898

чаем четыре элемента. Записываем их в таком же порядке в определитель, который и является одним из миноров второго порядка:

.

Далее найдѐм отличный от нуля минор третьего порядка, со-

первую, вторую и третью строки и первый, второй и третий столбцы. На пересечении получаем девять элементов. Записываем их в таком же порядке в определитель, который и является одним из миноров третьего порядка:

.

Так как минор равен нулю, а нам нужно найти минор отличный от нуля, то берѐм другой окаймляющий минор третьего порядка. Вычеркнем, например, первую, вторую и четвѐртую строки и первый, второй и третий столбцы. На пересечении получаем девять элементов. Записываем их в таком же порядке в определитель, который и является одним из миноров третьего порядка:

.

Далее найдѐм отличный от нуля минор четвѐртого порядка, содержащий найденный выше отличный от нуля минор третьего

минора четвѐртого порядка, содержащие :

Можно показать, что оба минора равны 0 (следует их вычислить разложением по строке или столбцу). Следовательно, ранг матрицы равен 3.

Второй способ. Приведѐм матрицу к ступенчатому виду с помощью следующих элементарных преобразований.

1) Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–3):

81

.

2) К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–1):

.

3) Вычеркнем нулевую строку:

.

4) Первую строку умножим на 3, третью строку умножим на 2:

.

5) К третьей строке прибавим первую:

.

6) Разделим первую строку на 3:

.

7) Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 3:

.

8) К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 5:

.

Матрица приведена к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк полученной матрицы равно 3 и, поэтому, ранг матрицы равен 3.

Ответ: .

82

13.

84

86

ТЕМА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Исследование на совместность Справочный материал.

Теорема Кронекера−Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

.

Пример. Исследовать систему на совместность:

Решение. Запишем матрицу системы и расширенную матрицу системы:

87

,

.

Найдѐм ранги матриц приведением их к ступенчатому виду. Приведѐм к ступенчатому виду расширенную матрицу системы, при этом к ступенчатому виду автоматически приведѐтся матрица системы. Выполним следующие преобразования.

1) Поменяем местами первую и третью строки:

.

2) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на 3; прибавим к третьей строке первую, умноженную на 2; прибавим к четвѐртой строке первую, умноженную на 5:

.

3) Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (−1); прибавим к четвѐртой строке вторую, умноженную на (−2):

.

4) Прибавим к четвѐртой строке третью, умноженную на (−1):

.

5) Вычеркнем нулевую строку:

.

88

Матрица приведена к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк матрицы равно 2, поэтому количество ненулевых строк матрицы равно 3, поэтому . По теореме Кронекера−Капелли система не совместна.

Ответ: система не совместна.

Задание 16. Исследовать систему на совместность.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

89

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

90