898

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

63

.

.

.

.

.

.

.

64

.

.

.

Определитель матрицы

Определителем матрицы n-ого порядка, или определителем n-ого порядка, называется число:

.

Теорема Лапласа. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по строке)

или

(разложение по столбцу).

Теорема Лапласа позволяет вычислить определитель разложением по строке или столбцу.

Свойства определителей.

1. Если некоторая строка (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

65

2.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3.Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

4.Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5.Определитель не изменится, если у него строки заменить соответствующими столбцами.

6.Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

7.Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) данного определителя; на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, второй определитель – вторые слагаемые данной строки (столбца).

Пример. Вычислить определитель четвѐртого порядка:

.

Решение.

Первый способ. Вычислим определитель разложением по третьей строке:

Вычислим алгебраические дополнения.

66

.

.

.

Окончательно получаем:

.

Второй способ. С помощью свойств определителя получим в какой-либо строке или столбце три нуля. Применим свойство 6. Получим три нуля, например в первом столбце. Для этого к первой строке прибавим третью, умноженную на ; затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на 3 и к четвѐртой строке прибавим третью, умноженную на . При таких преобразованиях значение определителя не меняется. Получаем следующий определитель:

.

Далее вычислим полученный определитель разложением по первому столбцу:

67

.

Ответ: 70.

68

69

Матричные уравнения Справочный материал.

Простейшие матричные уравнения могут быть записаны в ви-

де.

1., где – неизвестная матрица; если матрица – невырожденная ( ), то решение матричного уравнения записывается в виде .

2., где – неизвестная матрица; если матрица – невырожденная ( ), то решение матричного уравнения записывается в виде .

3., где – неизвестная матрица; если матрицы и

–невырожденные ( , ), то решение матричного уравнения записывается в виде .

Во всех трѐх случаях матрицы имеют такую размерность, что используемые операции умножения определены, при этом левая и правая части матричного уравнения представляют собой матрицы одинаковой размерности.

70