конспект лекции__1

в)Улучшениекорректирующихсвойствциклических(

n, k) – кодову

множениемпорождающего

многочлена

(x + 1).

Для кодовснечетнымзначеминикодовогмальнемрасстпоследнееможетгояниябыть

увеличенаединицуумнопорождающжениеммногочлегона

g(x) на (x + 1).Вышебылопоказано,что

использованиедвучлена

(x + 1) вкачествепоро

ждающегомногдаеткодспровчленаркой

тность.

Умнпорождающнекоторогожемниеогочлциклическогонанада

(x + 1) прикввоедитению

дополнительнойпроверначетнэткодестьвсемкодовымэлементам.Еслиимч ет

тное

значение dmin,тодополпроверканачетностьительнаянеизменеговеличины,т.к.введениет

проверочнматрицстрокиизоднедунеюизхницменичислатлимальногозависимыхейно

столбцов.

Еслиже

dmin

нечетное,товведениепроверочнуюм

атрстрокиизоднцуедприводитхницк

увеличениюм

инимальчислалинейноз оговисимыхст наодинлбцов.

Пример6

.10.Рассмотримпроверочную

атрицукода(7,3)изпримера6

.3.Есливкачестве

порождающмногочлвыбратьегона

g(x) = (1+ x)(1+ x + x3 ),прове рочмногочленомымбудет

h(x) = 1 + x2 + x3 .

Матрицапроверокдляэтогокодаимеетвид

&0

0

0

1

1

0

1#

H (7,3)

0

0

1

1

0

1

0!

=

1

1

0

1

0

!

0

0!

1

0

1

0

0

!

%1

0

Сложив

1,и 42

-юстрокизапрезультатвместосав4

-йстр,полки

учимпроверочную

матрицуэтогожекодавследующемвиде

&0

0

0

1

1

0

1#

H (7,4)

0

0

1

1

0

1

0!

=

1

1

0

1

0

!

0

0!

1

1

1

1

1

!

%1

1

Проверочнаяматрицакода(6,3)с

dmin=3 состоитизпроверочнойма

трицыукородаченного

(7,4)обозначенапун( ),ккоттиромд бавлройстрока,обенапроверкуечивающаяначетностьпо

всемэлементамкодовой

мбинации.Минимальноекодовоерасстоян

иеравнолинейно4 (зависимы,

например, 1,62, 3

-йстолбцы).

г)Выборпорожмногочленовдукорляающихдовченных

Какивсегрупповыекоды,циклическиекодымогутподвергатьсяук

орочению.Приэтом

порождающмн сгочлентжеемае, итуисяйсхо

дногокода.Такврезультатекукороч ния

уменьшдлинакодоетсявой

мбина,тоневсециклическиесдвигикодомбинациивой

128

укороченном(

n-i, k-i) – кодебудуткодовымимб.Всилуэтогонациямиобстоятельства,укороченные

циклическиекодыназываютп

севдоциклическими.Метпостроениядикодкоамбинациивойдл

укороченногоциклическогодаст

аетсяжеой,

чтобыларассмотренавразделе6

.2,т.е.каждая

кодкомбвая

инацияукороченногоциклическогокодакрпорождающтнамногочлемун

g(x),и

корректирующиесвойстваукороченногоциклическогокодаполн

остьюопределкорняютсями

g(x).

Дляукорпроверочныедовченмных

огочлены h(x) неопределяются,амат строоверокицытся

наосновепор

ождающпорождающихматр.Выборицмногочленовдляпсевдоциклич

ескихкодов

наиболеерациональнопроизводибазекод,построенныхьеореме

6.1. Приэтомможнопри

заданнойабсолютнойизбыточностиобеспечитьтребуемыекорректирующиесвойствасохранить

скоростьпер

едачикодаблизкойтребуемой.

Пример6

.11.Выб ратьпорожмногдкляающийо(50,35)дачленс

dmin ≥ 5 .

Выбпропоизводнеобходимр ч слузбытэлементовмучных

n-k =15Таккактребуется.

обеспечить dmin

≥ 5,топотеореме

6.1 принимаем t=2Ближайшее. ктребуемомузнач

низбыточныхе

элементовдостигаетсяпри

l=7.

Такобрази, мсхциклическимоднымкодовявляется(127,113)

– кодс

dmin ≥ 5 .Эткодт

имеет

g(x) = (x7 + x3 +1) (x7 + x3 + x2 + x +1) .След

овательно,необходимодобавеще ть

избыточныйэлемент.Дляэтогоу

множим g(x) на

(x + 1),т.е.вводимпроверкуначетностьповсем

элементам.Получаем(127,112)

–

кодс

g(x) = (x +1)(x7 + x3 +1)(x7 + x3 + x2 + x +1).Ук

орочением

данкодан77разрядовполучаемоготребуемыйкод.Итак,в

ачествепорожмногочлдляающегона

кода(50,35)можновзять

g(x) = (x +1)(x7 + x3 +1)(x7 + x3 + x2 + x +1).Данныйкодимеет

dmin

≥ 6.

6.6Эффективность. двоичныхкодовБЧХ

ДляоценкиэффектикодоБЧХвоспользуемсянтеоремойсти5п.1,

озволяющейустановить

соотношениемеждукорректирующейсп

особностьюкодаиегопараметрами

n и k.

Пустьдляциклического(

n,

k) –

кодасправедливо

n = 2l

−1 длянекот

орого l,откуда

l = log2 (n +1).

Тогдакратностьисправляемыхошибокэтимопределяетсядовкак

t =

n − k

=

n − k

.

l

log2 (n +1)

Минимальнкодовоерасстояннайденоможетбытьиззвестногосоо

тношения

dmin

= 2t +1 = 2

n − k

+1.

log2 (n +1)

Этихсведенийдостаточнодлякр нализаткогоэффективностицикл

ическогокодавреальном

каналесизвпараметрамистными

р и α.

Длярежимаиспрошибоквыигрывления

шподостоверностипосра

внениюспростымкодо

равен

)

n − k

&1−α

ηэи = (t +1)1−α =

+1 .

(log2 (n +1)

%

Длярежимаобнаруженияошибвыигрышс кставляет

η

эo

= 2n−k d 1−α = 2n−k )2

n − k

+1&1−α .

log2 (n +1)

(

%

Существеннымявляетотфакт,чприсяисправленииоошибоктеор

етическивозможно

обеспечениелюбойстеп

повышениядостовзасчувеличениярностидлиныкода

n ичисла

избыточныхэлементов

n - k.Однпракреализацияотическаятакихкодоввызвалабысерьезные

затруднения.

Рассмотримпример.

Пример6

.12.Пустьнекоторыйреальныйканалхарактеризуетсяпар

аметрами

p = 10−3 , α = 0.5.

Найтициклический(

n, k) –

код,повышающийдостоверностьпередачинадесятичный1

Опредсначалаеобходимоелимколичествоиз

быточныхэлементов

m = n − k .Составим

уравнение:

&

n − k

#1−α

η

эи

=

+1!

= 10,

!

% log2 (n +1)

откуда

&

m

#

0.5

+

1!

= 10

(n +1)

!

% log2

или

m

+

1 = 100 .

log2 (n +1)

Потречизбыточныхслоноеэлментов

m 100 log2 (n +1).

Длянахождекодасданнымч ия

исломизбыточных

элементовсоставтаблицум

N

log2 (n +1)

m 100 log2 (n +1)

7

3

300

15

4

400

31

5

500

63

6

600

127

7

700

255

8

800

511

9

900

1023

10

1000

2047

11

1100

4095

12

1200

8191

13

1300

Изпостаблицыроенребуемойвид,чтноэффективностью

обладаюткодыс

п>1000.

Вчастности,даннойэффективнособлакод(1023,аюты(1023,20),дляьюкоторых10)

эффективностьравна

ηэи (1023,10)

=

1013

+1 10.13

10

и

ηэи (1023,20)

=

1003

+1 10.06 .

10

Сравнениезначениядля

ηэ врежимахисправленияобн

аруженияп

озволяетсделатьвывод,

чторежимобнаруженэффективисправлениядлодтогожееек каналада

2n−k +1−α раз.

Например,длякода(1023,10)из едыдущегопримераэффективностьобнаруженииошибкиравна

ηэo 21027 10 309

Преобразокомбинперваичногоеции

k – разряковкомбданого

инациюциклического(

n, k)

– кодаможетбытьосуществлено

ибоприпом

ощипорождающмногочлегона

g(x),либопримощи

проверочногомног

очлена h(x).

а)Процекодированиядляциклическогоуракодапо

g(x).

Любойциклический(

n, k) – кодможетбытьполученврезультатесл

едующегопроцесса.Пусть

f0 (x) - многочленстепени

n-1,вкачествекоэфф

ициентовкоторогопристепенях

xn−1 , xn−2 , ..., xn−k

выбраныинфорсимкодационныеволымбинациивойциклического(

n, k) – кода,коэффициенты

пристепенях

х,меньших,чем

n-k,равны0Тогда.результатде

ления

f0 (x) напорождающиймногочлен

кода g(x),степенькоторого,какизвестно,равна

n-k,можетбытьпредставленвиде

f0 (x) = g(x) q(x) + r(x) ,

гдестепень

r(x) меньше n-k.

Образуемновыймногочлен

r(x) + f0 (x),укоторого

эффициентыпристепенях

х,меньших

n-k,естьоответствующиекоэффициенты

r(x),акоэ

ффициеностальныхпри епеняхсть

соответствующиекоэффициенты

f0 (x) .

Дляполученногомногочлсправ надливо

итаккакегост

епеньнепревышает

n-1,топоопределению2

циклическогокода

полученныйподобным

образомвектор

{r(x) + f0 (x)} принадцикл(ическомуежит

n, k) – коду.

Ввекторе

{r(x) + f0 (x)} коэффпристепеняхциентами

х,равных

n-k истарше,являются

информационныеэлементыкод мбинациивой,коэ

ффициенпримладшстамих

епенях –

проверочныесм(.рис. 6

.0).

Такимобразом,дляформированиякод мбинациивойциклического(

n, k) – коданномупо

спосотребимеусетсядляройствоьумнк жениямбин

ациипервичногокода,представляемой

многочленом

ai

(x) степенинестаршей

k-1,на xn−k ,деления,полученноговрезультатеумнож ния

132

в)Процедекодцураляированияклическихкодов

Восновепроцедурыкодилежитпроцессвывания

явленияприна

длежностипринятой

комбинмножествуразрешенныхциикод мбвых

инаций.Этазадачарешается,какбылопоказано

выше,вычислениемсиндр

омадляпринятойкомбинации

S = V H T .Техническаяреализацияэтой

операцииможетсуществлят

ьсяпометодике,изложеннпрассмкодовХэммингайтрении.Однако

дляциклическихкодовможнополучитьб рлее

ациональвычсинсление,еслиоедромаиспользовать

признакделимости

аждкокдйомбвойэткодинахпацииорождающийвмногочлен

g(x).Вданно

м

случаепринятаякомбинация

f(x) делитсянапорождающиймног

очлен g(x):

f (x) = g(x) q(x) + r(x) .

Еслиостатокотделения

r(x)=0,тосчи, ктоаютмбинация

f(x) ибылапередана.

Вэтомслучае

k коэффициентовотдаютсяпотребителюкачестве

ереданногосоо

бщения.

Еслижеостатокотделения

r(x) ≠ 0,топринятаякомбинация

f(x) признаетсязапрещеннойив

зависимосотлогикирабоУЗОпотребыивыдаетсяиналичиягналтелюошибкипринятой

инфилиормганизуетисправлениецош.Прибокя

праповидуленииостатка

r(x)

отыскивсмежныйкл,которомуассетсяпринадлежопределяетсяпринятаякомбинациянаиболее

вероятныйобразецошиб.Элементы,которипредполагаютсяошибких,инвертируются,

информациоразрядыкомбиотдаютсяпотнныеации

ребителям.Покажем,чтоостатокотделения

r(x)

тождествененсиндромуобщеопределенииинятом

S = V H T . Какбыло

поквразделе6ано.3

(пример6

.6)столбцамипроверочнойматрицыявляютсяостаткиотделения

x0 , x1 , x2 , ..., xn−1

на

порождающиймногочлен

g(x).

Действительно,делениеобладаетсвойссуперп,т..вомостатокотделзициинекоторогоня

многочлена f(x) степени n-1напорождающиймног

очленкодаравенсуммеостатковотделения

степеней xi сненулевымикоэ

ффициеизэтогомнтами

огочленадругими( словамистепеней

xi,

соответствующихединицампринятойкод мбинациивой)Произведение.

V H T

сводитсяк

суммированиюстолбцовматрицы

Н,соответствующединпркомбинациицамнятой.Уч,читхоывая

столбцыматрицы

Н – этоостаткиотд

еления xi (где

i = 0, 1, 2, ..., n

),напорождающиймногочлен

−1

g(x) находим,что

r(x) = S .

Пример6.1

3.Определитьпринадлежностькомбинации

1 + x + x2 + x3 + x6 = 1111001

циклическому(7,4)

– кодус

g(x) = 1+ x + x3

Вычисиндромляем

&1

0

0#

(1

0

0)

0

1

0!

(0

1

0)

0

!

(0

0

1)

0

1!

S = V H

t

= (1111001) ×

1

!

= (1

1

0)

(7,4)

1

0!

0

1

1!

(0

0

0)

1

!

(0

0

0)

1

1!

1

0

1!

(1

0

1)

%

S = 100

1

0 0

Найдемостатокотделениямногочлена

1 + x + x2 + x3 + x6 на 1+ x + x3

x6 + x3 + x2 + x + 1 x3 + x + 1

+ x6 + x4 + x3

x3 + x

x4 + x2 + x + 1

+ x4 + x2 + x

r(x) = 100

Такимобразом,длявычсисленияндрома

S = r(x)

необходимоиметьсхемуделения

принятойкомбинациипорождающиймногочленкода

g(x).

Итак,мыустановилисуществованиедву

хспособоввычисленияндр

омадлякодовых

комбинаций.Приэтомвтороспособотражаетспецифипредставлениякодкоумбвойвиденации

мног.Воещёзможенчленаитр

етийспособвычисленияндрома,такжевытекающийиз

представленияк

одовыхкомбинациймног

очленами.Кажкокомбинациядаяваяциклическ

ого (n,k)

кодакрпорождающтнамногочлемун

g(x) степени n-k.Этовсвоючередьозначает,чтолюбая

кодкомбинацияваяимеет

среди

своихкорней

n-k корнейпорождающмногочл.Значитегона

принадлежностьпринят

ойко

мбинации f(x) к используемомукодужнопределитьподстановкой

вместоформальнойпеременной

x вприняткорнейкомбипорождающациимногочлегона

g(x).

Пусть – αi – корень порождающмногочлегона

(n,k)–кода,

f(x) – кодковая

мбинацияэтого

кода,

тогдадолжнобытьсправедливо:

f(x=α i)=0 длявсехзначений

i,определяющихкорни

g(x).

Вышеотмечал,чтосиндромдолженпределсьвидошибок,появившить

хсявкодовой

комбинацииприпередачееёпоканалуспомехами.

Пустьпереданакомбинация

f(x),априн ятакомбинация

f'(x)=f(x)+e(x),где

e(x) –

многочлен

ошибок.

Тогда f'(x=αi)=f(x=αi)+e(x=αi)=e(x=αi)=Si

2Если.

e(x) повидусовпадаетоднойиз

кодомбинацийвых,то

Si=e(x=α i)=0,

т.е.иместонулеветсиндр,коприведётйокрыймнеобнаружошибк. енной

Еслиже

e(x)

отличаетсякод мбинацивой

и,тосиндромбудетненулевым:

Si=e(x=α i)≠0иошибкабудет

выявлена.

Пример6.1

3.продолжение( )

Покажем,чтонахожсинддляпениеропринадлежностикомбинвма

ации

f(x)=1+x+x2+x3+x6=1111001 циклическому(7,4)

– кодус

g(x) =

1+x+x3 можетбытьосуществлено

подстакормноейвкойгочлена

g(x) вместо x в f(x).

Изприложениянаходим,чтомногочлен

g(x)=1+x+x3

имеслекодующиет

рниα

1,α

2,α 4,

являющиесяэлементами

GF(23).Рассмотримрезультатыподст

ановки f(x=αi), дляслучая

i=1.

Дляэтогообратимсякпроцедурек умнож: ния

(1111001)×

HT.

Обратвн,имчтоматрицание

HT (7,4)- кодавточнсоответствуетстипре

дставлениюэлементов

GF(23) ввиде

ненулевых векторовтаблицезад6 чиздеслуча5Это.не8.

йнсовпадение.Обеэти

совокупностидвоичныхпоследов

ательностейдлиныполучены3 какклассывычетовмногпочленов

модулюоднтогои жемногочлена3

-ейстепениотображаютоднутужецикл

ическгруппу. ю

Приэтомпроцедуразаменывпроверяемоммног

очлене xi

наα i и последующегосуммирования

результатэквивалензаменыполностьюложениюстрокма рицына

HT соответствующим«1»

двоичномпредставлениимног

очлена.

Использвсехкорнейрожваниемногочлдляающформированияэлементовгона

синдрома,

будутреалнивсвязижезованопонятиемсиндро

мныймногочлен.

Вслучаеисправлошибокнеобходиманиящесхемасопоставл

ениясиндобромаазцу

ошибки.

Впростейшемслучаеприисправленииодношибоккраоснэтойсхемыныхлвежит

генераторэлемен

товполя

GF(2m).

6.7.2Лин. переключательныейныесхемы,используемыевкодиру

ющихдекодирующих

устройствахциклическихкодов

Основноеоборукодованиедекодирующихустциклическихующихойствкодов

составсхемыделенияумноженияяютмногочленов

– линпейныереключательныесхемы

[1].

Линпереключательныейныесхемыпредставсобоюсоединенияэ яютемтрвидов:нтовх

- эледимезадержпамятиничнойтячей( ,разрядкрегистра);

- сумматорпомодулю2;

- устройствоумнпостояннуюоженияавеличинуС.

Обозначениеиспоэлементовьзуемыхизображен

онарис. 6.1

.

ak-1

ak

a

b

a

b

a

C

ca

Элединичноймент

Сумматорпо

УмнаСожитель

поддержки

модулю2

Рис6.1

Элементылинп йныхреключат

ельныхсхем

Элединичнойментзадержки

имеетодвхододинвыход.Си

мвол ak навыходесовпадает

ссимволом ak −1,появинавходешимся

предыдущиймоментвр

емени.

Сумматорпомодулю2

имеетдвхаодинвыхода.Символна

ыходеравенсуммепо

модулювходных2 символов.

УмнпостояннуюаожениевеличинудлязначенияС=1рав алосвязи,адлячиюльно

значенияС=0

– отсутствиюсвязи.

Будемполагать,чтооперации,выполняеспомощьюсуми ыеатора

умножителя,

осуществляютсямгновен.Всеизмелинпенияйныхр

еключательныхсхемахтакжепроисходят

мгновенмомеприходатактн

овыхимпульс.Входвыхпреовдпоследовательныполагаются

ми,

т.е.входнаяпоследовательностьсостоитиздво чных,мволовподаваемыхковх ному

сивмволуоментпоступлениякаждоготактовогоимпул

ьса.Есливкачествевходнойиливыходной

последовательностирассматрив

аетсямногочлен,тонавходилисвых

одапоступаюттолько

коэффициен,начинаяс прстиаршихыстепеняхциент.Такмногочленв

f (x) = f 0

+ f1 x + ... + f n x n

будетподаватьсянавходилипоянаыхляться

одеввидепоследовательности