Практические задания по высшей математике. Ч.II. Предел функции. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Сборник заданий

Вариант  29

21

22

РАЗДЕЛ  2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции. Основные правила дифференцирования. Таблица производных.

Производная сложной функции. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Логарифмическое диф­ ференцирование.

Дифференциалы функции первого и второго порядка. Приближенные вычисления с использованием первого дифференциала.

Уравнения касательной и нормали. Правило Лопиталя.

Построение графиков функций с помощью общей схемы исследования.

2.1.  Примеры выполнения заданий

Пример  2.1. Найти производные заданных функций: а)  y =sin3x2;

б)  y =sin(ln3 x);

в)  y =ctg7 x arctg(6x2 );

е)  y =(sinx)x2 .

Решение.

а)  y =sin3x2.

y′=(sin3x2 )′ =(sin3x2 )′ =(cos3x2 ) 3 2x =6x cos3x2,

т.е.

23

y =f (u)=sinu, y′=f′(u)=cosu, и u =ϕ(x)=3x2, u′=ϕ′(x)=6x.

в)  y =ctg7 x arctg(6x2 ).

y′=(ctg7 x arctg(6x2 ))′ =

24

ln y =x2 ln(sinx).

Далее продифференцируем обе части равенства:

(ln y)′ =(x2 ln(sinx))′

(ln y)′ =(x2 )′ ln(sinx)+x2 (ln(sinx))′

yy′ =2xln(sinx)+x2 cossinxx

ивыразим у′, умножая на y:

25

y′=(2xln(sinx)+x2 ctgx) y.

Заменим y по условию на выражение через x и получим ответ:

Пример  2.2.Найтипроизводнуюнеявнозаданнойфункции: x3 +ycos(2x +y)=0.

Решение. Продифференцируем данное равенство:

(x3 )′ +y′(x) cos(2x +y)+y (cos(2x +y))′ =0; 3x2 +y′(x) cos(2x +y)+y (−sin(2x +y)) (2 +y′(x))=0.

Далее сгруппируем слагаемые и выразим y′(x):

26

y′(x) cos(2x +y)−y′(x)ysin(2x +y)=2y sin(2x +y)−3x2; y′(x) (cos(2x +y)−ysin(2x +y))=2y sin(2x +y)−3x2;

Данная функция задана параметрически:

x =asint

y =acost.

Найдем ее производную:

Пример  2.4. Найти первый и второй дифференциалы функции y =sin3 (4x +1).

27

Решение. Дифференциалы первого и второго порядка функций можно найти соответственно по формулам:

dy =y′(x)dx;

d2y =d(dy)=(dy)′x dx =y′′(x)(dx)2 =y′′(x)dx2.

Первый дифференциал заданной функции:

dy =f′(x)dx =(sin3 (4x +1))′dx =

=3sin2 (4x +1) cos(4x +1) 4dx =

=12sin2 (4x +1) cos(4x +1)dx.

Второй дифференциал:

=48sin(4x +1)(2cos2 (4x +1)−sin2 (4x +1))dx2 =

=48sin(4x +1)(2(1−sin2 (4x +1))−sin2 (4x +1))dx2 =

=(96sin(4x +1)−144sin3 (4x +1))dx2.

Ответ:

dy =12sin2 (4x +1) cos(4x +1)dx;

d2y =(96sin(4x +1)−144sin3 (4x +1))dx2.

Пример  2.5. Используя дифференциал, вычислить приближенное значение arcsin0,49.

Решение. Для приближенных вычислений можно использовать формулу

f (x +Dx)≈f (x)+f′(x) Dx.

28

Рассмотрим функцию y =arcsinx, ее производная равна

y′=(arcsinx)′ = 1 . Полагая x = 0,5, Dx = –0,01, приме- 1−x2

ним данную формулу

arcsin(x +Dx)≈arcsinx +(arcsinx)′ Dx

и получим

Ответ: 0,512.

Пример  2.6. Составить уравнения касательной и нормали к

графику функции f (x)=x3 −5x2 +2 в точке с абсциссой x0 = 1. Решение. Уравнения касательной и нормали в точке x0 к

кривой y = f(x) имеют вид соответственно

y −f (x0 )=f′(x0 )(x −x0 ) и y −f (x0 )=−f′(1x0 )(x −x0 ).

Найдем значение функции в точке x0 = 1:

f(x0 ) =f (1)=13 −5 12 +2 =−2.

Производная заданной функции имеет вид:

f′(x)=3x2 −5 2x =3x2 −10x.

А ее значение в точке x0 = 1:

f′(x0 )=f′(1)=3 12 −10 1 =−7.

Тогда уравнение касательной к графику функции

f (x)=x3 −5x2 +2 в точке с абсциссой x0 = 1 найдем, подставив полученные значения в формулу уравнения касательной:

29

y−(−2)= −7(x −1) y +2 =−7x +7 y =−7x +5,

ауравнение нормали имеет вид

y −(−2)=71 (x −1) y +2 =71 x −71 y =71 x −157 .

Ответ: y =71 x −157 .

Пример  2.7. Найти пределы, воспользовавшись правилом Лопиталя: