конспект лекции__1

б)Исправлениеошибок

Исправлениеошц бокклическимкодом

– задостаточноачасло

жнаякаквтеоретическом,так

ивпрактическом,..схемотношении.

Сущнесколькометодовтвуетисправленияошибокдляциклич

ескихо дов.Внастоящем

парассмотрграфеодинизних,базимрующийс

яна схемах,котбылиорыйпвысаны

ше.

Подбудетрассмотобноспособисподравленияошибоккратных

. Нарисунке6.18

показана

структурнаясхемадекодиуст,преующегоойства

дназначеннаядл

яисправленияошибок

произкратностивкомбинацииольной

клическогокода.

Вобщихчертахрабэтойс таможетемыбописанатьследующимобр

азом:

1.

Принятаякодкомбинацияваявводитсбуферноезапомина

ющееустро йствоБЗУ()и

одновременносхемувычис

лениясиндромаСВС(), аналогичнасхеме,изобр.ис6женной.4.

2.

Междусиндпредполагаемойомкомошибокбинацией(

бразующийэлемент

смежногокласса)имеетсявзаимноднозначноесоотве

тствие,определяемоекомбинаторнлогической

схемойКЛС().

строитсятакимобразом,чтобынаеевыходепоявиласьвсякийраз1 ,когдапри

выводеинформацииизБЗУпредполагаепоявлениеошибочногоэлемента,..сянавыходе1 КЛС

должнавсегдасоответствстаршейстепенимноватьг

очленаошибок

e(x) содержащегосявто

йчасти

кодомбинациивой,котораяещесодержитсявБЗУ.

3.

ОдновремспоявлизБЗУкажденэлиноемпргоентаизв

одитсясдвигСВС.Если

символ,появляющийсянавыходеБЗУподлежисправлению,то такжедромолженбытьизменен,

длячегосвыходаКЛС

1подкнавыходкетсяБЗУ,такинавходСВС.Этоелаедлятого,ч обыся

синдромсоответствовалкаждомуизменениюпринятойкомбинации.

счиБЗУзтана.Каждомуразряду,с

читываемизБЗУ,долженсо тветствоватьмусдвигнаодинразряд

вправоодн БЗУвременноиКЛС.

5. Послетого,каксчитанавсяпринятаякомб,будутспранация

вленывсеошибки,

соответствующиеобразцамошибок,предусмотреннымКЛС, разрядахрегистраСВС

останутсяодни

нули.Еслипослекончанияпроцедуиспврарегисвлениязрядахысоденетолькорнулижатся,

этозначит,чтообнаруженаош,неисправляемаябкапомощьюданнойКЛС.

Пояснимподробнработудансхнепройаемыисправлениямереоднокра

тныхошибок.

ВэтомслучаеКЛСдолжнавыдаватьтогда1,когдаизБЗУвыходитэлемент,которомпредполагается

ошиб.Сэтойцельюкасиндромждыйдолженбытьоднознсвязномеромэлементачнок довой

комбинации.Этасвязьможетбытьус следующановлена

имобраз.Принятаякомбин

ациявводится

схемуделениянапорождающиймноговычисляетсялен

статокотделедакомбинациинойия

g(x),являющийсясиндромом.Какбылопоказаноассмотренииисправленияошибкод км

Хэмминга,в

ычисиндромленныйим

ееттакойжевид,какстолбецпроверочнойматр

ицыкода,

соответствующийискаженнэлемеприкоднтуятоймумбинвой

ацииПустьошибкапроизошлав

i –

омразрядекодомбинациивой.

Всоо тветствииправиломпостроениямат оверокицы

H (n, k ) синдромсоотве

тствуетостатку

отделения

xi

на g(x).Рассмотримтеперь,чтобудетпроисх

одитьвсхемеделнания

g(x),еслипосле

вычсисленияндромапродолжасдвире.гиЕсливходастреьсхемыиспрнасхемувления

деления никакойинформацрегиснепоступа,в схделентмызаписреостатокотделениян

xi

на g(x),врезультатесдвигасодержимогорегистранаединицувправоучетомработыбратныхсвязей

получврегостатокреимд

еления

xi+1 на g(x).Слесдвигдаетующийосотделенияаток

xi+2 на

g(x) ит.д.Такимобразом,схемаделенмногочления

g(x)послевычисления

ндроманачинает

работатькакгенераторэлементовполя

GF(2m),где

m=n-k- степень орождающегомногочлена

g(x).

Начальнымсостояниемработыг

енератораявляетсявычисл

енный синдром,т.е.α

i .П

осле( n-i) – го

сдвирегистребудетзаписостатокотделения

xn на g(x),которыйдляравенединичному

элементупооперац

ииумнпоженияля

GF(2m)Итак.,принал

ичиивпринятойкомбединичнойации

ошибкивлюбом

i – омразрядеп

оследополнительных(

n-i)сдвсхемеиговделбудемиметьнияв

ячейке r0 единицу,авовсехостальныхячейка

– нули.

Автоматическоеисправлеошибким жносущслиееобствитьдующим.Кразрядамазом

регистрасдв

игаподключаетсядешифраторкомбинациювида100Выходдешифр…0.

атораивыход

БЗУподквходлючсумпоаметсяодатора

улю2.

Одновремсосд схемеигамилннония

послевычисления

ндромаосуществляетсявывод

информацииизБЗУ.На(

n-i)-мсднавигеходысуммапосБЗУтискаженныйупятораэлемент,от

159

дешифратора - единица. Навыходесумматораискаженныйэлементинвертируется,..оши

бкабудет

исправлена.

Пример6.19 .

Рассмисправленотршц бокклическим(7,4)е

- кодомс

g(x) = 1 + x + x3 .Этимееткод

dmin = 3,

т.е.исправляетвсеодиночныеоши.Общвидсхкисправленияймыодиночныхошибокдляданного

кодапредставленнарис. 6.19.

Поясним работусхемыприисправленииод

иночошибокнапримереых.Пустьустройствомное

зарегистрировалоко

мбинацию1101101Даннаякомбинацияпоступает. вСВСБЗУ.После7

-готакта

СВСсодержитсиндром

Si

= 110,чтосвидетельствуетотом,что

искажэлприемент

x3 (см.пример

6.15)С. 8 -готактакомбинациявыводитсяизБЗУ,начинаясостаршейстепе.ОдновременноСВСи

происходятсдв

игисиндрома.

Этотп роцесспредставлентаблице6.8

.

Таблица6.8

№такта

СостояниеСВС

ВыходБЗУ

ВыходКЛС

Выход

схемы

r0

r1

r2

7

1

1

0

-

0

-

8

0

1

1

1

0

1

9

1

1

1

0

0

0

10

1

0

1

1

0

1

11

1

0

0

1

1

0

12

0

0

0

0

0

0

13

0

0

0

1

0

1

14

0

0

0

1

0

1

СравнитесостояниеячеСВСк ячгенекэлератораием

ементовполя

GF(23), начиная

стакта3 рис( 6.9).

Такобразоми, справленнаякомбинацияимеетвид1100101С

.

ыходасхемыпроверочные

элеменвыдаватьсямогуне ткпотребителю,..всяпроцедураможетбытьоконченапослевыдачи

последнегоинформац

ионногоэлемента

КодыРида

– Соломона,илиРС

-котносятся, дык

едвоциклическимчнымкодам,т.

е.кодам,

символыкоторыхвзятыизконечногополя,содержащего

q>2элементовиобозн

ачаемого GF(q),где

q –

степеньнекотпростчисла.Прогонятие

конечных поляхкраткоизложенов6

.1.

Пустьнеобходимопередатьпоканалусвязипоследовательностьиз

M двоичныхэлеме

нтов

вида:

111 … 1 101 … 1 011 … 0 100 … 1.

Разобьемэтупоследовательностьнаблоки

m элементовиобозихчерезнекоторыеачим

символы β0, β1, β2, β…, N–1,где

N = M .Полноечислоразли

чныхзначений

m-элементныхбл

оковравно

m

q=2m.

Такимобразом,передаваемаяпоследовательностьпредставляетсявиде

екоторой q-ичной

последовательности:

β0, β 1, …,

β S, …, β N–1.

Некотораясовокупность

q-ичныхпоследовательностейобразует

q-ичныйкод.Такиекоды,как

идвоичнкоды,могутбытьпростымиепомехоусто

йчивыми.

Кодовыекомбинации

q-ичногокодамогутбытьпредставленывидемног

очленовс

q-ичными

коэффициентами – элементамиполя GF(q)Приэтом.

q-ичныекоэффициентыкакэлементыполя

GF(q)

являютсярассмотрприммногочленамисдвоичнымиренномкоэфф ц

иентами.

Например:

B(x)=β 0 (z)x0+ β

1 (z)x1 + … + β N–1xN–1,

где: β i(z)=b0z0+ b1z1 + … + bm–1zm–1.

Здесь bi=0,1,а z – формальнаяпеременнаямногочлесдвоичкоэффнымиа

ициентами.

КодомРида

-СоломонаРС(

-кодом)называютциклический(

N,K)-код,при

N=q–1,множ ество

кодомбинацийвыхкоторогопредставляетсямногочленамистепени

N–1именеескоэффициентами

изполя

GF(q),гд

е q>2иявляетсястеп

еньюпростогочисла,корняпорождающегомногочленаи

являются N–K последоватстепеней: льных

α, α 2, α 3, …, α D–1,некоторогоэлемента

α GF(q),где

D–

минимкодовоеральное

сстояние(

N,K)-кода.

Изопределениявытекает,чтоРС

-кодяв ляетсяподклассомБЧХ

-кодовс

m0=1 Обычно[1].

считаютэлемент

α примитивнымэлементо

оля GF(q),т.

е.встепени

α от1

-йдо(

q–1)-йявляются

всемиразличныненулевымиэле

нтамиполя

GF(q)Порождающий. многочленРС

-кодаимеет

степень N–K=D–1ипоте

оремеБезуможетбытьнайденввидепроизведения

D−1

g(x) = ∏ ( x − αi ) .

i=1

Всоостеориейветствциклкодов,порождающийческихмногочлен

g(x)является

делителем xN–1над GF(q).

Такимобразом,РС

-коднадполем

GF(q)имеетдлинукод

овойкомбинации

N=q–1, число

избыточныхэлементовней

N–K=D–1иминимальноекод

овоерасстояние

D=N–K+1.

Кодысподобнымзначеминикодовогмальнемрассттекодированияоригоян

получилиназванмаксимальных. е

Приф ксированных

N и K несуществуеткода,которогоминим

альноекод

овоерасстояние

больше,чемуРС

-кода.Этотфактчастоявляетсявескимосн

ованиемдляиспользованияРС

-код.Втов

жевремяРС

-кодывсегдаоказыв

аютсякорочевсехдругихциклических

одовнадтемжеалфавитом.РС

-

кодыдлины

N<q–1называютукороче

нными,акодыдлины

q (или q+1) – расширеннымиудлиненными( )

наодинили(два)символа.ВРС

-кодеможетбытьвыбидрзначениеугано

m0,еслиэтоопра

вдано.

РассмотримнекоторыепримерынапостроениеРС

-кодов.

Пример 7.1

Рассмотрим,какиеРС

-кодыможн

опостроитьнадрасширеннымполем

GF(22)Определяем.

длинукодомбинациивой:

N= q–1=3.Зададимсяк

одовымрасстоянием

D=2Для.егореализации

162

необходимаизбыточность

N–K=D–1=1Еслинеобходимо. обеспечить

D=3,тоследуетзадать

избыточность N–K=2.

Такимо

бразом,над

GF(22)можнопостроитьРС

-коды(3,2)с

D=2и(3,1)с

D=3Для.РС

-кода

(3,2)порождмногочленоснованииющийопредел

енияРС

-кодаравен

g(x)=x–α

GF(22)являетсярасширениемполя

GF(2),поэтомузнак«

–»в g(x)следузамнае«+»какнить

символ операциисложенияв

GF(2),т.

е.следуетпр

инять g(x) = x + α.

Порождающаяматрэтогокодицамеетвид:

G(3,2) = &α 1

0!#.

%0 α 1

РС-код(3,2)над

GF(22)содержит qk=42=16разрешекомби.Оимеютннвид:ыхаций

0.

0

0

0

4. 0

α 1

8.

0

α2 α

12. 0

1

α2

1.

α

1

0

5. α α2 1

9.

α

α α

13. α

0

α2

2. α2

α 0

6. α2

0 1

10. α2

1

α

14. α2 α2 α2

3.

1

α2 0

7. 1

1 1

11.

1

0

α

15. 1

α α2

Каждаякомбинацияпр

едставлястепенисобоймногочленили2менее.Вышеуказаны

последовательностикоэффициентовкаждойизкод вых

мбинацийвпредп,чтоложении

коэффициентыстарши

хстепенейнаходятсясправа,.

е.информэлементызацдвеимаютонные

позициисправа,

збыточныйэл

емент – крайнююслева.

Например,комбинаци

япредставляется1 многочленом:α

+x,комбинация

2–α 2+αx

, …,

комбинация14

–α2+α 2x+α2x2.

Проследформизбыточныхрованиеэлементовдляко

мбинаций114.

Комбинация1:

x

x+α

x+α

1

Привыполненэлементамидействнад поляий

GF(22)полезпомнить,чтоностроено

модулюнеприводимогоприм

итивногомногочленаП(

α) =1+α+ α2=0.Нижепредвнсетавнуленыве

элементыэтогополя,

вляющиесяко

рнямимногочлена

x3+1:

α0=α3=10=1,

α1=01=α,

α2=11=1+α .

РС-код(3,1)надполем

GF(22)с

D=3содержиткомб4 ,каждаянацииз

оторыхсодержит

трехкратноеповторениеодногоизэлементов

GF(22):

0 0 0, 1 1 1, ααα,

α2 α2 α2.

Показспраэведливостьутвержденияогостудентыдолжнысамосто

ятельно.

Пример 7.2

ПостроимРС

-коднадпростымполе

GF(5)сдлинкодоймбинациивой

N=4иминимальным

кодовым расстоянием D=3Поле.

GF(5)своимиэлементамиимеет0, Покажем1,,что2, 3, 4.

примитивнымэлементоэтого

оявляется

α =2:

20=1;

21=2;

22=4;

23=8–5·1=3;

24=16–5·3=1.

Мыубедили,чточетырепоследоьстепенидаютвсе2 ательныенулевыеэлементы

GF(5)и

еепорядок

e равен

4Это.доказывает,что

α=2– примитивныйэлемент.Нахпорождающийдим

многочлен,степенькотд рого

жнабыть

N–K=D–1=2Для.этогос

оставляемпроизведение

g(x)=(x–α)(x–α2)=(x–2)(x–4)=x2–6x+8=x2+(–6+5·2)x+(8–5·1)=x2+4x+3.

РС-код(4 ,2)над GF(5)всегоимеет

qk=52=25кодовых

мбинаций.

Постпороматрицуимждающуюэтогокода,взявкачестрокестве

g(x)иегосдвиг

G(4,2) =

&3 4 1 0# .

0 3 4 1

!

%

Рассмотримнаиболееважныесвойства

PC-кодов.

1.РасширенныеРС

-коды

Какизвестнотеории

групповыхкодов

,введениекодомбинациивойдополнительной

проверкиначетностьвомногихслувелчаяхмичиваетн

имальнрасстояниекнаоднудаединицу.

ДляРС -кодявлениеэтонабл

юдаетсявсегда[3]Пусть.

C=c0, c1, …, cN–1 кодкомбинацияваяРС

-кода

св есом D.Введемдополнительнуюпр

оверкуначетностьпоправилу

N −1

cN = − ∑ci .

i=.0

Покажем,чтоминимальныйвескодовой

мбинации C при1

-расширенувеличдо иивается

D+1Этовозможно. приусл

овии,что

N −1

C(1) = −cN = ∑ci ≠ 0 ,

i=.0

но C(x) = a(x)g(x) длянекоторого

a(x),такчто

C(1)=a(1)g(1)Очевидно.

g(1)≠0Кр. тогоме

a(1)≠0,иначе C(x)делилосьбына(

x–1) g(x),т.е.ужеимелобывес

D+1.

Пример 7.3

РасширениемРС

-кода(3,2)с

g(x)=x+α и D =2являетсяРС

-код(4,2)с

D =3,порождающий

многочленко

торогоравен

g(x)=(x+1)(x+α )=x2+α2x+α ,апорождающаяматримеетв ца

G(4,2) =

&α α2 1

0# .

0 α α2

1!

%

2Укороченные. РС

-коды

РС-коды,какивсякиегруппкоды,м укорачивжновыезасчетсократьщ

ениячисла

информационныхэлементов.Очевидно,чтоприэткодово

ера сстояниеукор даченногостаетсяв

точноститемже,чтоуисхкоданого

D=N–K++1Вобщемслучае. укороче

нныйРС

-кводтличиеот

исходногонеявляетсяцикл

ическим.

Существует также способпостроенияциклическогоРС

-коданадполем

GF(q)сдлинойкод

овой

комбинации N<q–1Рассмотрим. ,какопределяетсяпоро

ждающиймногочлендлятакогоРС

-кода.Если

α–примитивныйэлемент

GF(q),тоегоп рядок

l=q–1икаждыйненул

евойэлемент

GF(q)можетбыть

найден,какнекотораястепень

α.Порядок ls

каждогоэлемента

αs GF(q)я вляетсяд

елителем q–1,так

какдляаждого

αs GF(q)справедливо равенство:

(α s)q–1=1.

Пустьвполе

GF(q)существуетэлемент

αs,порядоккоторого1<

ls<q–1Тогдасовокупность.

элементов1,

αs, α2s, …,

α(ls −1)s образуетподгруппу,ко

тораясостоитизв ехтеп

енейодногоизее

элементов,.

е.являетсяциклич

ескойисовместнонулевымэлементобразуетподполеполям

GF(q),

т. е.являетсяко

рнямимногочлена

xls −1.

Такимобр

азом,еслив

GF(q)существуетэлемент

αs,порядоккоторого1<

ls<-1, товозможно

построение циклическогоРС

-коданад

GF(q)сдлинкодоймбинациивой

N=ls

ипорожда

ющим

многочленом

D−1

g(x) = ∏ ( x − αis ) .

i=1

Пример7.4

Вполе GF(28)существуетэлемент

α15, порядоккоторогоравен

l15=17,сл

едовательно,возможен

РС-коднад

GF(28) с N=17.

Другспособйлученияукороченных

РС-кодовсостоитледующем.

Вв

ыражении

ls

xls −1 = ∏(x − αis )

i=1

произведемподстановку

x→xm.Тогдапол

учим

ls

xmls −1 = ∏(xm − αis ) .

i=1

Можно доказать,чтомногочлен

xm–αis принадлежитпоказ

ателю mls,изчеговытекает,чтос

поморождающегощьюмн

огочлена

g(xm )

D−1

= ∏(xm − αis )

i=1

можетбытьпостроенРС

-кодс

N=mls,состоящийиз

m чередующихсякод

овыхкомбин

ацийРС

-кодов

длины ls.

3. Отображение РС-кодовнад

GF(2m)надв оичныекоды

Элементы GF(q)при

q=pm,какэтобылора

ссмотреновыше,могутбытьпредставлены

последлиныовательностями

m сэлементамииз

GF(p)В.этомслучае(

N,K)-кодРСсра

сстоянием D

над GF(q)становится(

n=mN, k=mK)-кодомнад

GF(p)сра

сстоянием d≥D.

Если q=2m,тодвоичныекоды,получаемыетакимпутем,частобеютл

ьшоеминимальное

расстояние.

GF(2m)над

GF(2)Тогда,если.

m

Пусть ξ1, …, ξm–базисэлементовполя

β = ∑bi ξi – произвольный

i=1

элемент

GF(2m),где

bi=GF(2),

то β

отображаетсявпоследовательностьдлины

m:

b1, b2, …, bm.

Этоотображениепереводлинейныекоды.тнейныеПриэтомциклич

ескиеодыне

обязательнопереходятвциклические.

Пример 7.5

Используябазис1,

α дляэлементов

GF(4)над

GF(2),получаем

тображение0

→00, 1→10,

α→01, α2→11Тогда.РС

-код(3,2)с

D=2надполем

GF(4)примера

5.13 становдвоится

чным(6,4) -

кодомс

d= 2,приведеннымниже:

0. 000000

4. 000110

8. 001101

12. 001011

1. 011000

5. 011110

9. 010101

13. 010011

2. 110100

6. 110010

10. 111001

14. 111111

3. 101100

7. 101010

11. 100001

15. 100111

Легкопроверить,чтоданныйкоднеявляетсяциклическим.

Пример 7.6

Рассмотрим(7,5)

– РС-коднад

GF(23)с

D = 3 Поле[3].

GF(23),пострмодулюенное

П( α)=α+α

3+1,содержитсл

едующиеэлементы:

0 0 0 =0,

1 0 0= 1,

0 1 0 =α

,

0 0 1 =α 2,

1 1 0 =α 3, 0 1 1 =α 4,

1 1 1 =α 5,

1 0 1 =α 6.

Вкачествебазисадляэлементов

GF(23)над

GF(2)возьмем1,

α ,α 6,

т. е. β= b1(100)+b2(010)+b3(101).

Тогдаполучимотображение0

→000, 1→100, α→010, α2→101, α3→110,α 4→111,α5→011 ,

α6→001.

Сформируемпорождающиймногочленввиде

g(x)=(x+α 5)(x+ α6)=α 4+α x+x2.

ПритакомпостроенииРС

-кодс(7,5)

=D=3перехвдвоцикличдитчный

ескийод(21,15)с

порождающиммногочленом

g(x)=1+x+x2+x4+x6 им

инимральнымсстоян

ием d=3. Этое

динственный

известныйнетривиальныйпримерРС

-к,одатображаем

оговдвоцичный

клическийкод.

Способыкоддекодированияи РС

-кодовдостатхорразрошочно

аботаныв

теоретреализческомпл.Ихаосннецисоставляютвупрнн исправленияцедурымстир

аний,

ошибоксовместногоисправленияош

ибокистираний.Рассмотримпроцедуры,нашедшиеприменение

вотечес твеннойтехникеперед

ачиданных.

Рассмотримпроцедуру

декодированиясиспра

влениемошибок,известную[как4 ]

алгоритм

Форни.

Пустьвприемникапп

аратурыпередачиданныхАПД()

оступилакодкомбинацияваяРС

-кода

C(x)=f(x)+e(x),

где f(x) – переданнаяпередатчиком

(АПД)

кодкомбинациявая,которойвпроцессепередачипо

каналусвязипроизошло

v ошибок,

отображаемыхмногочленом

e(x)степени υ.Кажд ыйненул евой

167