Тема 6. Центр тяжести.

1. Теорема о сложении параллельных сил. Центр параллельныхсил.

Теорема: Равнодействующая 2-х параллельных сил равна сумме модулей этих сил, лежит на линии, соединяющей точки приложения этих сил на расстоянии обратно пропорциональном модулям этих сил. Доказательство:

Пусть к телу приложены параллельные силы Р₁, Р₂. Сложив Р₁ и Р₂, получим равнодействующую R₁₂, приложенную в т.О₁₂. По модулю R₁₂=P₁+P₂. По теореме Вариньона момент равнодействующей R₁₂ равен сумме моментов сил Р₁, Р₂ относительно точки О₁₂, т.е. Мo12(R₁₂)= Мo12(P₁,P₂), Но Мo12(R₁₂)=R12*0=0 и тогда

Мo12(P₁,P₂)=P₁*a-P₂*b=0. Из последнего выражения следует: P₁*a=P₂*b или a/b=P₂/P₁. Теорема доказана.

При наличии системы параллельных сил, складывая R₁₂ и Р₃, получим R₁₃ и точку приложения О₁₃ и т.д. Равнодействующая всей системы пусть будет R=Р₁+Р₂+…+Рn и приложена в т.О. При повороте всех сил на одинаковый угол в одну и ту же сторону модули всех сил и их точки приложения не изменятся, а равнодействующая опять будет проходить через т.О, называемую центром параллельных сил. Им называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил на одинаковый угол.

Найдем координаты центра параллельных сил по теореме Вариньона (момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих сил):

R*Xo=P₁*X₁+P₂*X₂+…+PnXn=Pi*Xiотсюда:Xo=(Pi*Xi)/R

Аналогично определяются координаты по осям Y и Z:

Yo=(Pi*Yi)/RZo=(Pi*Zi)/R.

2. Центр тяжести. Центр масстел.

Ц.т. тела называется точка приложения равнодействующей всех сил тяжести частей тела. Силы тяжести G₁, G₂, …, Gn отдельных частей тела можно считать параллельными силами, направленными вертикально вниз.

Тогда, обозначив координаты отдельных частей X₁, Y₁, Z₁ и т.д., на основании предыдущего, получим координаты центра тяжести тела (ц.т.):

Xцт=(Gi*Xi)/ Gi, Yцт=(Gi*Yi)/ Gi, Zцт=(Gi*Zi)/ Gi.

Для тел, находящихся за пределами земного тяготения, понятия ц.т. теряет смысл и вводится понятие центра масс тела (ц.м.), координаты которого определяются аналогично:

Xцм=(Mi*Xi)/ Mi, Yцм=(Mi*Yi)/ Mi, Zцм=(Mi*Zi)/ Mi.

В земных условиях положение ц.т. и ц.м. практически совпадают.

Ц.т. и ц.м. – геометрическая точка, которая может не совпадать с материальной точкой тела и даже лежать за его пределами (кольцо, изогнутый на 90 гр. стержень и т.д.). У симметричных однородных тел ц.т. и ц.м. лежит в плоскости симметрии или в центре симметрии. Так у однородного стержня, трубы ц.т. и ц.м. лежит в центре симметрии. У плоского прямоугольного тела или тела в форме параллелограмма, ромба ц.т. и ц.м. лежит на пересечении их диагоналей. У плоского треугольного тела – на пересечении медиан и т.д.

Часть II. Кинематика. Тема 7. Кинематикаточки.

1. Основные понятиякинематики.

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются только геометрические характеристики движения тел (траектории, скорости и т.д.) не зависимо от массы тел и действующих на них сил.

Движением называют происходящее с течением времени перемещение тел в пространстве по отношении к другим телам, с которыми связывают систему отсчета. Т.к. в мире все движется, то движение и покой являются относительными. Определить движение тела это значит найти его положение в пространстве в любой момент времени, т.е. математически указать закон движения тела. Кинематику начинают изучать с движения точки и затем переходят к движению тел. Причем различие между точкой и телом достаточно условно, т.к. в определенных условиях тело можно считатьточкой.

Движение характеризуется траекторией. Ей называется непрерывная линия, которую описывает точка или тело при своем движении относительно выбранной системы отсчета.

Траектория может быть прямолинейной или криволинейной, в связи с чем различают прямолинейное и криволинейное движение.

Движение точки задается 2 способами: векторным и естественным. При векторном способе задания положение точки в пространстве задается ее радиусом-вектором, изменяющимся с течением времени: r = f(t). При этом способе затруднено вычисление модуля радиуса-вектора и его положение в пространстве. При естественном способе задания движения задается траектория в выбранной системе координат, начало, направление отсчета и уравнение движения вида Sx = fx(t), Sу = fу(t), Sz =fz(t).