конспект лекции__1

а)Минимальноекодовоерасстояниедлякода,гарантийно

обнаруживающего S-кратныеошибки

б)Минимальноекодовоерасстояниедлякода,гарантийно

исправляющего t-кратныеошибки

в)Минимальноекодовоерасстояниедлякода,гарантийно

обнаруживающегоошибкикратностидо

S'и

исправляющего V кратныеошибки

Рис5

.3

5.1.3 Классификацияпомехоусто

йчивыхкодов

Ужеотмечалось,чтоп мехк подразделеныдыустойчивые

надвао

бширныхкласса

–

блоковыеинепреркод.Блоковыеыкодсвоюноч

ередьделятсянанеразделимые

коды.Очастоеньвразд

елимыхкодахизбыточныеинформационныеэлементысвязываютсямежду

собойсистемамилинейныхпроверочныхсоотно

шений.Такиеразделкодыпрназыватьимнятое

систематическимикодами.Всилутого,что

збыточныеэлементывсистематическихкодахявляются

результатомпроверкиначе

тностьпределенныхинформационныхэлемен,частоизбыточныев

элементыкодомбинвой

ацииназывают

проверочными.

Нарис. 5

.прив4 сх,иллюстрирующаяеденамарассмотреннуюкласс

ификацию

помехоустойчивыхкодов.

Блоковые

Непрерывные

Разделимые

Неразделимые

Систематические

Несистематические

5.1.4 Граничныесоотношениямеждухарактеристикамипомехоусто

йчивыхкодов

Однойизважнейших

задачпостропомекхнияосздаустойчивого

аданными

характериявляетсяустантикамиоовлениеметношения

ждуегоспособностьюобнаруживатьили

исправлятьошибкиизбыточн

остью,.е.связьмежду

n – k и dmin.Сущесрядоценокэтсвязивуетой.

Рассмотримн

аиболеепопуля.Есликодпреныедиспрляназнавлениячен

t – кратныхош

ибок,тов

k

t

каждойиз2

защитныхзонегоразрешенныхко

мбинацийдолжнонаходитьсяпо

∑ Cni различных

i =0

комб,аобщаяисумманх,естественноций,недолжнапр

евышатьч

исла2 n,т.е.

t

t

t

2 n ≥ 2 k ∑ Cni ,или

2n−k ≥ ∑Cni ,т.е.

n − k ≥ log2 ∑ Cni .

i =0

i =0

i =0

Этосоотношениепринятоназывать

границейХэ

мминга.

Другоеграничсоотявлянослшениеследующихтсятвиемра

ссуждений.Евсферули

радиусом2

t,пров еденнуювоклюбойругазр

ешеннойкомби,непопникадругаяцииеткая

разрешеннаякомбинация,токодспособправвсошибкиекратнть

остидо

t включительно.Число

разрешенкомбитакныхаций

огокодабудетопределятьсясоотношением

2 k ≥

2 n

,откуда

2t

∑ Cni

i =0

2t

2t

2 n−k ≤ ∑ Cni

или n − k ≤ log 2 ∑Cni .

i =0

i =0

Даннаяоценкап

олучиланазывание

границыВаршамова

– Гилберта.

ГраницаХэммингауказывает,прикакомминимальномзнач

ении n – k можетсуществовать

помехк,гарантийнодустойчивый

справляющий t – кратныеошибки,границаВаршамова

–

Гилбертапоказывает,при

акомзначении

n – k определенносущесткодтакимивоуетйс

твами.

Определиммаксимальвозсоомеждуошениетн

dmin и n-k.Вкаждойкодовой

комбинациипомех даустойчивого

k разрядовиспольз

уютсядлпередачиинформацисточникаи

сообщений.Очеви,чток дно

овыепоследовательности,располнаэтих,зрядахгаемыедолжны

отличатьсядруготдругахотябыноднуединицукодовогорасст. яния

Можнопредп,чтсуществуютоложтакить

способыкодирования,кот пускаютрые

n-k

отличийкод мбинацийвыхостальных

n-k разрядах.

Суммируя сказанн,прихслеодграничномуеимующемусоотнош

ению: dmin≤1+n-k

Этаграницабылавпервыеобоснована

Синглтоном иноситегоимя.Коды,длякоторых

справедливо

dmin=n-k+1получилиназваниекодовсма

ксимальнодостижимымрасстоянием

(МДР -коды).

5.1.5.Задачи

1Определить. долюнеобнаруживаемыхтрансфкод рмацийвых

мбинацийприпередаче

информациипоканалуспомехобнамиружива

ющимошибкикодо

м,имеющимдлинукодовой

комбинации n =ич256избсло

ыточныхэлементов16.

2Определить. возможностик

одаГолея,имеющего

n=23, k = 12, dmin =поисправлению7 ,

обн,атакрусовместномужеобнаружению

справлениюошибок.

3Для.передачиинформации

сисправлениемодношибкратныхпри,состоящийденениз

двухкомбин

аций: 001Определ0.составзащить

тныхзонэтихкомбинаций.

4Выбран. код,состоящийизследующихчетырехкомб

инаций

11010,

01101,

10111,

00001.

Каизкодуюкомбинацийвыхсл

едуетзаменачистонитьулевуюкомбин

ацию(00000),чтобы

кодимел

dmin =3?

5.2Г. РУППОВЫЕ КОДЫ И СПОСОБЫ ИХ ОПИСАНИЯ

5.2.1 Основныеалгебраичессистемы,используемыев кодирие

ования

Соврипеменныерспективныепомехострдыустойчивыенаятся

сновенекоторой

матемамодели,чптичезволяетдосткой

аточнопросторешатьвопропределенияихсывойств

реализуем.Припосткодовроенииспоалгебраическиеьзуюсис:группатемыся

,

векторное

пространство, кольцоиполе.

а)Гру

ппа

Пустьимеется

ножество G элементовпроизвприроды,к льнойт

орыеобозначим

a, b, c…,и

пуснадэтэлеимиьожноентамипроизводитьоперациюсложеилиумнтакиможенияобразом,

чтодвумлюбымэлеме

нтаммножества

G поопределеннымправиламставитсяоднозначное

соответствиенекоэлемтожмрыйгоеножества

G.Вобщемвидевв опденную

ерациюбудем

обозначатьзнаком

.Дляоперациисложенумножбудемияспнияобщепринятыельзоватьнаки

(“+”и

×”соответстве

нно).

Множество G называютгруппой,есдлявведеннойиоп

ерациионоудовслетворяетдующим

требованиям:

G1Множество. замкнуто:если

a и b принадлежат G, тои

c,получе нноенаосновевведенной

операции c = a b такжепринадлеэтомужемноэлемжитеству

ентов G.Присложении

c = a + b ,при

умножении c = a×b .

G2Вып. сочетательныйлняеассоциати( ся

вный)закон:

a (b c) = (a b) c .

Присложении

a + (b + c) = (a + b) + c,

Приу

множении a×(b×c) = (a×b)×c .

G3Наличие. ед

иничногоэлемента

e:средиэлементовмножества

G имеетсятакойэлемент

e,

длякотоспрогоаведливо

a e = e a = a ,где

a - произвольныйэл

емент G.

Вслучаеоперацсложениянадч равенствослами

a + e = e + a = a возможнолишьвтом

случае,когда

e =Еслиже0над.числамипроизводитсяоперацияумн, равежнияство

a ×e = e×a = a возможнолишьтомсл

учае,когда

e = 1.

G4Наличие. обратныхэлементов:дляпроизвольногоэлемента

а множества G существует

этоммножестветакойэле

мент

a

,длякотоспрого

аведливо

a a = a a = e .

Есэлеимножестваентами

G являютсячисла,топрислож

ении

a

= −a ,апри

умножении a = a−1 .

62

Примерыгрупп:

1Множе. целыхчиположитеселтво

льных,отринуляцательных

вляетсягруппой

операциисл

ожения.

2Числа. 0образуют1 групооперациипусложение“ пом

одулю2”.

1)Замкн.Обутабтостьсловленаицей

ожения

+

0

1

0

0

1

1

1

0

2)Сочетательность.Легкопроверить,чтосложениепо

модулюпо2

дчиняетсясочетательному

закону,

апример

1+ (1+1) = 1

,

+ 0 = 1

(1+1) +1 = 0 +1 = 1.

3)Единичныйэлем.Здявляется0 сьнт

единичнымэлементом

4)Обратныеэлементы.Каждоечисяв яется

обратнымксам

омусебе,

т.к. 0 + 0 = 0

и

1+1 = 0 .

Пример5

.1.Про,явлеримножествояесярехразрядныхькомб

инаций000,001,011 010

группойоперациипоразрядногосложениямодулю2.

1)Замкну.Состаблсавостьожицум

ения:

+

000

001

010

011

00

000

001

010

011

0

00

001

000

011

010

1

01

010

011

000

001

0

01

011

010

001

000

1

Мывидим,чтосулюбпарымакомбинацийтакжеявляетсякомб

инациейизданного

множества,..требовазамкудовленутосиетвори

яется.

63

2)Сочетательность.Этотр

ебованиетакжеудовлетворяется,.к.осн

овеоп

ерации – сложение

помодулю2.

3)Единичныйэлемент.Комбинация000являетсяединичнымэлеме

нтомвданмножествем

(см.табл

ицусложения).

4)Обратныеэлементы.Обратнойкомбинациейдлюбойякомбинацииявля

етсяэтаже

комбинациясм(.табсложицу

ения).

Итак,множествокомбинаций000,011является001,группойоперации010

оразрядного

сложенияпомодулю2.

Группаназыабелевойтсячестьизвестногонорвежскогоматемат

икаН.Х.Абеля(1802

-

1829),если

множество

G повведеннойоперацииобл

адаетещеиследующимисвойствами:

a b = b a ,т.е.выполняетсяпереме

стительныйкоммутативный( )закон.Группы,рассмотренные

предыдущихпримера,являютсяабел

евыми.

Важпонятиемвтеорииымгруппявляет

сяпонятиеподгру

ппы.

Еслимножествоэлементов

G составляет группуинек

отораячастьэтогомн (жества

Н)также

обладаетвсемигрупповымисво

йствами,тоэту

частьэлементгрупназыпоывдгруппой.Словоают

“подгруппа”озн

ачаетгруппа“

внутригруппы”Длятого. ,чт

обыустановить,является

Н подгруппой

G необхпроверитьзамкнутосдимоналичиеобраэлтныхь

ементов.Еслимножество

Н замкнуто

относительнозаданной

вгруоперацийсодеобратныежит

элементы,то

этомножествосодержит

иединичныйэлемент

группы,асоч

етательныйзаконвыпол,таккаксправедливняетдляяех

элементовгру

ппы.

Основныесвойствагруппы:

1Группа. содержитединствединичэл,дляменткаждогоныйэлементагруппы

имеетединстя

венныйобратныйэл

емент.

2Группа. разлнсмежныегаетклассыподгруппе.яСмыслэтогоразложения

заключаетсявследующем.

Обозначимэлементгруппы

G через g1 ,

g2 ,…,

аэлементпо

дгруппы Н – через h1,

h2 ,…

Рассмотримтаблицу,образованнуюследующим

азом.

Запишемвсеэлементыподгруппы

Н,начинаясединичн

огоэлемента,впервуюстроку,причем

каждыйэлементподгруппы

явитэтойстрятолькокединраз.Далеевыбираем

юбойэлемент

G ,

непринадлежащий Н,изаписываемегонапермесвото

оройстр,авсеостальныекеэлементы

второйстрокинаходятсяприменезаданнойвгруоперациииемнад

рвымэлементомвторой

стриокиответствующимиэлеме

нтамиподгруппы

H,записанными

впервойстроке.Аналогично

образуютсятретья,че

твертаяи.д.стр,дтехпор,кипокавсеэлементы

G невойдуттаблицу.В

качествепервогоэлементакаждвсякийстроразкивыбираетсяпроизвольныйэл

емент G ,не

вошедшийпредшествующиестроки.Этотэлементназывобрсмежногоаютзующимкласса.

64

Врезультатеполучатабл м

ицуследующеговида:

h1 = e,

h2 ,

h3 ,

…,

hk

g1

, g1 h2 , g1 h3 , …, g1 hk

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

g m

, g m h2 , g m h3 , …, g m hk

Строкиполученнойподобнымобразомтаблицыназыв

аютсясмежнымиклассами.

Основныесвойстваразложениягруппына

межныеклассыпо

дгруппефо

рмулируются

следующимобразом:

3Втаблице. разложениягруппы

G насмежныеклассыпо

дгруппеНпер всечисляются

элементыгруппы

G ,причемкаждыйэлементпоявляетсятаблицетол

ько одинраз.

4Состав. смежногокласпостояненизависитотвыбораобразу

ющегоэлемента

.

5Число. элементовНявляетсяделитчислаэлелемме

нтов

G .

6Два.элемента

gi и gj

группы G принадлежитоднотосмуу

жномуклассу

подгруппе

H тогдаитолькотогда,когда

gi gj

принадлежат H.

7Операция. ,введеннаянадэлементамигруппы,можетб введенатьнадсмежными

классами.Обозначим{

gi}смежныйкласс,содержащийэл

ементгруппы

{gi} .Тогда{

gi} {gj}={gi gj},

т.е.врезультопернадсмежнымициитеклассами,содержащимиэлементы

gi и gj

, получаетсяновый

смежныйкласс,

одержащий gi gj

.Вслучаеабелевойгрупнадерацияпысмежным

иклассами

приводиткгруппе

,э лемента,которойявлясмеится

жныеклассы.

Пример 5.2.

Пусть G - групооперациипасложент..адд( группаи),тивнаяс

остоящаяизвсех

положительотрицательныхцелыхч сел,упустья

H – подгруппа,состоящаяизв

сехчисел,

кратныхцеломучислу

n.Всечислаотнулядо

n-1принадлразличнымсмежкл,т.к.дляссамт

того,чтобы

a

и b

принадлодномусмеклассужнеалио,чтобымубходимочисло

(-a)+b

принапод,т.е.лежгруппебылократноло

n,чтоневозможно.Зна

чит,числаотдо0

n-1могутбыть

выбраныкачествеобразующихсме

жныхклассовидругихчисел,бытьнеможет.Легкопроверить,что

группа G -

абелева,поэтомуможноввестиоперациюсложсмклассовжныхниясме

жныеклассы

образуютгруппу.Положим

n=2Т.

огдасмежныеклассыимеютвид:

0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,…

1,

3, -1, 5,

-3, 7,

-5,…

Еслиобозначсмежныекласи{0}ть{1}оответствен,тотабложеицасмжныхияо

классовполучитвид:

66

+

{0}

{1}

{

{0}

{1}

0}

{

{1}

{0}

1}

Вэтойаблицелегк

оузнтаетсябложенияицачиселпомодулю2.

б)Векторноепр

остранство.

Множествоэлементовпроизвольнойприроды

V,назыдалеевектоаемых,образуетми

векторноепростран,еслионоудовслтвоетворяет

едующимтр

ебованиям.

1Множество. векторовобразует

абелевугруппу

поопер

ациисложениявекторов.

2Определено. правилоумножениявектора

v V наскаляр

с,где с врассмнамитриваемом

случаепризначениеимаетили0 прои1,

зведение cv

являевектогожесяоромвек

торного

пространства V.

3Выполня. распрзеделительныйтся

акон:

- если с и d ск,аляры

v - вектор(

v V),то (c + d ) v = cv + dv ,

- если v и u – векторы(

v, u V),а

с – скаляр,то

c(v + u) = cv + cu .

4Оп. ерацияумнскаляроженияподчиняесочетаз тсяельному

акону:если

с, d – ск,аляры v -

вектор(

v V),то

c (d v) = (c d ) v .

Пример5

.3.

Про,явлеринаборяетсякомбинацийь000,001,010векторным011

пространством.

Впример

е5 .1было.показано,чтоэтикомбинацииобр

азуютгрупооперациипоразрядногоу

сложенияпомодулюТак2как. юбыхякомбин

ацийпорядоксложениясущественен,

например,001+010=010+001=011,тоэтагруппаявляетсяаб

елевой.

Будемполкакомбиждуюгать

нациювекторумномж

ениенаскалярпроизводитьследующим

образом: c v = v ,если

с =и1,

c v = 000 ,если

с =где0,

v - любаяизра

ссматриваемыхкомбинаций.

Притакомвведоперацииумниискалярожениявыполняютсяра

спределительныезаконы,

например

и

1 (011+ 010) = 1 001 = 001

или

1 011 + 1 010 = 011 + 010 = 001