Практические задания по высшей математике. Ч.I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа. Сборник зад

2x −y +3z +D1 =0,

x +4y −z +D2 =0.

Для того чтобы найти D1 и D2, подставим координаты точки М0 (2;0;−1) в уравнение прямой:

Тогда общее решение прямой p имеет вид:

2x −y +3z −1 =0,

x +4y −z −3 =0.

Найдем каноническое уравнение прямой p. Для этого необходимо найти направляющий вектор данной прямой:

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0 (2;0;−1) , с направляющим вектором (–11; 5; 9) имеет вид

x−11−2 = y5−0 = z9+1.

Теперь найдем параметрические уравнения прямой:

x =2−11t;y =0 +5t;

z = −1+9t.

б) Так как прямая l перпендикулярна плоскости α, то в качестве вектора-нормали плоскости α можно взять направляющий вектор прямой l или прямой p с координатами (–11; 5; 9).

Подставим в уравнение плоскости

A(x −x0 )+B(y −y0 )+C(z −z0 )=0

51

координаты точки М0 (x0;y0;z0 )= М0 (2;0;−1) и координаты нормального вектора (A;B;C)=(−11;5;9) . Тогда уравнение плоскости α имеет вид

−11 (x −2)+5(y −0)+9(z +1)=0 −11x +5y +9z +31 =0.

б) −11x +5y +9z +31 =0 .

Пример 2.8. Найти расстояние от точки М0 (−5;2;3) до пло-

(x −1) (−14)−(y +2) 33+(z −4) (−3)=0

−14x −33y −3z −40 =0.

Тогда уравнение плоскости имеет вид 14x +33y +3z +40 =0.

52

Расстояние от точки (x0;y0;z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + + D = 0 можно найти по формуле

Ответ: d = 45 . 1294

Пример 2.9. Найти величину острого угла между прямыми x3−2 = y−+12 = z−−21 ; x5−3 = y0+2 = z−−14.

Решение. Величину острого угла между прямыми можно найти по формуле

где (m1;n1; p1 ), (m2;n2; p2 ) – координаты направляющих векторов прямых.

Координаты направляющих векторов данных прямых: (3;−1;−2) и (5;0;−1). Тогда косинус острого угла α между прямыми равен

53

Решение. Приведем уравнение прямой к параметрическому виду:

x =2−t;

y = −3+2t;z = −2−4t.

Координаты точки пересечения прямой l с плоскостью α найдем, решая систему уравнений:

x =2−t, y = −3+2t, z = −2−4t,

2x −3y +z +6 =0.

Вычислим t из следующего равенства:

2(2−1t)−3(−3+2t)+(−2−4t)+6 =0 −12t +17 =0 t =1712.

Далее найдем координаты точки:

54

Пример 2.11. Найти точку M, симметричную точке M0(–1; 2; –2) относительно плоскости α: 3x −4y +z −1 =0 .

Решение. Чтобы найти координаты точки, симметричной точке M0, составим уравнение прямой, проходящей через точку M0 и перпендикулярной плоскости α, далее найдем точку пересечения этой прямой и плоскости α. Зная координаты точки пересечения прямой и плоскости и координаты точки M0, найдем координаты точки M, симметричной M0.

Направляющим вектором прямой возьмем вектор-нормаль плоскости α с координатами (3; –4; 1). Уравнение прямой, перпендикулярной плоскости α, проходящей через точку M0(–1; 2; –2), зададим в параметрическом виде:

x = −1+3t;

y =2−4t;

z = −2+t.

Далее найдем координаты пересечения полученной прямой и плоскости α. Для этого подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости α и найдем t:

3(−1+3t)−4(2−4t)+(−2+t)−1 =0

3(−1+3t)−4(2−4t)+(−2+t)−1 =0 26t =13 t = 12.

Теперь, зная t, найдем координаты точки M1 пересечения прямой и плоскости:

55

Эта точка является серединой отрезка MM0. Координаты неизвестного конца отрезка можно найти по формулам:

где (x0;y0;z0 ) – координаты середины отрезка, т.е. точки M1;

(x1;y1;z1) , (x2;y2;z2 ) – координаты концов отрезка, т.е. точек M0 и M соответственно;

12 = −12+x2 ; 0 = 2+2y2 ; −32 = −22+z2 ,

тогда x2 = –2; y2 = –2; z2 = –1. Координаты искомой точки M, симметричной точке M0, равны M(–2; –2; –1).

Ответ: M(–2; –2; –1).

2.2. Задания для самостоятельного выполнения

Задание 2.1. Даны векторы a1,a2,a3 . Проверить, что векторы a1,a2,a3 образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:

2.1.1.a1 =(2; 2;3); a2 =(3;1;0); a3 =(−1;1;1); b =(2;4;1).

2.1.2.a1 =(6;−1;3); a2 =(2;1;0); a3 =(1; −1; −1); b =(0;4;16).

2.1.3.a1 =(4; 4;5); a2 =(5; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(8;4;1).

2.1.4.a1 =(1; 1;7); a2 =(7; −6;0); a3 =(1; −1; −1); b =(1;6;12).

2.1.5.a1 =(1; 1;10); a2 =(10; −9;0); a3 =(−1;1;1); b =(1;9;18).

2.1.6.a1 =(1; 1; −7); a2 =(7; −8;0); a3 =(−1;1;1); b =(3; −8;8).

2.1.7.a1 =(8; 8;7); a2 =(7; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(−12;6;1).

2.1.8.a1 =(1; 1; −3); a2 =(3; −4;0); a3 =(1; −1; −1); b =(1;4; −8).

2.1.9.a1 =(2; 2;1); a2 =(−1; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(2;4;3).

2.1.10.a1 =(1; 1; −4); a2 =(4; −5;0);a3 =(1; −1; −1);b =(7; −5;10).

2.1.11.a1 =(1; 1;8); a2 =(8; −7;0); a3 =(−1;1;1); b =(−1;7;14).

56

2.1.14.a1 =(9; 9;8); a2 =(−8; −1;0); a3 =(1; −1; −1); b =(9;9;2).

2.1.15.a1 =(10; 10;9); a2 =(−9; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(10;10;7).

2.1.16.a1 =(1; 1; −8); a2 =(8; −9;0); a3 =(1; −1; −1); b =(1; −9;9) .

2.1.17.a1 =(1; 1; −9); a2 =(9; −10;0); a3 =(−1;1;1); b =(3; −10;10).

2.1.18.a1 =(7; 7;6); a2 =(−6; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(7;7;2).

2.1.19.a1 =(6; 6;5); a2 =(5; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(6;6;2).

2.1.20.a1 =(1; 1; −1); a2 =(1; −2;0); a3 =(1; −1; −1); b =(−3;2;4).

2.1.21.a1 =(1; 1; −2); a2 =(2; −3;0); a3 =(−1;1;1); b =(2;6; −3).

2.1.22.a1 =(1; 1;4); a2 =(4; −3;0); a3 =(1; −1; −1); b =(1;3;6).

2.1.23.a1 =(1; 1;6); a2 =(6; −5;0); a3 =(−1;1;1); b =(2;5;10).

2.1.24.a1 =(3; 3;4); a2 =(4; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(6;3;1).

2.1.25.a1 =(5; 5;6); a2 =(6; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(10;5;1).

2.1.26.a1 =(1; 1;5); a2 =(5; −4;0); a3 =(1; −1; −1); b =(1;4;8).

2.1.27.a1 =(3; 3;2); a2 =(−2; −1;0); a3 =(−1;1;1); b =(12;3; −1).

2.1.28.a1 =(1; 1; −6); a2 =(6; −7;0); a3 =(1;7;9); b =(1;7; −7).

2.1.29.a1 =(5; 5;4); a2 =(−4; −1;0); a3 =(5;1;2); b =(5; −5; −4).

2.1.30.a1 =(1; 1; −3); a2 =(3; −4;0); a3 =(1;7; −1); b =(1; −4;8).

Задание 2.2. Найти координаты вектора с , перпендикуляр-

57

58

Задание 2.3. Известно, что угол между векторами m и n равен 60°. Найти косинус угла между векторами a и b , если:

59