898

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

131

34.

35.

36.

Фундаментальная система решений Справочный материал.

Система линейных уравнений называется однородной, если во всех еѐ уравнениях свободные элементы равны нулю:

Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение

Теорема. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг системы меньше числа еѐ неизвестных.

Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы уравнений яв-

Теорема. Если ранг r системы линейных однородных уравнений меньше числа неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n−r решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений системы уравнений поочерѐдно заменяют n−r свободных неизвестных эле-

132

ментами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n−r, например, единичной матрицы.

Пример. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений:

Решение.

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

Приведѐм расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Для этого выполним следующие преобразования.

1)Поменяем местами первую и третью строки:

2)Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (−3); прибавим к третьей строке первую, умноженную на (−4); прибавим

кчетвѐртой строке первую, умноженную на (−2); прибавим к пятой строке первую, умноженную на (−3):

3)Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (−1); прибавим к четвѐртой строке вторую, умноженную на (−1); прибавим к пятой строке вторую, умноженную на (−1):

133

4)Вычеркнем нулевые строки:

5)Умножим вторую строку на (−1):

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен 3 и ранг расширенной матрицы системы равен 3. Следовательно, система совместна. Так ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Объявляем 3 переменные основными, остальные две – свободными. В качестве основных переменных можно взять , так как определитель из коэффициентов при этих неизвестных отличен от

являем свободными. На основе ступенчатой матрицы запишем систему уравнений:

Для получения фундаментальной системы решений будем заменять свободные переменные элементами строк единичной матрицы второго порядка.

1) Пусть , тогда система принимает вид:

Задание 25. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений.

1.

2.

3.

4.

135

5.

6.

7.

8.

9.

10.

136

11.

12.

13.

14.

15.

16.

137

17.

18.

19.

20.

21.

22.

138

23.

24.

25.

26.

27.

28.

139

29.

30.

31.

32.

33.

34.

140