898

решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом, собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению имеет вид: .

Найдѐм собственный вектор, соответствующий собственному значению . Для этого значение подставляем в уравне-

можно отбросить и получаем . Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом, собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению имеет вид:

.

Задание 20. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

111

Линейная модель обмена Справочный материал.

Линейной моделью обмена является матричное уравнение

– нулевой вектор. Решить уравнение означает найти собственный вектор , соответствующий собственному значению .

Пример. Найти соотношение национальных доходов трѐх стран для сбалансированной торговли, если задана структурная матрица торговли :

Решение.

Найдѐм собственный вектор , отвечающий собственному значению . Для этого решим уравнение . Запишем матрицу :

.

Тогда уравнение можно записать в виде следующей однородной системы линейных алгебраических уравнений:

Избавимся от десятичных дробей. Для этого умножим первое уравнение на , второе и третье на 10:

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Приведѐм расширенную матрицу системы к ступенчатому ви-

ду.

1) Поменяем местами первую и третью строки:

113

.

2) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , прибавим к третьей строке первую, умноженную на :

.

3) Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

.

4) Вычеркнем нулевую строку:

.

5) Умножим вторую строку на :

.

Так как ранг матрицы системы равен 2 и ранг расширенной матрицы системы равен 2, то система совместна. И так как число неизвестных равно 3, то есть ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Запишем систему уравнений по виду последней матрицы:

Объявляем неизвестные основными, неизвестную свободной. Выразим основные неизвестные через свободную. Из

второго уравнения . Из первого уравнения . Переобозначим неизвестное через c. Тогда решением системы яв-

что сбалансированность торговли трѐх стран достигается при соотношении национальных доходов стран или .

Ответ: .

114

Задание 21. Найти соотношение национальных доходов трѐх стран для сбалансированной торговли, если задана структурная матрица торговли .

115

116

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

вается сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

ная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

,

где – матрица-столбец переменных, – матрица квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все еѐ ко-

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определѐнным.

Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду:

.

Решение.

Выполним следующие преобразования:

117

му каноническому виду:

.

Задание 22. Привести квадратичную форму к каноническому виду.

34. .

35. .

36. .

Знакоопределённость квадратичной формы

Нормальным видом квадратичной формы называют сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или –1.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определѐнной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется отрицательно определѐнной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n отрицательных квадратов.

Квадратичная форма положительно определена то-

гда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы положительны или все главные миноры матрицы положительны

(Критерий Сильвестра).

Квадратичная форма отрицательно определена то-

гда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы отрицательны или все главные миноры матрицы нечѐтного порядка отрицательны, а чѐтного порядка положительны (Критерий Силь-

вестра).

Пример. Исследовать квадратичную форму на знакоопределѐнность:

.

Решение.

Первый способ. (С помощью собственных значений.)

Запишем матрицу квадратичной формы:

.

Найдѐм собственные значения матрицы . Для этого составим характеристическое уравнение:

120