Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практические задания по высшей математике. Ч.I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа. Сборник зад

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

511 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

		1			1	2				2			1	1 . 1.6.26. Х			0		1	1		1 3 1		.
1.6.25.	Х		0		1	1			=	2			1	1 . 1.6.26. Х				1	2	0	=	1 3 1		.
																							1 2 0
			1		0	0				4 2 3								1	1	1			1 2 0
			1		0	0												1	1	1
		0			−1				1				2	1		0 .
1.6.27.	Х			2	3				0		=		2	1		0 .
														−1		2
			−1		1								0	−1		2
			−1		1			−3
		1			1		0				4			3	0
				−1	0		2			=	4			3	0
1.6.28. Х				−1	0		2			=		−1		0	3	.
				1	1		1					−1		0	3
				1	1		1
		1			0	1				3			2	3
				1	1	1				3			2	3
1.6.29. Х				1	1	1			=						.
				0	1	0				1			1	1
				0	1	0
		0			1	0				0			−1		−2
				0	1	1			=	0			−1		−2
1.6.30. Х				0	1	1			=							.
				1	1	2				0			2		1
				1	1	2

Задание 1.7. Найти ранг матрицы.
	1	−1 1 0						2		1 0 1
1.7.1.	2	0	2	1			1.7.2.	−2		−1	3	2
						.								.
	3							0		0 3 1
		−1 3 −1
	0	−1 1 2						2 1 −1 0
1.7.3.	0	2	−2		1		1.7.4.	0	0		2	1
						.							.
	2	1 0 3						1 1 1 1

	0	1 1 −1						1		0 2 1
1.7.5.	2	2	2	1			1.7.6.	−1		0	1	1
					.									.
	1	1 1 2						1	−1 2 2

	1	−1 2 1						1	0 2				1
1.7.7.	0	0	1		0		1.7.8.	−2 0			−4		1
						.								.
	2							−1 0 −2 2
		−2 5 −1

1 0 1 0

1.7.9. 3 0 3 1 .

−1 2 1 12 1 −1 −2

1.7.11. 4 2 0 0 .

8 4 −2 −4

1 −1 0 2

1.7.13. 2 −2 1 4 .

5 −5 1 0

2 1 −1 3

1.7.15. 1 0 2 −1 .

0 1 −5 6

2 1 0 1

1.7.17. −1 2 1 1 .

1 8 3 0

0 0 1 2

1.7.19. 1 0 2 −1 .

3 0 8 12 0 1 −2

1.7.21. 3 1 0 2 .

1 −1 2 1

1.7.23. 0 1 0 1 .

1 0 2 3

1 2 −1 2

1.7.25. 0 1 −2 1 .

3 4 1 0

	−2		2	−2	0
1.7.10.		−1	1	2	2
						.
		−3	3	0	1

	2		1	3	0
1.7.12.		−2	−1	−3	1
							.
		1	0	0	1

3 1 0 2

1.7.14. 0 1 2 2 .

3 2 6 0

0 1 2 −1

1.7.16. 0 2 4 1 .

1 1 2 22 0 −1 −1

1.7.18. 1 1 2 −2 .

4 −2 −1 11 0 0 −1

1.7.20. 0 1 −2 1 .

2 3 −6 12 0 −1 1

1.7.22. 4 0 −2 0 .

2 1 −1 3

2 −1 1 1

1.7.24. 4 −2 2 0 .

0 −3 1 3

1 2 −1 3

1.7.26. 2 4 −2 0 .

0 2 −1 9

		1 1 0 1								2 1 1 −1
1.7.27.		−2	0	1	1		1.7.28.			0	0 1	2
1.7.27.		−2	0	1	1	.	1.7.28.			0	0 1	2	.
		−4 2 3 5								1 2 5 4
		−4 2 3 5								1 2 5 4
		1 0 2 1								1 −1 2 −2
1.7.29.		−2	1	3	1		1.7.30.			0	0	1 −2
1.7.29.		−2	1	3	1	.	1.7.30.			0	0	1 −2		.
		−4 3 0 5								1 −3 5 −4
		−4 3 0 5								1 −3 5 −4
Задание 1.8. Решить систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
3x +3y −z =1								7x −2y −z = −6
		x −y +2z =5 .							−x +y +4z =3 .
1.8.1.		x −y +2z =5 .					1.8.2.		−x +y +4z =3 .
									2x −y +z = −3
x +4y −3z = −5									2x −y +z = −3
x −3y +4z = −1								x +6y −2z = −3
	2x −y −6z =3 .						1.8.4.
1.8.3.	2x −y −6z =3 .						1.8.4.	3x −2y +5z =2 .
		4y −3z =4
		4y −3z =4						x −7y −4z = −5
5x +y −3z = −5								3x −y +2z =6
							1.8.6.
1.8.5. −x −2y −5z = −1.							1.8.6.	−x +2y −6z = −11 .
	2x +y +4z =2										3x −2y =1
	2x +y +4z =2										3x −2y =1
−x +4y +5z =1								x −4y +3z = −3
							1.8.8.
1.8.7. 3x −2y −2z =7 .							1.8.8.	3x +4y +z = −1 .
	−4x +8y = −4								−x −3y +2z =1
	−4x +8y = −4								−x −3y +2z =1
5x −y +3z =2									2x +y −3z = −1
							1.8.10.			4x +7y −z =3 .
1.8.9. 3x −2y +7z =6 .							1.8.10.			4x +7y −z =3 .
										−x +y +z = −2
−x +3y −5z =2										−x +y +z = −2
	7x −2y +4z = −6								x −2y +3z =4
		−x +y −7z = −2 .
1.8.11.		−x +y −7z = −2 .					1.8.12. −2x +4y −z = −13 .
	2x −3y +6z = −9										4x +y =10

2x +y −4z = −1

1.8.13.x −2y +7z = −4 .6x +2y −z =3

4x −5y +7z =7

1.8.15.−x +6y −8z =3 .2x −y −3z =5

	x −y +6z = −6
1.8.17.
	2x −2y −z = −12 .

	3x +y −10z =10
	6x −2y +3z = −14
1.8.19.		2x −y +8z = −7 .

		x +y −z =7

9x −2y −4z =8

1.8.21.−x +3y +z =3 .3x −y −2z =4

3x −y +7z = −3

1.8.23. −x +y +5z =5 .

4x −2y −5z = −8

3х −y +2z =4

1.8.25.5х +2y −4z =3 .7х +y +z =9

7х −y +2z =8

1.8.27.8х +7y +9z =1 .9х +2y −7z =7

9х +2y +z =1

1.8.29.8х +3y −2z =5 .3х −y −7z =6

−x +7y +z =4

1.8.14. 2x −6y −z = −2 .

x +2y −3z = −16

8x −y +4z =3

1.8.16. −x +2y −7z = −4 .

3x −3y +4z = −7

x +3y −4z =3

1.8.18. −x +2y −3z = −1.

2x +y +z =2

x −2y −2z = −9

1.8.20.3x −2y −z = −5 .−2x −y +4z =3

x +4y −z = −2

1.8.22.−2x −8y +3z =9 .3x +3y −z =4

2x +y −4z =15x −y +z =0 .

3x +2y −z =71.8.24.

5х −7y +z =1

1.8.26. 7х +8y +9z =9 .

8х −9y +2z =2

9х +y +z =9

1.8.28. 7х −3y −5z =7 .

3х −4y +7z =3

4х +3y −z =3

1.8.30.3х +4y −9z =4 .8х +y +7z =1

Задание 1.9. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Найти общее решение и выполнить проверку.

	4х +2y −z =6
1.9.1.		7х −y +5z =6 .

	3х −3y +6z =0

	5х −3y +16z = −3
1.9.3.		3х +4y −9z =4 .

		8х +y +7z =1

	3х −y +2z =4
1.9.5.		5х +2y −4z =3 .

	2х +3y −6z = −1

	7х −y +2z =8
1.9.7.
	2х +3y −9z = −1.
		9х +2y −7z =7

4х −4y +3z =7

1.9.9.3х +5y −z =2 .7х +y +2z =9

х +8y −z =11

1.9.11.х −3y +z = −3 .3х +2y +z =5

5х +4y −7z =8

1.9.13.х +3y −2z =3 .3х −2y −3z =2

3х +6y +7z =1

1.9.15.2х +4y +3z =2.х +2y −z =3

7х +2y +3z =5

1.9.2.9х −y +2z =1 .2х −3y −z = −4

5х −7y +z =1

1.9.4.3х −2y +z =1 .8х −9y +2z =2

3х +5y +z =2

1.9.6.2х +2y +3z = −1 .5х +7y +4z =1

5х +4y +5z = −1

1.9.8.8х +3y −2z =5 .3х −y −7z =6

7х −3y −5z =7

1.9.10. 9х +y +z =9 .

2х +4y +6z =2

4х +y +2z =9

1.9.12. 2х +3y −z =1 .

6х −y +5z =17

4х +5y +z =2

1.9.14. х +y −11z =3 .

2х +3y +23z = −4

х −y −3z =5

1.9.16. 3х +y −z =2 .

х +3y +5z = −8

2х +4y +3z =1

1.9.17.3х +y +2z =2 .4х −2y +z =3

	3х +2y +3z =4
1.9.19.		2х −y −z =5 .

		7х +z =14

	х −2y +7z =1
1.9.21.		3х −5y +2z =2 .

	6х −11y +23z =5

	х +2y +3z =1
1.9.23.		3х −y +2z =2 .

	5х +3y +8z =4

	2х −y +z =7
1.9.25.		х +3y +2z =2 .

	5х +y +4z =16

	х +2y +z =3
1.9.27.		2х +y −z = −1 .


	х +5y +4z =10
	х −y +2z =3
1.9.29.		3х +y −z =1 .


	х +3y −5z = −5

х +5y −4z =3

1.9.18.2х −3y −3z =1 .х +18y −9z =8

5х −5y +z =6х −2y +z =1 .

2х +y −2z =31.9.20.

7х −11y +5z =9

1.9.22.3х −2y +z =2х −7y +3z =5

х +7y −5z = −4

1.9.24. х −y +2z =3 .

3х +5y −z =2

4х +y +7z = −3

1.9.26.х −y +4z = −2 .2х +3y −z =1

х +2y −z =2

1.9.28. 2х +y +z = −1 .

х +5y −4z =7

х +2y −3z =1

1.9.30. 3х −y +4z = −1

−х +5y −10z =3

РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение векторов. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

Прямая на плоскости. Кривые второго порядка на плоскости.

Прямая и плоскость в пространстве.

2.1. Примеры выполнения заданий

Пример 2.1. Даны векторы a1 =(1; 3;5); a2 =(0;2;0); a3 =(5;7;9); b =(0;4;16). Проверить, что векторы a1,a2,a3 образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе.

Решение. Покажем, что векторы a1,a2,a3 линейно независимы. Для этого вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:

∆ =	1	3	5	=18 +0 +0 −50 −0 −0 = −32 ≠0.
∆ =	0	2	0	=18 +0 +0 −50 −0 −0 = −32 ≠0.
	5	7	9

Поскольку определитель отличен от нуля, ранг системы векторов a1,a2,a3 равен 3, значит, эти векторы образуют базис трехмерного пространства.

Разложение вектора в этом базисе имеет вид b =λ1a1 +λ2a2 +λ3a3,

где λ1 , λ2 , λ3 – числа.
Имеем a =i +3j +5k;	a	=0i +2j +0k =2j;	a	=5i +7j +9k;
1	2		3
b =0i +4j +16k =4j +16k.

Подставляя векторы в равенство, получим

4j +16k =λ1 (1i +3j +5k)+λ2 (2j )+λ3 (5i +7j +9k).

То есть

4j +16k =i (λ1 +5λ3 )+ j (3λ1 +2λ2 +7λ3 )+k (5λ1 +9λ3 ).

Отсюда следует:

λ1 +0 λ2 +5λ3 =0,3λ1 +2λ2 +7λ3 =4,

5λ1 +0 λ2 +9λ3 =16.

То есть

λ1 =5; λ2 = −2; λ3 = −1.

Тогда разложение вектора b по базису a1;a2;a3 имеет вид b =5a1 −2a2 −a3.

Выполним проверку:

5(1i +3j +5k)−2(2j )−(5i +7j +9k)=

=5i +15j +25k −4j −5i −7j −9k =0i +4j +16k =b.

Ответ: b =5a1 −2a2 −a3.

Пример 2.2. Найти координаты вектора с , перпендикулярного векторам a =(1;2;−3) и b =(−1;0;2), если c = a .

Решение. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Так как с a , то с a =0 , и с b , то с b =0 . Пусть вектор с задается координатами с =(сx;cy;cz ).

Тогда

с a =сx 1+cy 2+cz (−3)=сx +2cy −3cz =0

с b =сx (−1) +cy 0 +cz 2 = −сx +2cz =0.

Также известно, что c = a , т.е.

с =(сx )2 +(cy )2 +(cz )2 =12 +22 +(−3)2 = a

или

(сx )2 +(cy )2 +(cz )2 =14.

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

	с +2c −3c =0,																														2с +2c −3c =0,
		x			y						z																				z					y								z
	−сx			+2cz						=0,																					сx =2cz,
	−сx			+2cz						=0,																					сx =2cz,
	x				(					2			z																		z					(		2								z
	x		)2	+	(			y )					z	)2			=14,														z	)2		+		(	y )									z
(с			)2	+		c					+(c			)2			=14,											(2с				)2		+			c						+(c )2 =14,
			с =2c ,																		с =2c ,																				с =2c ,
				z						y													z						y																	z	y
																					сx =2cz,																								сx =2cz,
			сx =2cz,																		сx =2cz,																								сx =2cz,
				2						2	=14,										(		2c					2		+c2 =14,																2	14,
			5cz			+cy					=14,								5				2c							+c2 =14,											21cy =						14,
																											y )				y


																=2						2													= −2					2
													сz									2			,							сz								2				,
													сz								3				,							сz						3						,
																					3																	3

																					2																	2
																=4					2														= −4			2
													сx													, или сx																		,
													сx								3					, или сx												3						,
																					3																	3

																	=				2														= −				2
													c								2			,							c								2				.
													c											,							c												.
															y						3												y					3
																					3																	3


																																															2		2		2
То есть вектор с может иметь координаты с																																														= 4		;		;2
То есть вектор с может иметь координаты с																																														= 4		;		;2
																																															3		3		3

					2						2						2
или с =		−4					;−					;−2								.
или с =		−4					;−					;−2								.
					3						3						3
					3						3						3

						2					2			2									−4					2		;−		2		;−2				2
Ответ: 4									;			;2						;																								.
Ответ: 4									;			;2						;																								.
						3					3			3														3				3						3
						3					3			3														3				3						3

Пример 2.3. Известно, что угол между векторами m и n

равен 60°. Найти косинус угла между векторами a и b , если a =2m −3n ; b =m −2n ; m =3 ; n =2 .

Решение. Косинус угла α между векторами a и b можно найти через скалярное произведение векторов:

a b

cosα, cosα =

Найдем скалярное произведение векторов a и b :

a b =(2m −3n) (m −2n)=2m m −2m 2n −3n m +3n 2n = =2(m)2 −4m n −3n m +6(n)2 =2(m)2 −7m n +6(n)2 .

Учитывая, что скалярное произведение векторов m n = m n cosγ =3 2 cos60°=6 0,5 =3,

=9 и

где γ – угол между векторами m и n , а (m)

(n)2 =

2 =22 =4 .

Тогда скалярное произведение a и b :

=2 9−7 3+6 4 =21.

a b =2(m) −7m

n +6(n)

Теперь найдем длины векторов a и b :

2m −3n

(2m −3n) =

−12m n

+9n

= 4

−

= 4 9−12 3+9 4 = 36 =6;

12m

−2n

(m −2n) =

−4m n +4n

9−4 3+4 4 =

13.

−4m n

Тогда косинус угла между векторами a и b :

7 13

cosα =

Ответ: cosα =

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]