898
.pdf
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
101
32.
33.
34.
35.
36.
ТЕМА 3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА
|
Базис векторного пространства |
||
Справочный материал. |
|
||
Упорядоченная |
совокупность n действительных чисел |
||
|
называется n-мерным вектором. Обозначение: |
||
|
. Числа |
называются компонентами или |
|
координатами вектора . |
|
||
Два вектора и |
одинаковой размерности можно склады- |
||
вать, |
при этом получается вектор , каждая компонента которого |
||
равна |
сумме соответствующих |
компонент слагаемых векторов: |
|
|
. |
|
|
|
|
|
102 |
Вектор 
можно умножать на действительное число 
, при этом получается вектор 
, каждая компонента которого умножается на это число: 
.
Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения век-
тора на число, называется векторным пространством 
.
Если под векторами подразумевать объекты любой природы, то векторное пространство называется линейным пространством.
Вектор 
называется линейной комбинацией векторов 
векторного пространства 
, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные чис-
ла:
|
|
|
|
|
. |
|
|
Векторы |
векторного пространства |
называются |
|||||
линейно зависимы, если существуют такие числа |
, |
не |
|||||
равные одновременно нулю, что |
, |
где |
|||||
– нулевой вектор. |
|
|
|
|
|
|
|
Векторы |
векторного пространства |
называются |
|||||
линейно независимы, если равенство |
|
|
|||||
выполняется только при |
. |
|
|
|
|
||
Линейное пространство называется n-мерным, |
если в нѐм |
||||||
существуют n линейно независимых векторов, а любые из векторов являются линейно зависимыми.
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства 
называется базисом.
Пример. Выяснить, образуют ли базис трѐхмерного линейного пространства векторы 
, 
, 
.
Решение. Три вектора образуют базис трѐхмерного линейного пространства, если они линейно независимы. Воспользуемся формулой:
.
Получаем:
.
Используя правило сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:
103
.
Векторы равны, если равны их соответствующие координаты. В результате получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений:
Полученная однородная система будет иметь только нулевое решение (
), если определитель системы не равен нулю:
.
Таким образом, система имеет только нулевое решение, поэтому векторы 
линейно независимы, а значит образуют базис.
Ответ: да.
Задание 18. Выяснить, образуют ли базис трѐхмерного линей-
ного пространства векторы |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Переход к новому базису Справочный материал.
Нахождение координат вектора 
в новом базисе:
|
|
|
|
, где |
– координаты век- |
|
|
|
|
|
|||
тора |
в новом базисе, |
– координаты вектора |
в ста- |
|||
ром |
базисе, |
– матрица перехода |
от старого базиса к |
новому |
||
(столбцы матрицы |
образованы координатами новых базисных |
|||
векторов в старом базисе), |
|
– матрица, обратная матрице . |
||
|
||||
|
Каждый вектор |
линейного пространства можно предста- |
||
вить в виде линейной комбинации векторов базиса: |
||||
|
|
|
, |
|
где |
− произвольный базис n-мерного пространства , |
|||
|
− координаты вектора в этом базисе. |
|||
|
|
|
105 |
|
Пример. |
Найти координаты вектора |
|
в базисе |
||||||||
, |
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
Составим матрицу |
перехода: |
|
. |
|||||||
|
|||||||||||
Найдѐм обратную матрицу. Для этого вычислим определитель матрицы и алгебраические дополнения:
|
|
|
|
, |
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
, |
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
, |
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Составим обратную матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Найдѐм координаты вектора 
в новом базисе:
.
Таким образом, вектор 
в новом базисе можно представить следующим образом: 
.
Ответ: 
.
|
Задание 19. Найти координаты вектора в базисе |
. |
||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
, |
, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
, |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106 |
|
|
|
|
|
|||
5. |
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
16. |
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
||||||||||
, |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
20. |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
24. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
26. |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
27. |
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
28. |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
108 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
34. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
109
ЧАСТЬ III
ТЕМА 1. МАТРИЦЫ
Собственные значения и собственные векторы матрицы Справочный материал.
Число 
называется собственным значением матрицы 
порядка n, если существует такой ненулевой вектор 
, что выполняется равенство 
. При этом вектор 
называется соб-
ственным вектором матрицы 
.
Данное в определении уравнение можно переписать в виде
. Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть
. Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы 
.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы |
. |
Решение. Найдѐм собственные значения матрицы. Для этого найдѐм матрицу 
:
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее составим характеристическое уравнение: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
, корни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются собственными значениями |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдѐм собственный вектор, соответствующий собственному |
|||||||||||||||||||||||
значению |
|
|
|
|
|
|
|
. Для этого значение |
|
|
подставляем в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Откуда получаем |
или |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Одно из уравнений системы можно отбросить и
получаем 
. Система имеет бесконечное множество
110