898

;

;

;

;

Составим обратную матрицу:

.

Второй способ. Запишем матрицу :

.

С помощью элементарных преобразований приведѐм матрицу к ступенчатому виду.

1. Поменяем местами первую и вторую строки:

.

2. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на :

.

3. Вторую строку умножим на 12, третью строку умножим на

:

.

4. К третьей строке прибавим вторую:

41

.

5. Вторую строку разделим на :

.

Таким образом, матрица приведена к ступенчатому виду. Далее матрицу приведѐм к виду .

6. Разделим вторую строку на 7, третью строку разделим на

:

.

.

8. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на :

.

9. Прибавим к первой строке третью, умноженную на :

.

Сделаем проверку. Для этого умножим обратную матрицу на данную матрицу , используя операции умножения матриц и умножения матрицы на число:

.

42

Так как в результате получилась единичная матрица, то обратная матрица найдена верно.

43

44

ТЕМА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Справочный материал.

Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет

вид:

уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, то она называется несовместной. Совместная система называется определѐнной если она имеет единственное решение, и неопределѐнной, если имеет бесконечное множество решений. Системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования, приводящие к эквивалентной системе:

1. вычѐркивание уравнения вида:

(нулевой строки);

2.перестановка уравнений или слагаемых в уравнении;

3.прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженного на любое действительное число.

Система уравнений в матричной форме имеет вид: ,

где

45

Расширенной матрицей системы называется матрица вида:

.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Справочный материал.

1. Правило Крамера. По правилу Крамера можно решать системы, когда число уравнений равно числу неизвестных.

Теорема. Пусть − определитель матрицы системы, а − определитель, полученный из заменой j-ого столбца столбцом свободных элементов. Тогда, если , то система имеет един-

ственное решение, определяемое по формулам , .

2.Метод обратной матрицы. Методом обратной матрицы можно решать системы, когда число уравнений равно числу неизвестных. Если матрица системы невырожденная, то матрицу неизвестных находят по формуле .

3.Метод Гаусса. Методом Гаусса можно решать системы с любым числом уравнений и неизвестных. Этот метод основан на приведении расширенной матрицы системы с помощью элементарных преобразований (приводящих к эквивалентной системе) к ступенчатому виду с последующим постепенным нахождением неизвестных, начиная с последних неизвестных.

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса:

46

Решение.

1. Правило Крамера.

Так как число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы (определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных) отличен от нуля:

,

то правило Крамера применимо.

Вычислим определитель , который получается из заменой первого столбца столбцом свободных элементов:

.

Вычислим определитель , который получается из заменой второго столбца столбцом свободных элементов:

.

Вычислим определитель , который получается из заменой третьего столбца столбцом свободных элементов:

.

Тогда , , .

Ответ: .

47

2. Метод обратной матрицы.

Составим матрицу системы , матрицу неизвестных и матрицу свободных элементов :

Так как число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы , то метод обратной матрицы применим.

Используем формулу . Найдѐм обратную матрицу по формуле:

,

где − определитель матрицы системы, – алгебраические дополнения элементов матрицы

.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

;

;

;

;

;

;

;

48

;

.

Составим обратную матрицу:

.

Найдѐм матрицу неизвестных X:

.

Ответ: . 3. Метод Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы и приведѐм еѐ к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, приводящих к эквивалентной системе.

.

Выполним следующие преобразования.

1) Ко второй строке прибавим первую, умноженную на :

.

2) Поменяем первую и вторую строки местами:

.

3)Прибавим ко второй строке первую, умноженную на ;

ктретьей строке прибавим первую, умноженную на :

.

4) Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

49

.

На основе последней матрицы запишем систему уравнений:

Задание 9. Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.

50