конспект лекции__1

Записываетсяпорождающиймногочлен

g(x).Всоответствииопределениемкомб2

инация,

соответствующаяпорождающмногочл, мун

принадцикличежит

ескому(

n, k) – коду.Всоответствии

сопределенцикличе1 сдвкомбинацииемги,соответствукие

ющей g(x),такжедолжныпринадлежать

этомужекоду.Алгебраичсдвигсоотвумнескитствуетожениюдомбинациивой

х.Таккак

степень g(x) равна n-k,топодобнымобразоммыможемпол

учитькодомбинациивые

g(x),

x g(x),

x 2 g(x),

......

x k −1 g(x).

Легкопроверить,чтоэтикод мбинациивыели езависимыйно,хотябыпотому,что

степвсэтихмногочленовниразличны,поэтомуда

нныйнабормногожетчленов

бытьиспользован

вкачестве G( n,k ) :

&

g(x)

#

x g(x)

!

!

G(n,k ) = x 2 g(x) ! .

...

!

!

k −1

!

%x

g(x)

Пример6

.5.Построматрп дляоверокициклическоготьцу(7,4)

–

кодаизпредыдущего

примера.

Дляпостроемат найдемовеицыияпроверочныйк

многочлен

h(x) =

x7

+ 1

= (1

+ x)(1 + x

2

+ x

3

) = 1

+ x + x

2

+ x

4

.

1 + x + x3

Отсюда

h(x) =1+ x + x 2 + x 4 ↔1 1 1 0 1 0 0

x h(x) = x + x 2 + x3 + x5 ↔ 0 1 1 1 0 1 0

x2 h(x) = x2 + x3 + x4 + x6 ↔ 0 0 1 1 1 0 1

Всилутого,чтослоравенстванулюиепроизведениямногочскалярногопроизведенияенов

соответсимвекнесовптвующихров

адают,длявыполненияравенства

G H T = 0 припостроении

матрицы H ( n,k ) компонентывект,соответствующихров

h(x),

xh(x)

и x2h(x) записываемобратном

порядке

&0

0

1

0

1

1

1#

H (7,4)

1

0

1

1

1

!

= 0

0! .

1

0

1

1

1

0

0!

%

Вполученнойматроверокицекачестве

столбцовзаписавсене7нулевых

последовательдлины3Сле. , овательноанныйкодявлостей

яетсякодомХэ. минга

Вого,бщециклическосновеворякодыХэммстрнаингаятсяпор

ождающихмногочленов

степени m,являющихсясомножитдвучленовлями

x2m −1 +1 инеявляющсомникакихожителямихся

двучленовменьшейст

епени.

Корниэтихмногочленимеютпоряд2 овк

m-1,т.еониявляются

примитивэлемеполянтаыми

GF(2m). Этоозначает,чтоп рождающиймногочленкодаХэмминга

порполеждает

GF(2m).

тоестьмногочлен

ri (x) + ai (x) x n−k

делитсяна

g(x).Итак,

ri (x) + ai (x) x n−k иестьискодоваямая

комбинацияциклического(

n, k) – кода.Отсюдапол

учаемправилопостроенияпорождающейматрицы

циклического(

n, k) – кодавканоническойформе:

G( n,k ) = [Rk×( n−k ) I k ],

где Ik – единичнаяматрицаразмерности

k × k ,соответствующаяинформац

ионнымэлекодовыхентам

комбинаций,

Rk×( n−k ) ;

Rk×( n−k ) - матрицаразмерности

k × (n − k), j-я -

стр,косткаоотверстаткуйствует

деления x j +n−k −1 на g(x).

Матрицапроверок

H ( n,k ) стрнаоснованииитсяматрицы

G( n,k ) попр авилу

H(n,k ) = [In−k ,

RkT×(n−k ) ].

Теорема6

.1Длялюбых. значений

l и t существуцикличкоддлиныетский

n = 2l −1,

исправляющийвсеошибкикратности

t именееисодерж

ащийнеболее

l t проверочныхсимволов.

Формулировкаэтойеорезаииз[1]ствованаыСле.

дуетточн,чтопрпроизвольномть

l параметр t

неможетбытьлюбым.Егомаксимальноезнач

ениенедолжнопревышатьчисла

(n-1)/2,т.е. t≤2 r-l-

1.

Пример6

.7. Найтициклическиекодыдлины

n=31,исправляющиеошибкикратности

t=1, 2, 3.

Определяем l.Таккак31=2

5-1,то l=5.

Находимколичествопроверочзаданныхэлемедлязначенийтов

t:

t = 1, n − k = 5 1 = 5;

t = 2,

n − k = 5 2 = 10;

t = 3,

n − k = 5 3 = 15.

Такимо

бразом,иско(31,дмые26),

(31,и(31,21)16).

Следуетзаметить,ч еорема6

.определяет1 лишьсущеск вование

одовсизвестны

ми

корректирующсвойствам.Построениежекодов,де ми

йствительнообладающихэтимисв ,йствами

зависитотправыбораильногопорождающмн. гочлегона

Теорема6

.2Е.средиликорнейпорождающегомногочленациклического(

n, k) – кодаимеются

корнивида

β m0 , β m0 +1 , ..., β m0 +d −2 , томинимальноерассто

яниеэткравнодаго,поменьшеймере,

d.

Циколические,удоы

влетворяющиеэтеоремамимполучилиназваниек

одовБоуза

-

Чоудхури-Хокв,иликодовБЧХнгепофамилиямихвторов.

КодыБЧХ

- обширныйкл

асскодов,предназначвпервуюочердлядьнный

исправления

многократныхошибок.КодыБЧХвключаютсвокодыйставХэммиобобщаютинахнгаслучай

t>1.

КодыБЧХсуществуютнадполем

GF(q),где q≥2 .Приэтом

Теорема 6.1сформулированная.,

дляслучая

q=2,можетбытьобобщенадля

q>2.Однако,этообобщенастоящеговыходзарамки

учебнпос.Теорбияго

ема 6.2справедлива. для

q≥2 ибудетиспользованаприизучениинедво

чных

циклическихкодов.

ИзучениекодовБЧХявляетсяосновойдляпониманиядругихкла

ссовци

клическихкодов.

6.5Выборпорож. многдлякающегоБЧХчленада

а)Порождающиймногочлендля(

n, n-1) – кодов.

Впримере6

.3

былопоказано,чтоодинизвозможныхкодовдлиныесть7 (7,6)

– кодс

g(x) = 1 + x .Покажем,чтоэт тбрад

зуетсянаосновепроверкиначетностьвсехинформационных

элементвойкодомбин

ации.Дляэтогоопределимпроверочныймногочлен

h(x) ипостроим

проверочнуюма

трицу(7,6)

– кода.Находим

h(x) = (x7 +1) (x +1) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 и

H (7,6) = [1

1 1 1 1

1

1],

т.е.действительн

о (7,6)

-кодс

g(x) = 1 + x являетсякодомоднойпровначетнпорквсемостьй

элементамкодомбинациивой.Распространимрезул

ьтатрассмотрпримнаобщийслучайенногора.

Вобщемслучае(

n, n-1) – кодаприлюбомзначении

n проверочныймногочл

еннаходитсякак

h(x) = (xn +1)

(x +1) .Таккакдвучлены

(x n +1) и (x +1) имеютобщийкорень

x=1,тосправедливо

xn +1 = (x +1)(xn−1 + xn−2 + xn−3 +... + x2 + x +1) ,

т.е.многочлен

(x +1) порождает(

n, n-1) – коддлины

n спроверкой

наче тностьповсемэлементам.

б)Порождающиймногочлендляобщегослучаяциклическогокода

Теорема6

.позволя2 осущвыборпорожествитьмногочлдляающБЧХкодаипоегогона

корнямопределитькорректирующиесвойстваэтого

ода.

Пример6

.8.Порождающий многочленкода(7,

4)изпримера6

.6 имеетсвоимикорнями

β, β 2 и

β 4 .Определимкорректирующиесвойстваэтого

ода.

Находиммаксч посмаслоьнстепенедкорнейватпороельных

ждающегомногочлена.Эт

элементы β и β 2 .Здесь

m

0

=1,а

m + d − 2 = 2 ,откуда d = 4- m

0

= 3.

0

Использованиетеоремы6

.для2выборапорождающихмногочциклическихкодов,енов

такжедляопределениякорр

ектирующихсвойствци

клическихкодовпредпзнаниекорнейлагает

мног,котмчленовбытьргутвыбраныкачествепорождающихмногочленовкод.П скольку

порождающиймногочленциклического(

n, k) – кодадолженбытьделителем

x n +1,тод

лянахождения

всехвозможныхкодовдлины

n,выборапоро

ждающмногочленовустановлениях их

корректирующихсвойствнеобх

одимознаниес множителей

x n +1 иихкорней.

Таблицыразложения

x n +1 суказаниемкорнейнеприводи

мыхсомножителввидест пеней

β

ицикл ическиекоды,построенныенаихосно,приведены[2, 3].

ТаблицакодовБЧХс

n=7÷1023приведенаПриложениикнастоящемуп

особию.

Пример6

.9.Найтипорожмногдляающиекодовдличлены

n =изпримера31 6

.7.Из

приложения1

[2] находимнеприводимыесомножит ли

x31 +1 ипоследихко:рнейвательности

Сомножитель

его

последовательность

степень

степеней корней

1 + x = f0 (x)

1

0=31

45 ↔1 + x2 + x5 = f1 (x)

5

1 2 4 8 16

75 ↔1 + x2 + x3 + x4 + x5 =

5

3 6 12 24 17

67 ↔ 1 + x + x 2 + x 4 + x5 = f3

5

5 10 20 9 18

57 ↔1+ x + x2 + x3 + x5 = f4

5

7 14 28 25 19

73 ↔ 1 + x + x3 + x4 + x5 = f5

5

11 22 13 26 21

51 ↔ 1 + x3 + x5 = f6 (x)

5

15 30 29 27 23

Длякодас(31,26)

t

=вкачестве1порождающмногочлможновзятьегона

f1 (x), f3 (x), f5 (x), f6 (x), таккакорникаждизнихсодержатгоподвепоследовательныестепени,

значит,потеореме5эти.коды2 меют

dmin = 3.

Длякода(31,21)порождающиймно

гочлендолжениметьстепень10Онможет.бытьполучен,

какпроизведедвухнеприводимыхогочленовиепястойепени

Всоот ветствиитеоремойнеобх,чтобып диморождающиймн г

очленимелсредисвоих

корнейпоследовательных4 степени.Э омуребов

аниюудовл

етворяют,например,многочлены

f1 (x) f 2 (x)

и

f 4 (x)

f6 (x).Длякода(31,16)вкачествепорождающмногочлцелесообразногона

выбратьмногочлены

f1 (x) f2 (x)

f3 (x) и f4 (x) f5 (x) f6 (x) ,укоторыхсредикорнимеютсяй

элементы β, β 2 , β 3 , β 4 , β 5 , β 6 и

β 25 , β 26 , β 27 , β 28 , β 29 , β 30

соответственно,чтообеспечивает

требуемыекорректирующиесвойствакода.