч.II. Предел функции. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Сборник заданий

В данном примере правилом Лопиталя мы воспользовались три раза.

0 Имеем неопределенность 0 , а значит, можем применить

правило Лопиталя:

0 Снова получилась неопределенность 0 . Если неопределен-

ность сохраняется, то можем воспользоваться правилом Лопиталя несколько раз, пока не раскроем неопределенность. В нашем случае правилом Лопиталя мы воспользуемся три раза:

в)  limxsinx.

x→0

При x → 0 имеем неопределенность вида (00). Неопределенности этого вида, также как и неопределенности вида (1∞), (∞0), можно найти, предварительно вычислив предел от логарифма функции.

Обозначим y = xsinx и прологарифмируем обе части равенства:

ln y =lnxsinx =sinx lnx.

31

Тогда

делена на всей области определения, кроме точки x = 1. Отсюда область определения данной функции:

D(y)=(−∞;1) (1;+∞).

2)  Четность, нечетность функции. Напомним, что если y(–x) = y(x), то функция четная, если y(–x) = –y(x), то функ-

32

ция нечетная, в противном случае функция не является ни четной, ни нечетной, или говорят, что она является функцией общего вида. Найдем

Значит, заданная функция не является ни четной, ни нечетной.

3)  Точки пересечения графика функции с осями коорди-

пересекает координатные оси в точке (0;0).

4)  Интервалы знакопостоянства функции (рис.  2.1). Определим интервалы, где y > 0:

Рис.  2.1. Интервалы знакопостоянства функции

5)  Асимптоты графика функции. Для нахождения вертикальной асимптоты исследуем поведение функции в граничных точках области определения, т.е. в точке разрыва x = 1:

33

Так как при x → 1 функция y → ∞, то x = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонные асимптоты. Наклонные асимптоты задаются уравнением y = kx + b, где k и b находятся по формулам:

т.е. b = 2.

Имеем уравнение правой наклонной асимптоты: y = x + 2. Легко убедиться, что при x → –∞ k и b имеют те же значения,

т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же: y = x + 2.

34

6)  Промежутки возрастания, убывания функции (рис.  2.2),

точки экстремумов. Найдем производную функции:

Приравняем y′ к нулю, получим уравнение

x3 −3x2 =0, x3 −3x2 =0,

(x −1)3

откуда имеем критические точки: x = 0, x = 3. Для исследования знака производной в интервалах (–∞;0), (0;1), (1;3) и (3;+∞) на числовой оси отметим точки x = 0, x = 3 и x = 1.

Определим знаки y′= x3 −3x2 в указанных интервалах.

(x −1)3

Рис.  2.2. Интервалы возрастания, убывания функции

Таким образом, в интервалах (–∞;1); (3;+∞) функция возрастает, так как y′ > 0, а в интервале (1;3) – убывает, так как y′ < 0. Точка x = 3 является точкой минимума, и значение функции в точке минимума равно:

35

Точек максимума нет.

7)  Промежутки выпуклости, вогнутости (рис.  2.3), точки перегиба. Найдем вторую производную:

откуда имеем критическую точку второго рода: x = 0. Так как знаменатель дроби (x – 1)4 > 0 всегда больше 0 (кроме x = 1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x < 0 y″ < 0, при x > 0, x ≠ 1 y″ > 0. Значит, точка x = 0 является точкой перегиба. При x < 0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y″ < 0, а при x > 0, x ≠ 1 – выпуклостью вниз. В точке перегиба функция принимает значение f(0) = 0.

Рис.  2.3. Интервалы выпуклости, вогнутости функции

8)  Используя полученные данные, строим график функции (рис.  2.4).

36

б)  y = (3 – x) ln(3 – x)

1)  Область определения функции. Функция y = (3 – x)×

×ln(3 – x) определена при 3 – x > 0 x < 3. Отсюда область определения данной функции: D(y) = (–∞;3).

2)  Четность, нечетность функции. Найдем

y(−x)=(3−(−x))ln(3−(−x))=(3+x)ln(3+x)≠ y(x)≠ −y(x).

Значит, заданная функция не является ни четной, ни нечетной.

3)  Точки пересечения графика функции с осями координат. Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого приравняем y = 0 (3 – x) ln(3 – x) = 0 x = 3, 3 – x = 1. Корень уравнения: x = 2 (x = 3 – не удовлетворяет области определения функции). Точка пересечения с осью Ox: (2;0). Далее приравняем x = 0 y = (3 – 0) ln(3 – 0) y = ln3. Точка пересечения с осью Oy: (0;ln3).

4)  Интервалы знакопостоянства функции (рис.  2.5). Определим интервалы, где y > 0:

(3 −x) ln(3 −x)>0 x <2.

37

И аналогично где y < 0:

(3 −x) ln(3−x)<0 2 <x <3.

Рис.  2.5. Интервалы знакопостоянства функции

5)  Асимптоты графика функции. Для нахождения вертикальной асимптоты исследуем поведение функции в граничной точке области определения, т.е. в точке x = 3:

Так как при x → 3 функция y → 0, то вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты:

38

значит, наклонных и горизонтальных асимптот нет. При x →+∞ k и b не рассматриваем, так как область определения функции (–∞;3).

6)  Промежутки возрастания, убывания функции (рис.  2.6), точки экстремумов. Найдем производную функции:

y′=((3 −x) ln(3 −x))′ =(3 −x)′ (ln(3 −x))+(3 −x) (ln(3 −x))′ = =(−1) (ln(3 −x))+(3 −x) 3−−1x = −ln(3 −x)−1.

Приравняем y′ к нулю, получим уравнение

−ln(3−x)−1 =0 3 −x =e−1 x =3−1e .

Имеем критическую точку x =3−1e. Исследуем знаки произ-

Рис.  2.6. Интервалы возрастания, убывания функции

Точка x =3−1e ≈2,6 является точкой минимума, и значение функции в точке минимума равно:

39

Точек максимума нет.

7)  Промежутки выпуклости, вогнутости (рис.  2.7), точки перегиба. Найдем вторую производную:

y′′=(−ln(3−x)−1)′ =−3−−1x = 3−1x .

Так как y″ в ноль не обращается, то критических точек второго рода нет. На промежутке (–∞;3) y″ > 0, значит, график направлен выпуклостью вниз на указанном промежутке.

Рис.  2.7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции

8)  На основании полученных данных, строим график функции (рис.  2.8).

Рис.  2.8. График функции y = (3 – x) ln(3 – x)

40