898

51

Объём выпуска продукции при заданном потреблении и запасах

Справочный материал.

Предприятие выпускает видов продукции, используя сырьѐ видов. Матрица задаѐт расход сырья по видам продукции, матрица задаѐт запасы сырья, где – расход сырья i-ого вида на j-й вид продукции, – запас сырья i-ого вида. Если – объѐм выпуска продукции первого вида, – второго,

– третьего,…, –n-ого, то объѐм выпуска продукции каждого вида при условии полного расхода запасов сырья определяется из решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырьѐ трѐх видов. Матрица задаѐт расход сырья по видам продукции, матрица задаѐт запасы сырья:

52

сырья i-ого вида. Требуется определить объѐм выпуска продукции каждого вида при условии полного расхода запасов сырья.

Решение.

Пусть – объѐм выпуска продукции первого вида, – второго, – третьего. При условии полного расхода запасов сырья задача сводится к решению следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Приведѐм расширенную матрицу системы к ступенчатому ви-

ду.

1) Прибавим к первой строке вторую, умноженную на :

.

2) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , прибавим к третьей строке первую, умноженную на :

.

3) Умножим вторую строку на 69, третью на :

.

4) Прибавим к третьей строке вторую:

.

5) Разделим вторую строку на 69:

.

53

Запишем систему уравнений по виду последней матрицы:

сырья i-ого вида. Требуется определить объѐм выпуска продукции каждого вида при условии полного расхода запасов сырья.

1. , .

54

55

57

ЧАСТЬ II

ТЕМА 1. МАТРИЦЫ

Действия над матрицами Справочный материал. В данном пункте используются дей-

ствия сложения, вычитания, транспонирования, умножения на число, умножения матриц. (Справочный материал на с. 7.)

Пример. Найти матрицу , где

.

Решение.

Выполним умножение матрицы на матрицу . Проверяем, возможно ли такое действие. Так как матрица имеет размерность 2х3, а матрица 3х3, то есть число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то умножение матрицы на матрицу возможно. Далее первую строку матрицы умножаем на первый столбец матрицы :

.

Затем первую строку матрицы умножаем на второй столбец матрицы :

.

Первую строку матрицы умножаем на третий столбец матрицы :

.

58

Вторую строку матрицы умножаем на первый столбец матрицы :

.

Вторую строку матрицы умножаем на второй столбец матрицы :

.

Вторую строку матрицы умножаем на третий столбец матрицы :

.

Полученные результаты записываем в матрицу:

.

Далее выполняем транспонирование матрицы :

.

Затем выполняем действие умножения транспонированной матрицы на число 3:

.

Следующее действие – сложение матриц и :

.

Далее – умножение матрицы на число 5:

.

И последнее действие – вычитание матриц и

:

59

.

.

.

.

.

60