898

31

Миноры и алгебраические дополнения

полученный из матрицы вычѐркиванием i-й строки и j-ого столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называет-

Пример. Найти минор и алгебраическое дополнение

Решение. – это минор элемента матрицы, находящегося на пересечении третьей строки и второго столбца матрицы: . Для нахождения указанного минора вычеркнем в матрице третью строку и второй столбец. Оставшиеся элементы запишем в определитель, который и является искомым минором:

.

– это алгебраическое дополнение элемента матрицы, находящегося на пересечении третьей строки и второго столбца матрицы: . Используем формулу для нахождения алгебраического дополнения:

.

Ответ: , .

Задание 6. Найти указанные минор и алгебраическое дополнение для данной матрицы.

32

Вычисление определителя матрицы третьего порядка разложением по строке или столбцу

Справочный материал.

определителем третьего порядка, называется число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по первой строке) или

(разложение по первому столбцу).

Пример. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строке или столбцу:

.

Решение. Вычислим определитель третьего порядка разложением, например, по первой строке:

.

Вычислим алгебраические дополнения:

36

.

.

.

Окончательно получаем:

.

Задание 7. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строке или столбцу.

38

Обратная матрица Справочный материал.

Если – квадратная матрица, то обратной для неѐ называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям:

,

где Е – единичная матрица.

Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (определитель матрицы не равен нулю).

Обратную матрицу можно найти двумя способами.

Первый способ (с помощью присоединѐнной матрицы).

, где – присоединѐнная матрица (получена

транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы ).

Можно записать:

.

Второй способ (с помощью элементарных преобразований). К

матрице размерности приписывают справа единичную матрицу размерности . Получают прямоугольную матрицу размерности . С помощью элементарных преобразований над строками матрицу приводят к ступенчатому виду , где

– треугольная матрица; затем матрицу приводят к виду

Элементарные преобразования матрицы.

1.Отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.

2.Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное 0.

3.Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

39

4.Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

5.Транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду (элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю):

,

где .

ную .

Решение.

Первый способ.

Вычислим определитель матрицы :

ществует обратная.

Найдѐм алгебраические дополнения всех элементов матрицы

.

;

;

;

;

40