898

.

Выполним преобразования, не меняющие значение определителя. Прибавим к третьей строке первую, умноженную на (–1):

.

Прибавим к третьему столбцу первый:

.

Раскроем определитель разложением по третьей строке:

.

ни: , , .

Так как среди собственных значений матрицы есть положительные и отрицательные, то квадратичная форма не является знакоопределѐнной.

Второй способ. (С помощью критерия Сильвестра.) Вычис-

лим главные миноры матрицы :

Так как критерий Сильвестра не выполняется, то квадратичная форма не является знакоопределѐнной.

Ответ: квадратичная форма не является знакоопределѐнной.

Задание 23. Исследовать квадратичную форму L на знакоопределѐнность.

1. .

2. .

3. .

4. .

121

ТЕМА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Базисные решения Справочный материал.

Решение системы, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным решением.

Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу неизвестных: , то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных:

123

, то система имеет бесконечное множество решений.

Если система имеет бесконечное множество решений, то r переменных, определитель матрицы коэффициентов при которых отличен от нуля, объявляют основными переменными; остальные n−r переменных объявляют свободными. Свободным переменным можно придать любое числовое значение.

Пример. Найти все базисные решения системы:

Решение. Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Приведѐм расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Для этого выполним следующие преобразования.

1) Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 3:

.

2) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на 2; прибавим к третьей строке первую, умноженную на (−3); прибавим к четвѐртой строке первую, умноженную на (−5):

.

3) Прибавим к третьей строке вторую; прибавим к четвѐртой строке вторую, умноженную на 2:

.

4) Вычеркнем нулевые строки:

124

.

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен 2, ранг расширенной матрицы системы также равен 2: , то есть система совместна. Так как ранг меньше числа неизвестных: , то система имеет бесконечное множество решений. Две переменные объявляем основными, остальные две – свободными. Возможны следующие пары основ-

ных переменных: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

. Выясним могут ли эти пары переменных быть основными. Для этого вычислим определитель матрицы из коэффициентов при этих неизвестных. Если определитель отличен от нуля, то указанную пару можно взять в качестве основных переменных. На основе ступенчатой матрицы запишем систему уравнений:

1) Выясним могут ли переменные быть основными. Составляем определитель матрицы из коэффициентов при этих неиз-

то неизвестные могут быть основными. Остальные переменные объявляем свободными. Приравняем свободные переменные нулю: , получим следующую систему урав-

ставляем определитель матрицы из коэффициентов при этих неизвестных: . Так как определитель отличен от нуля,

то неизвестные могут быть основными. Остальные переменные объявляем свободными. Приравняем свободные переменные нулю: , получим следующую систему урав-

3) Выясним могут ли переменные быть основными. Составляем определитель матрицы из коэффициентов при этих неиз-

125

вестных: . Так как определитель отличен от

нуля, то неизвестные могут быть основными. Остальные переменные объявляем свободными. Приравняем свободные переменные нулю: , получим следующую систему

4) Выясним могут ли переменные быть основными. Составляем определитель матрицы из коэффициентов при этих неиз-

вестных: . Так как определитель отличен от ну-

ля, то неизвестные могут быть основными. Остальные переменные объявляем свободными. Приравняем свободные переменные нулю: , получим следующую систему

. Таким образом, получаем четвѐртое базисное решение:

.

5) Выясним могут ли переменные быть основными. Составляем определитель матрицы из коэффициентов при этих неиз-

нуля, то неизвестные могут быть основными. Остальные переменные объявляем свободными. Приравняем свободные переменные нулю: , получим следующую систему

.

6) Выясним могут ли переменные быть основными. Составляем определитель матрицы из коэффициентов при этих неиз-

вестных: . Так как определитель отличен от

нуля, то неизвестные могут быть основными. Остальные переменные объявляем свободными. Приравняем свободные

126

Задание 24. Найти все базисные решения системы уравнений.

1.

2.

3.

4.

5.

127

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

128

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

129

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

130