конспект лекции__1

Пустькодгарантийноисправляетвсеошибкикратностидо

t включительно.Вер ятность

появлениякод мбвойнеисправляемыхнацииош

ибокравна

n

P(> t, n) = ∑ P(i, n).

i=t +1

n

Изобще гочисла

∑Cni

возможныхошикратностибольшей,чем

t,кош

ибочному

i =t +1

результатупридекодированиисисправлением

иводятте,подвоздейкоторыхиствиемкаженные

комбинациипоп

адутвсмежныеклассы,соответствующиеисправляемымобразцам

ошибок.В

предп,чток лмбинацшибкамисожениикратности

t+1ивышеравномернораспределяютсяпо

смежнымклассамтаблицыдекодирования,общаялш схбочных

одовприисправленииошибок

кратности t+1 ивышесоставитвел

ичину

t

∑Cni

= 1.

i =0

2n−k

Итак,верошибочногоятностьприемакод мбинациивойприисправл

енииошибокравна

n

Pошu

= P(≥ t +1, n) = ∑ P(i, n).

i =t +1

Другойвозможныйрежим

– этообнаружениеошибок.Пустьд

аруживаетвсе

варианты S – кратныхошибоквсеошибкименьшейкратн

ости.Вэтомсл

учаеошибкавозможналишь

тогда,к

огдакодкомбинациявая,искаженнаяошибкойкратностибольшей

S,трансформируетсяв

разрешеннуюкодомбинациювую,т.е.повпадаетервуюстрокутаблицыдекодир

ования.Таккак

общеечислострвтаблицедекодированиярав

но2

n-k,тодоляисходов,привод

ящихкошибке,вэтом

случаеравна

1

.

2n−k

Другимисловаявление,этожеможнопояснитьследующимобр

азом.Приоценке

результатадекодирспомсиндрощьювания

омаошибкавозможналишьтомслучае,когда

одовой

комбинации,пораженнойоши

бкамикратностибольшей

S,соответстчистонулесиндромвойует

(трансфо рмациявразрешенкомби)Если. прпораженииуюациюкод мбвойн

ацииошибками

кратностибольшей

S синпринимаетдромчистонулевоезначетрансф( ие

ормвзапрещеннуюция

комбинацию),тоошибкиобнар

уживаются.

Приуслоравномераспиикодределениягоомбинацийвых,пор

аженныхошибками

кратностибольшей

S,повозможнымзначениямсиндроимееобщеечисловозможныха исходов

равным2

n-k,причисхле

одов,пр

иводящихкошибке

– равнымИтак1,.долянеобнаруживаемых

88

искаженийкодомбиворавнации

1

.Данныйрезультатуточнязначдолиениет

2n−k

необнаружиошибочныхтрансформаций,выаемыхведенной

зделе5.1

.2наслучай. групповых

кодов:

N −1

=

2k −1

2k

=

1

.

N n

2n

2n

2n−k

Вероятношибприемавэтомслучаечноготьвна

1

1

n

Pош0 =

P(≥ S +1, n) =

∑ P(i, n) .

2

n−k

n−k

2

i =S +1=d min

Возмотакойредекодиржимен,прикотчастьованияромшибок

справляется,часть

обнар.Пкодуживаетсястьмеет

инимальнкодоврасстояниеое

dmin.Втомслучае,когдаэт тд

используетсядляисправленияошибоккратности

t1 игарантийного бнаруженияошибкратностидо

S=d-t'-1 включительно,вер шибочногоятностьприемакд мбвой

инацдискретномв пр

иемнике

равна

t '

. Pошu ,o

∑Cni

n

=

i=0

∑ P(i, n)

2

n−k

i=d −t '

Полученныевышеформулыможноиспдрасчетовляьз,к известнагдавать

вероятность P(i,n) .

Приведемсводкурасчетныхформдляслдвоучаялсичногомметри

чногоканалаи

каналасгруппированиемошибокмодель(

P,α )

Режим

Вероятность

Двосиммечный

тричный

Модель

декодирования

ошибки

канал

P,α

Исправление

n

n

(

n

1−α

i

i

n−i

%

ошибок

∑ P(i, n)

∑Cn

p

(1− p)

P&

#

i =t +1

i=t +1

t +1

Обнаружение

1

n

1

n

i

i

n−i

P

( n %

1−α

∑ P(i, n)

∑Cn

p (1 − p)

&

#

ошибок

2

n−k

2

n−k

2

n−k

i =d

i=d

d

Частичное

исправление

t '

t

'

обнаружение

∑ Cni

n

i

n

t

i

1−α

i=0

∑ P(i, n)

∑Cn

∑Cn

n

i=0

∑Cn

i

p

i

(i − p)

n−i

P

i=0

(

%

2

n−k

ошибок

i=d −t '

2

n−k

2

n−k

&

'

#

i=d −t

d − t

Вэтойаблице

d=dmin.

5.3.5Смежно-групповыекоды

Вышемырассматривалигрупповыекоды,

оторыхзаданаоперацияпора

зрядногосложения

помодулюВряде2случаев. дляприданиякодомбинацвымдополнительныхпр ямзнаков

используютпоразрядсложемодулюинвертировас2оеи некоторыхэлеме.По иемтов

отношениюкгрупкодуполученныйвому

кодможетбыотождествленьсосме

жнымклассом

разложениягруппыподгруппе,являющейсякодом,образу

ющим ввидекомбинациисединицами

наместахинвертиру

емыхэлементовинулямивовсехостальныхразрядах.

Всилуэтогорассматриваемыекодыполучилин

азваниесме

жно-групповых.

Следуетиметьввиду,чтосмежно

-групповойкодсуществуеттолькоди

скретка.налеом

Процекодидурырованияекодирприисп ванияльзов

аниисмежно

-групповыхкодов

осуществляютсяканалогичныекоперациидлягруппокодов.Ин ыхе

ртированиеразрядовкодовой

комбинации,т.ез

амекомбинациейсмежногокласса,выполняетсявыхкодера,и

братная

операциянавходедекодера.

Всвязиэтважнооценитьмп влияетперехоткододмбинацийвыхккомбинациям

смежногоклассав

дискретномканалепомехо. устойчивостьда

Теориягрупкодовполностьювыхопределяетсвойствасмежно

-групповыхкодов.Легко

показать,чторректирующиесвойствасмежно

-групповыхк

одовнеотличаютсякорректирующих

свойствгрупповыхк

одов,изкоторы

хониполучены.Рассмотримкодорасвоеметояние

жно-

групповомкоде.

Vi c и V jc -

двепроизвольныекомбинациисмежно

-групповогокодасобразу

ющим с.

Тогдакаждаяизэтихкомбинацийможетбытьпре

дставлчеркомбиеназ

нациюисхо

дногогруппового

кода:

Vic = Vi

+ c,

V jc = V j + c .

Ихсумма

V c +V c = V + c +V

j

+ c = V +V

j

i

j

i

i

равнакомбинацииисходногогрупповогокода.Следовательно,ра

сстояниемеждудвумялюбыми

комбинациямисмежно

-групповогок дапределяетсявесомоднихкокйомбвых

инацийисходного

групповогокода.

Теорема5

.2Кодовые. расстоясм жноия

-групповогокодасо

впадаютскодовыми

расстояниямиисходнгрупповогокода.

Этоозначает,чтоп мехоустойчивостьсмежно

-групповых

кодовэквивалентапомех

оустойчивостиисходныхгрупповыхкодов.

5.3.6Задачи

1Показать. ,чтоусловиесуществсовершенныхк задаетсяваниядовгран

ицейХэмминга.

2Какие. изперечисленныхкодов,удовлетусловоеиюряютше

нных

а)(23,12) -код,

dmin=7,

б)(17,9) -код, dmin=7,

в)(63 ,57)-код, dmin=3,

г)(63,51) -код, dmin=5,

д)(7,4) -код, dmin=3.

3Че.равномуинимкодовоерасстояниельноедля(7, 4)

– кодаспр

оверочнойматрицей

&0

0

0

1

1

1

1#

H

(7,4) =

1

1

0

0

1

!

0

1! .

1

0

1

0

1

0

1!

%

4Провер. ,принадлежаткомбинациить

0 1 1 0 0 1 0

и

1 0 к0одномус1 1 0 1

межномукласс(7, 4)

– кода.

5Оцен. выигрышподостоверностить,обеспечиваемой(7, 4)

– кодом,с

dmin=3посравнению

5.4 ПРИМЕРЫ ГРУППОВЫХ КОДОВ

5.4Ко.1сединст. ыпровначетностьркойнй

Простейшийпомехкдляобнаружеустойчивыйошибокможполуч,еслнияить

ввестиоднупроверкуначетностьповсемэлементамбез

избытсообщениячного,т..кпередаваемому

k – разрядномусообщению

обавитьещеодинразряд,являющийсярезультатомсуммированиявсех

элементовсообщенияпомодулю2:

k

ak +1 = ∑ai .

i=1

Полученныйтакимобразомкодявляетсягрупповымиможетбытьоб

означен(

n, n-1) –

код.Проверочнаяматрица(

n,

n-1) –кодас

остизоитдной

строки

n

столбцов.Вкачествевсех

столбцовпроверочнойматрицызап

исываются1,.к.проверкойхватываютсявсеэлементысообщения:

H (n, n−1)

= [1

1 1

... 1 1].

Таккаквстолбцыепроверочматродин,томцыаковыой

инимальнкодовое

расстояниев(

n, n-1) –кодеравно2,т.. (

n, n-1) –кодгарантийно

бнаруживаетвсеодношибкикратные.

Вкаждкодоймбинациивой(

n,

n-1)

–кодаимеетсячетноечислоединиц.Таким

образом,коддополнительножетбнаружвсеошиб,пр кизменениюводящиетьчетности

единиц,т.е.ошибкилюбойнечетнойкратности.

Итак, (

n, n-1) –кодыбнаруживвсеошибкинечетныхкрают

тностей

Ошибкижечетнойкраткодомнобнаруживаютсяеости.Долянеобнаруж

иваемыхкодомошибок

составляет

1

=

1

,т.к.необнаруживаетсяровн

оп

оловинавозможныхошибочныхтрансфо

рмаций.

2n−k

2

Пример5

.12.Однимизпервыхпомехко,ндовустойчивых

ашедшихприменениена

практике,являетсяшестиэлементнкод,получаемиз ый

ятиэлементнпростогкодадобавлениемго

одногоизбыточногоэлементатак,чтоб

ычислоеднулейницвкаждкодоймбинациивойбыло

четным.

Этявляетсякодгрупповым(6, 5)

– код.Порождмматрицапющаяоверокица

этогокодаимеютвид:

&1

1

0

0

0

0#

1

0

1

0

0

0!

G

0

0

1

0

0

!

H

1 1

1

1 1 1

(6,5) =

!

1

!

(6,5) = [

]

0

0

0

1

1

0!

1

0

0

0

0

1!

%

Повидуматрицы

Н(6,5) можносделатьвывданный,чтокодим

еет dmin=2,т.е.гарантийно

обнаруживаетвсеодино

чныеошибки.

кодаспорождающиммногочленом

g(x) = x

,будетп

оказанониже.

+ 1

Вероятностьнеобнаружени

яошибок(

n, n-1) –кодавканалесгрупп

ированиемвна

P =

P

(

n

%1−α

=

P

(

n

%1−α .

&

#

no

2n−k

&

#

d

2 2

Вероятностьпоявленияошибок

n – элементнойкомбинациипростого

одаравна:

Pn

= n1−α P.

Подсчитаемвыигрышподостоверности,обеспечиваемый(

n, n-1) –кодами:

P

n1−α P

= 2 21−α

= 22−α .

η =

n

=

Pno

P n 1−α

(

%

2 ) d &

Учитываяпределыизмененияпоказателягруппирования

α ,находим,что(

n, n-1) – коды

обеспечиваютповышениедостоверн

остипосравнениюпроскодатжеойыдлмив ны