конспект лекции__1

г) АлгоритмФорни.

Д.Форни[4]получилвыражедлявычислзниеачошибки,ения

еслиизвес

тны

многознаошибкичленыения

Ω( x) илокаторошибовк

Λ(х):

Yl

=

Ω( X l−1 )

Λl ( X l−1 )

Где Хl-1- кореньмногочлена

Λ(х),

обратныйло

каторуошибки

Хl,Λ l(Х ) –производнаяот

Λ( x).

В.Примерырешенияключеуравненияого

Рассмотпримерыпримененияассмоталгодляеитмовкодированиянныхс

исправлениемошибоккодамиРида

-Соломона.

Пустьнадполем

GF(23) сэлементами

000, α=1=100, α1=010,α

2=001,

α3=110, α4=011,α

5=111,α

6=101

построенкодРида

-Соломона(7,3)с

dmin=5, способный

исправлять2

-хкратныеошибки.Корнямипорождающего

многочленаявляютсяследующие

элементы GF(23): α1=010,α

2=110,α

3=110,α

4=011.. Порождающиймногочленкода

меетвид;

g(x)=(x+α)( x+α 2)(x+α 3)(x+α 4)=α

3+α 1x+α 0x2+α 3x3+x4

Предполож,чтоканалусвязбылапереданаим

комбинация (0000000),анавходдекод

ера

поступилакомбинация.

f(x)=а 2х3+а5х4.

Схемавычсисленияндопркомпонентыомаеделила

синдромного многочлена:

S1=f(x=α)=α5+α2=α3

S2=f(x=α

2)=α 1+α6=α 5

S3=f(x=α

3)=α 4+α3=α 6

S4=f(x=α4)=α0+α0=0

Привычисзначэлениментовий

Si,показатстепэлеполяментовйли

приводятсяпо

mod 7,т.к.для

GF(23)а

=а 7=1. Итак,дляпринятой

комбинациисиндромн

ыймногочленимеет

вид:

S(x)=α3+α5x+α6x2

Определимдляпринятойкомбинациимногочленлокаторошибовк

Λ(х).

АлгоритмПитерсона

. Матуравнениеичдлянахожденияоекомпонентов

Λ(х) по S(х)

имеет

вид:

&α 3 α

5 #

&

λ

2

#

&

6

#

5

α

α

6 !

λ

!

=

0

!

α

!%

%

1

%

Впредл,чтпроизошложениимаксчиспрамальноесло

вляемыхкодом

ошибок t=2

воспользуемсятеоремой

Крам[5]дляесистемышенияра

линейныхуравнений,представленных

матричнойформе

Ах=С,

вслучае,

когда det А существуотличени нуля,Вэтомслучаесистема

имеетодноопределеннрешениекажд, ое

неизвестныхвырчастнымжаетсядвух

определителей,причемвзнастоитопределительенателеА|,вчислителе,

определителькоторый

изнегополучаетсязаменойкоэффприциентов

определянеизвсоответствующимимомстном

свободчленами: ыми

λi =

A1i C1 + A2i C2

+ ... + Aυi Cυ

A

ПрименяятеореКрамерадлнахожденияу

λi получаем:

A

=

α 3 α 5

= α 9 + α10 = α

5 ,

1

= α 2

α 5 α

6

A

α 6 α 5

λ2 = α

2

2

12

= α

0

,

0

α 6

= α α

λ = α

2

α 3

α 6

2

11

= α

6

.

= α α

1

α 5 0

Такимобразом,многочленлокаторошибимеетвид: овк

Λ(x)=1+α6x+α0x2

Кормногочленаями

Λ{х) являютсяэлементы

GF(23): α3 и α4,т.е.локаторы

ошибок

X1 =

1

= α 3 , X 2

=

1

= α 4 .

4

3

α

α

Этодаетвозможпредставимногочленлокастьошибтвидеьор; овк

Λ(х)=(1+α

3х)(1+α

4х) \

АлгоритмПитерснайтипозвтакжеоляетзначенияошиб.Дляэтвыразимогок

компонентысиндрмномногогочлена

S1 и S2 черезлокаторыошибок

Xl, изначенияошибок

Yl:

S1=Y1X1 + Y2X2

S2=Y1X12 + Y2X2

Представимэтиуравненматрформеичнойя

:

& X1 X 2 #&Y1 # &S1 #

2

2 !

!

=

!

% X

1 X 2 %Y2 %S2

или

&α 3α 4 #&Y1 #

&α 3 #

6

!

! =

5 !

α α

Y

α

!%

2

!

%

%

Решимэтоуравнениетемжеспособом,какимбылинайденыλ

1 λ2 .Вычислимоп

ределитель:

179

α 3 α 4

= α 4 + α 3 = α 6 ≠ 0

α 6

α

Теперьнаходим

:

Y1

=

α 3 α 4

=α(α4+α2)=α5+α 3=α2 ,

α 5 α

Y2 =

α 3 α 3

=α(α+α2)=α2+α 3=α5

α 6 α 5

Получензначенияые

Y1 и Y2 соответствуюткоэффициентаммн гочленашибок.

2Алгоритм. Евклида

Поискзначений

Λi(x) вΩ i(x), удовлетприведенныморяющих

вышекритериям,представим

ввидетаблицы

.

i

-1

0

1

Λi(x)

0

1

α+х+α x2=α(1+α6x+x2)

Ωi(x)

х4

S(x)

α 4+α 4х= α(α3+α3х)

qi(x)

___

___

[X4 /S(α+xα)]=+

2

Изприведеннойтаблицы

видно,чтонайденноезначение

Λ(х)= α(1+ α6x+x2) отличается от Λ

(х),подученногоалгоритмуПите

рсонапостсомянныможителем

α.Понятно,чток эрни

тих

многочленовсовпадают,,,постоясомневлияетожитныйнаопрлокаторовельделение

ошибок.

3,АлгоритмБерлекемпа

-Месси. Вычисление Λ(х)иΩ(x)

в

соответствии

доработанным

алгоритмомБерлекемпа

-Мессипр

едставим ввидеследующей

таблицы:

r

Sr

r

M(x)

B(x)

Λ(x)

L

Ω(x)

A(x)

0

1

1

0

0

1

1

α3

Α3

1+α3x

α4

1+α3x

1

α3

0

2

α5

Α

1+α2x

a4x

1+α2x

1

α3

0

3

α6

Α2

1+α2x+α6x

α5+x

1+α2x+a6x2

2

α3

αx

4

0

Α2

1+α 6x+x2

α5x+x2

1+α6x+x2

2

α3+ α3x

αx

НайденномузначениюΛ

(х)соответствуетрегистрсдвигаобратными

связями,

определеннымиΛ

(х),длины

L=2, способныйвычислятьлее

компонентысимдромного

многочленапо2

-ммладшим.

Этотрегистримеет

вид:

180

α0

α6

α0

Выход

S2

S1

S1=α3 и

В исходнстояниивячейкахпамятирегистразапискомпонентысиндроманы

S2=α 5.Повторомутакту

S2=α 5 поступаетнавыход,

авячейкахостаются

S3=α 6 и S4=0, которыезадва

следующихтактапоступаютнавы. од

4Алгоритм. Фор

ни.

Длявычислениязна

ченийошибокнеобходимознаниеΛ

(х)иегок ,арней

такжедолжен

бытьизвестенмногочлен

Ω(x). Непосредственным вычислениемнаходим:■

Ω(x)=S(x)Λ (x)(modx2t)=(α3+α 5x+а6х2)(1+α6x+x2)(modx4)=α3+α3х. Расчетныезначения

Λ(х)

иΩ( x) полностьюсовсполученнымиадаютпо

алгоритмуБерлекемпа

-Мессиотличаются

постсомянприныможителем

вычисленпоалгоритмуЕвклида.

ДлянахождзначошибокпоениалгоритмуФорнияйнайдем

Λ (х)

=а6. Подставляя

Ω( х)

вместо x значекорнейия

Λ(x)получаем:

Y

Ω(x = α 4 )

α 3

+α 7

α

2

;

=

=

=

= α

1

α 6

α 6

α 6

Y

=

Ω(x = α 3 )

=

α 3

+α

6

=

α 4

= α

5

.

2

α 6

α 6

α 6

Итак,вычислезначениемногочленаноешибок

е(х)=

α2x3+α5x4 полностьюсовпадает

принятойкомби

нацией f(х)и,следовательно,по

каналусвязипе

редаваласькомбинация

(0000000).

7.3.Задачи

1Построить. кодир

ующееустройстводляукороченногоциклическ

огокодас(10,5)

g(x) = (1+ x)(1+ x + x4 )

ипроследитьпотактампроцессфо

рмированияизбыточныхэлементовдля

какой-либокомбинации.Результатпроверитьалгебраически.

2Построить. устройствообнаруженияошибок(

схемувычисленияндр)дляукороченногома

(10,5) – кодас

g(x) = (1+ x)(1+ x + x4 ) .

181

3Спомощью. схемывычисленияндромапредыдущейзадопрчи

еделитьпринадлежность

комбинаций 1+ x2

+ x4 + x6 + x8 и x + x3

+ x5 + x6 коду(10,5).

4Построить. к

одирующееустройдлякода(15,5)ство

g(x) = (1+ x + x4 )(1+ x + x2 + x3 + x4 )(1+ x + x2 ).

5Постр. генераторпоследовательностиитьдл7получитьныэтупоследовательность.

6Построить. кодирующееустройстводлякодаРида

-Соломона(7,5)основесхемырис6.10.

7Построить. генер

аторэлементовполя

GF(24)

8Построить. генераторэлементовполя

GF(25)

ТЕМА9

.НЕКОТОРЫЕСПЕЦИКЛАССЫКОДОВЛЬНЫЕ

.СОСТАВНЫЕКОДЫ.

9.1Коды.дляиспрачекошибоквления

Подпачкойошибокдлины

l будемпониматьпоследовательностьошибок,занимающую

l

последовательныхэлементкод мбинацвой,приуслов,чтопервыйиипосэлевднийменты

этойпоследоватискаж. еныльности

Поаналогииподпачкойвкод мбинациивойбудемназыватьнек

оторуюеечасть,

ограниченнуюсобеихсторонеди. ицами

Впонятнлне

о,чтонекоторый(

n, k) – кобладаетспособностьюобнаруживатьили

исправлятьпачкиошдлиныбок

l именеетогдаитолькотогда,еслиегокдомбинациивыене

содержвсвоемсостпачекдатве

ннойдлины.

Спомощьюпростыхрассуможноустадеминовитьий

нимальноечизбыточныхсло

элементовкод мбинациивойгрупповогокода,сп

особногообнаружвсепачкиошдлиныватьбок

l

именее.

Во-первых,необходимо,чтобытакойкодсодержалпачекдлины

l именее.Определим,когда

этов зможно.Рассмразложетрим

ниегруппы,составленнойиз

п – элементныхвекторовнесмежные

классыподгруппе,образующейданный(

n, k) – код.Есликодомбинациивыенесодержатп

ачек

длины l именее,тов дномитомжес классеежннемосуществгутм

оватькомбинации2 ,вкоторых,

начисодитогонжеаяразряда,размещ

еныпачкидлины

l именее,таккаквпротслучаеихвном

сумма,являющаясякодомбинациейвой,должнасодержатьпачкудлиныменьшей

l.

Таккакдлянекотофиксирогоазрядакванногомбинвойможноуказатции

ь 2 l

различныхкомбинаций,которыевсилусказанноговышедолжныприназличнымдлесмежнымать

клас,точислоаммежныхклассовнеможбытьеньшим2

l.

Такимобразом,доказаноследующеесвойствогрупповыхкодов.

Свойство9

.1. Групповойк, бнаруживаюд

щийвсепачкиошдлиныбок

l

именее,должен

l проверочныхсимв

соде,покрмержатьайн, ей

олов.

Вслучаециклическогокодаэтнижняяграндлпроверослаца

чныхсимявляетсяолов

точной.Действительно,любаякодкомбинацияваяциклическогокодаможет

ытьпредставленакак

произведение g(x) qi

(x),где g(x) – порождающиймногочлкодастепени

n-k.Значитка

ждаякодовая

комбинацциклическогокодасодержилияпачкудл тны

n–k+1комбинации(

g(x), xg(x), ..., xk −1 g(x))илинейнуюкомбинациюцикли

ческисдвинутыхпачекдлины

n–k+1,

суммакоторыхвсегдадаетпачкубольшейдлины,т..справследсвойствоующееливо.

Свойство9

.2. Любойциклический(

n, k) – кобнаруживаетдвсепа

чкиошибокдлины

(n - k)

именее.