конспект лекции__1

Операцияумнскаляроженияподчиняесочетазакону,напримертсяельному,

1 (1 001) = 1 001 = 001

или

(1 1) 001 = 1 001

.

= 001

Такимобр,н комбинацийбзор000,011при001,введопер010укнииавышецийзанным

спосудобомвлтребтворяет

ованиямвекторногопространства.

Рассмотрпримпоказывает,чтодлярнныйдвоичногослучаясвой

ствавекторного

пространвосновномопределвойствамибегрунылевой

ппы.

Сформулинекотопонятияопруые,относящиесяделмкв ния

кторномупр

остранству.

1)Сложениеве

кторов

Пусть

V

и U

-

двектора

n

–

мерноговекторногопро

странства

V = (v1 , v2 , …vn ),

U = (u1 , u2 , …un ), где

vi , ui - скалярыдвоичные( элеме

нты)Тогда. суммойэтих

векторовбудемназыновекторыйаь

W ,образ ованныйпоследующемупр

авилу:

V +U = W = (v1 + u1 , v2 + u2i , + …+ vn + un ) .

2)Умножениевекторанас

каляр

Пусть V = (v1 , v2 , …vn )

вектор,а

с – скаляр.Умножениевекторанаск

алярдаетновыевектор,

образованныйпоследующ

емуправилу:

c V = (c v1 , c v2 , …c vn , ) .

3)Скалярноепроизвве дение

кторов

Пусть V и U векторы:

V = (v1 , v2 , …vn ), U = (u1 , u2 , …un ) .Скалярнымпр

оизведением

векторовназываетсяскалярдвоичный( элемент),образова

нныйпоследующемуправилу:

c = v u = v1 u1 + v2 u2 + ... + vn un

Знак“+”здеимеетсмысльслож

енияпомодулю2.

Ескалярноелипроизведенвекторвекторыравн0,такиеназ

ываюортся

огональными.

4)Линейнаякомбинацияве

кторов

Линейнойкомбинациейвекторов

V , U , …,W

называютвектор

Z ,обр

азованныйпо

следующемупр

авилу:

Z = c1 V + c2 U + ... + ck

W ,где c1, c2 , …, ck

- скалярыдвоичные( эл

ементы).

5)Линейнаяза

висимостьве

кторов

Если V1 , V2 , …Vk естьвекторы,

c1, c2 , …, ck

естькаляры,причемх

отябыодинизнихне

равен0,тоуказнаборыйвекторовазываетсялине

йно-зави,еслиимым

c1 V1 + c2 V2 + ... + ck

Vk = 0

Вэтомслучае,когдаэтасумм

аобращаетсяв0чистон(

улевойвек00то…лишьрлькопри0)

равенствеехкаляровнулю,этотнаборвекторовназыв

аютл

инейно-независимым.

6)Базисвекторногопространства

68

Вектпространствоноеазмерности

n (n – мерноевекторноепр

остра)сознствоаче

нием

скаляровили0 содержит1 составеоем2

n различныхвекторов.

Этопространствоможетбытьохарактеризованобазисом,

остоящимиз

n линейно

независимыхвекторов.Всеостальныевекторыможнополулинейныхчитьтемкомбинацийбазисных

векторов.

Подпространство n – мерноговекторногопространства

змерности k,где

k<n,содержит

2k различныхвекторов,выбранныхна2

n

векторов,соста

вляющих n –

мерноепространс

тво,таким

образ,чтоудомвлетвсетребованияоряютсяекторногопространства.Л

юбойнабор

из k линейно-

независимыхвектоданнпространстваго

ожетслужитьегобазисом.

Пример5

.4. Наборвекторов000, 001,образует010,3 011, 100, 101, 110,

111

-мерное

векторноепространство(2

3 векторов)Егобазисом. могслследующиежитьтро

йки векторов:

001,или010,ит.д.10011, 110

Спомощьюбазисныхвекторов

жнополюбойучитьдругойвекторданного

3-

мерногопространства.И

спользуялинейнуюко

мбиназисныхвектцию

оров

V = с1 (001) + с2 (011) + с3 (110),

получим,например,

вектор101Дляэтого.надовзять

c1 = 0, c2 = c3 = 1,тогда

V = 0 (001) +1 (011) +1 (110) = 000 + 011+110 = 101.

Подбором ci можнополучитькаждыйвекторрассматриваемогопр

остранства.

Впримере5

.3мыуста. ,чтнаборвевили

кторов0

00, и0удовлетворяет011, 010

всемтребованиямвекторногопр

остранства.

Поотношениюкполномунаборувекторов3

-мерноговекторногопр

остранстваданный

наборвекторовявляетсяподпространс

твомразмерности2.

Егобазисы

&001# &010# &001#

!, !или

!.

%010 %011 %011

5.2.2Способыпредстакодовыхмбинления

аций

Шипрокоеименевтеориикодированияашлопредставление

овыхкомбввиденаций

векторовнекотовекторногоп

остранстваилимногочлотформальнойеизвестнойнов

х.Для

двоичныхкодовтакоесоо

тветствиеу

станавливаетсяследующимобр

азом:

(a1, a2 , …, an ) a1e1 + a2e2 + ... + anen ,или (a0 , a1 , …, an−1 ) a0 x 0 + a1 x1 + ... + an−1 x n−1 ,

где аi – элементкодомбинациивой;

ei _ opm

n-мерного векторногопр

остранства;

х –

формальнаяпереме

нная.

69

Такимобразом,множествокод мбинацвых

ий n – элементногокодаможнопредставитьлибо

совокупностьювекторов

n-мерноговекторногопр

остранства,л

ибосовокупностьюмногочленов,

степенькоторыхнестарше

n – 1Такое. представозможаетввестилдействияниеадость

кодовымимбин

ациями,а

налогичныедействнадвекторамиилимногочленамиямиспод яьзовать

построениякорректирующихкодовалгебраическиесист

емы,описавыше.Так,нныеп, римеро

аналогиисоперацияминадвектор

ами n –

мерноговекто

рногопр опстправилоанстваеделим

сложениядвух

n – элементнкодомбинацийвыхследующимхобр

азом:

(a1 , a2 , …, an ) + (b1 , b2 , …, bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , …, a2 + bn )

Вэтомслучае,когдаэл кодментамиомбинациивойявляютсядв

оичныеэлементы01,

торезультирующаякодкомбинацияваяпол

учаетсяпутемпоразрядногосложениямодул

ю2

исхкодных мбинаций.

Умнкокджеомбинациивойскаляриедвоичный( элемент)опр

еделимпр

авилом

с (a1 , a2 , …, an ) = (сa1 , сa2 , …, сan )

Подскалярнымпроизведениемдвухкод мбинацийвыхдлины

n будемпониматьскаляр

(двоичныйэлемент),получаемыйследующимобр

азом:

(a1, a2 , …, an ) (b1, b2 , …, bn ) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 +…+ an bn

Ескалярноелипроизведениедвухкод мбивыхрав0,тотакиенкодацийомбинациивые

будемназыватьортогональн

ыми.

5.2.3Определениегрупповогок

ода

Группназываюкодомтакойкод,множес

твокодомбинацийвыхкоторого

образуетгрупподгруппу( ) операции

оразряднсложенияпомодулю2го

Есливкодомбинациивойгрупповогокодаизвестныместанформ

ационнизбыточных

элементов, такойгрупповойкодназываютсист

ематичес.Всистематическиходахимвведение

избыточностивкод мбинациивыеосущеосноветвляетсявязимеждуинформационными

избыточнымиэлемент.Назвсистем“ аниеми”кодуавследтиченоский

твиетого,чтосвязьмежду

информациэлементамиизбытозадчными

аетсяввидесистемлинейныхсоотно

шений.Итак,

систематическийкод

– этораздел имыйгрупповойкод.Группструктуобеспечиваетядемуряда

важныхсвойств.

Свойство5

.1Миним. кодовоерасстльнгрупповяние

огокодаравноминимальному

вененулевыхсугокодомбин

аций.

Действительно,кодовоерасстмеждукомбинациямияние

пределяетсякаквессуммы

двухкомб.Всисвойствалунацийзам

кнутостисуммадвухкомбинацийтакжеявляетсякодовой

комбинаци,т..таблицекодовыхра й

сстоянийгрупповкодансоозначногответствуетаблица

весовк

одовыхкомбиданногокода,разацт,тминимальнкй кодовомурасст му

яниюв

группкодесоответствуетвомненулекодкомбваяинация

имальнымвесом.

Другиеважныесв,ойствабусловленныегрупповойструкт

уройкодов,будизувтчены

связисматричнымописаниемэтихк

одов.

Длягрупповыхкодовсуществуетспециальноеобознач

ение (n, k) – код,где

n - длина

кодомбинациивой,

k - чинформационныхслоэлеме

нтов.

5.2.4 Матричописаниегрупповыхк ое

одов

Отождествлениекод мбинацийвыхгруп

повыхкодовсвекторамипозволяетупроститьих

заданиеопис

ание.

Известно,чтовекторноепространствооднозначноопределяе

тсясвоимбазисом.Поэтому

естественностремленвекторногоиспользоватьбаз пространствадляописания(

n, k) – кода,

соответствующегоданномувекто

рномупространству.Испобазисанятиельз,можнотве

рждать,

чтодляписания(

n, k) – кодадостатиспользоватьчно

k линезависимыхйнокод

овыхко

мбинаций,

т.е.справслед: ующееливо

Свойство5

.2Групповой. (

n, k) – кодполностью

пределяетсянаборомиз

k линейно

независимыхкомбинаций,принадлежащихэтому

оду.

Обычноэти

k линезависимыейнокомбинациизаписываютвидепрямоугольнойтаблицы

-

матрицы,имеющей

k строки

n столбцов,гдестр

окамиявляютсякодомбинвые

ации.

Поана логиисвекторнымпространствомвсеостальныекод вые

мбинациимогутбыть

полулинейнойчт комбинацииныстрокпострое

ннойматрицы.Всвязиэтуказаннуюм

пряматоугольнуюпринятоцу

азывать порождающейматрицейгрупп

овогокода .

Дляпорождающей

матрицыбудемиспобользначениеовать

G (n, k).Размепорождающейность

матрицы(

k× n).

Пример5

.5. Построим(5, 3)

– код.Таккодиметьйлжен

2k = 23 = 8 кодомбинацийвых.В

качествеинформационнойчастииспользуем

всевозможныедвоичныепоследовательностидлинытри.

Условимсяпервыедвазрядакодомбинациивой

a1 , a2 отвподизбыточныеитьэлементы;атри

последние a3 , a4 , a5

подинформационные.Пустьпроверочныеэлеме

нтыформирую

тсякаксуммапо

модулюопределенных2 информационныхэл

ементов:

a1 = a3 + a4 ; a2 = a4 + a5 .

Используятакойпринциппостроениякод мбинациивой(5, 3)

– кода,получаемвсеего

комбинациивследующемв

иде:

Простойкод

(5, 3) –код

Вескодомбвой

инации

1

001

01001

2

2

010

11010

3

3

011

10011

3

71

4

100

10100

2

5

101

11101

4

6

110

01110

3

7

111

00111

3

8

000

00000

0

Анализируявесакодомбинацийвых,приходквыводу,чтомн

имальнкодовое

расстояниевданномкодеравно2.

Вэтомможноубедиться

,постртаблкорасстодовыхицу

янийдляданногокода:

00000

00000

01001

11010

10011

10100

11101

01110

00111

0

2

3

3

2

4

3

3

01001

2

0

3

3

4

2

3

3

11010

3

3

0

2

3

3

2

4

10011

3

3

2

0

3

3

4

2

10100

2

4

3

3

0

2

3

3

11101

4

2

3

3

2

0

3

3

01110

3

3

2

4

3

3

0

2

00111

3

3

4

2

3

3

2

0

Можноуказатьнесктроеклинейнолько

-независимыхкомб

инацийэтогокода.Например:

4.

10100

4.

10100

4.

10100

2.

11010

5.

11101

6.

01110

1.

01001

6.

01110

7.

00111

итакдалее.

Каждыйизэтихнабкомбинацровможетслужпорожиматрицейтьданногоющей

(5, 3) –

кода.

Предпол,чтовкачествеорождающейжимматрицы

нногокодавыбраны(5,кодовые3)

комбинации

&1

0

1

0

0#

G(5, 3) =

1

1

0

1

0!

1

0

0

!

0

1!

%

Покажем,чтовсекодовы

екомбинациимогутбытьполученыкак

инейныекомбинации

Аналогичноможнопоказать,чтолюбойдругойнаборлине

йно-независимыхкомбинаций

портожесамыйждаеткод.

Преимуществоматрично

гоописаниякочедовпосраидно

внениюсперечислениемвсех

кодомбинацийвых.Дейс

твите,есл( ьнои

n, k) – кодсодержит2

k комбинаций,тодляегозадания

требуетвслишьяего

k кодомбинацийвых.

Предсиноптеавляделитьречисловозможныхпорожда

ющихматдлягрицупповых

кодовспараметрами

n и k.Дляэтогоподсчитаемсколькимиспосможнонабратьбами

k линейно

независимыхстрокпоро

ждающейматрицыиз2

k – 1кодомбвыхчисто(нулеваянацийк довая

комбинация,есте,исклютвенно)В.качесаетвся

епервойстрмбытькижетвыбраналюбаяиз2

k – 1

кодомбинацийвыхт.(е. 2

k – 1способ)Таккак. средиодвкомбинацийвыхнетповторяющихся,

качествевторойстрм выбратькижнолюбуюоставшихся2

k – 2комбинаций(2

k – 2способов)При.

выборе трестслрокиьей

едуетисключитьизрассмотрзаписанных,кромдвухестрок,ихсумму,

т.е.третьястрмобытьжеткав

ыбрана2

k – 22 способами.Рассуждаяаналогично,наход,чтопр м

выборе i– тойстрокиследуетисключитьизрассмотревселинейко нияые

мбинации(

i - 1)

предшествующихстрок,.. 2

i – 1 комбинаций.

Общеежечислонаборов

k линезависимыхйнокомбинацийизмн

ожества2

k

кодовых

комбинсостчислоавц тй

k −1

M (n, k) = (2k − 20 )(2k − 21 )...(2k − 2k −1 ) = ∏(2k − 2i ).

i=0

Длягрупповогокода(5,

3)полнчисловозможныхепорождающих

матрицоказывается

равным

M (5, 3) = (23 − 20 )(23 − 21 )(23 − 22 ) = 7 6 4 = 168

Стбольчисловозможныхшоепорождающихматрицдля(

n, k) - кодазатрудняетих

исподзаданияльзк.одвание

Дляоднознзадкодапорниячноматрицейстиждающейвводятпон

ятиео

канонической

формепор

ождматрицыющей

.

Каноническаяформапорождающейматрицыимесл ду

ющийвид:

G(n, k ) = [ Rk×(n−k ) , I k ],

где Ik – единичнаяматрицаразмерности(

k× k),тоестьтакаяквадратнаяма

трица,укоторойна

главдиагоналинаходятсяойединицы,

авсеостальныеэлементы

– нули.

Ik содержитинформационные

элементыкодомбинвх

аций,образующихпор

ождающуюматрицу.

Rk×( n−k ) - матрицаразмерности

k × (n − k),составленнизпроверочзисныхэлемебаякоднтоввых

мбинаций.

Длярассмотревышекода(5,кан3)оническаягоформапорожда

ющейматрицыимеет

вид:

&1

0

1

0

0#

G(5, 3)

=

1

1

0

1

0!

1

0

0

!

0

1!

%

Влинейнойкомбинациистр

окпорождающейматри5мерацы

.5скаля. пристврокахы

свсовокупностиейповторяютинформационнуючасть

ыскиваемкокдйомбинациивой.Изэтого

вытекаетважныйвыв:дляподл

учениякодомбинациивой(

n,k)-кодапоееинформационнойчасти

необходиумпоноследовательностьжитьдлины

k, являющейсяинформационнойчастьюкодовой

комбинации, порождающуюматрицуэтог

окодавкан

оническойформепоправиламумножения

матриц:

( k- последовательность)×

G(n,k)=[комбинация(

n,k)-кода].

Матрица G( n, k ) можетбытьпреобразкканоничефпванарлюбоммесхкнаборедномй

базисныхкодомбинацийвыхпосредств

омэл

ементарныхоперацийнадстроматрицыкот, ами

орые

включают:

3)прибавлепроизведенияодстрокойматрицыиенаскалярдр

угойстрокематрицы;

Порождающаяматрица(

n, k) –

кодавканонич

ескфозадармейтотжсамыйекодт,чтои

исхподнрождающаяма,т.к.прострарица

нствастрокэтихматрицсовпадаютсилувыполнения

свойствазамкн

утости.

Пример5.6Рассмотрим. процедуруприведенияматрицы

G(5, 3) кода предыдущегопримера

кканоническ ойформе.

&1

0

1

0

0#

G(5, 3)

=

0

1

1

1

0!

0

0

1

!

1

1!

%

Первстрокам соответствуятрицыканоничформе,вто скойтдолжныетьяаябыть

преоб.Пркоибаазовт ваныим

оройстрокепеи вуюзапишемульвотстрокеоройатма

трицы:

&1

0

1

0

0#

G(5, 3)

=

1

1

0

1

0!

0

0

1

!

1

1!

%

&1

0

1

0

0#

G(5, 3)

=

1

1

0

1

0!

1

0

0

!

0

1!

%

Ит,каноническаяформаматркода(5,цымеетуже3)

звестныйвид.

Следуотм,чтоесэтитьлиемеопернстадрциипокаминые

орождающейматрицы

врезульдаюв тате

точностотжесамыйкод,тпримэленмеопернкстолбцамрныхиеаций

матрицыприводиткновомукоду,корректирующиесвойствакоторогом гуттличатьсясвойств

исходнкода.Т лишьголькоперестановкастолбцовнеизмкодсовняет

овыхкомбинаций,

ав

некоторыхслучаяиихвида.Поэтому(

n, k) – коды,п

олученныеизматр

ицы G( n, k ) некоторого(

n, k) –

кодаперестановкойстолбцовэтойматрицы,называют

эквивалентными.

Такимобразом,перестановка

столбцовпорождающейматрицы(

n, k) – кодапорождающуюетматрицудляэквивалентногокода(

n,

k) – кода.

Заметматрица,чтоед ничная

Ik вканоническойформепорожда

ющейматрицыможет

находитьсялибопередматрицей

Rk×( n−k ) проверочэлеме,либопосленвеезависимоститовых

оттого,

гдевкодомбинациивойрасполагаютсяинформацио

нныеэлементы

– вначалеиликонце

комби.Пообнэ ятиеаци

квивалентностикодовпознаходоляетканоническуюформуть

порождающматрицынеразделимгрупповкодай. ого

Шипрокоеименнашелта ние

кжеидругойспосматричногобпис

аниякодов.

Сущнегосвокследующемудитсясть.Еслиз

аписатьправилоформированиякаждихпр говерочных

соотношенийкодомбвойвидевекторанацииизнулейединединицы,гдеуказывают,какие

элементык

одовойкомб

инацииохваченыпровна ,тркпноолучимстьй

n-k векторов.Такие

векторыполучилиназвание

проверочных.Таккаккаждыйпров

ерочныйвекторотражп новаеркут

четность,введеннуюлюбойякод

овойкомбин,тоспрславедливоции

едующее.

Свойство5

.3С.

калярноепроизведениелюбойкодкомбвой

инациипровекторрочный

равнонулю.

Действительно,обозначимпровечерезкторрочный

H = (h1 , h2 , ..., hn ),акодовую

комбинациючерез

V = (v1 , v2 , ..., vn ) ,тогдаихск произведлярное

ениеравно

V H = v1h1 + v2 h2 + ... + vn hn

= ∑vi hi .Суммаберетсяпов емлага

емым,вкоторых

hi = 1,т.е.

сводитсяксуммеэлементвойкодо

мбинации,охваченныхпровна ,тнркпотомуэтастьй

суммадолжныдатьЗап0.

исываяпровекторапрямоугольнуюрочныетабли

цу,получим

проверочнуюматрицукода

,обозначаемую H(n, k) иимеющуюразмерность

(n − k) × n .

Единицына

позициях,соответствующихинформационнымэлементамк

одовойкомбин,указывают, киеци

75

информациэлеменучасв товуютнные

рмировании проверочэлеме,аединицанапотазицияхго

избыточнэлементовуказывает,какойименнохпроверочэлемеобрнтый

азованданнойсуммой

информационныхэлементов

Таккаккаждыйполученныйтаким

бразомпровекторрочный

отличаетсядругих,покра

йнеймер е,видомэле,соответствующихентовизбыточнымразряда,

все( n-k)проверо чныхвектораявляютсяинезависимымийно.Этозначает,чтоматрица

H(n, k)

являетбазиподпространстваяом

n – мерноговекторногопространстваразмерности(

n-k),каждый

вектор которортлюбойогокодналенвой

мбин.Таподпрострциикоеназываютнство

нулевым

пространствомкода

или двойственнымкодом.

Двойственный

(n,k)-код,

(n,n-k)-код,

Полпространство

Подпространство

размерности(

n-k)

размерности k

G(n,k)

H(n,k)

Рис5.5

Векторныеподпространствапостроенныенаосновепорождающей

G(n,k)ипроверочной

H(n,k)

матриц

Проверочнаяматрицапозволформализоватьпроцессет

ычисленияпроверочных

соотношенийдлюбойякод мбинациивой,сведяегокпр

оизведениюкодомбинациивой

проверматрицправиламочну ую

множенияматриц:

V × H T

= 0,тоесть

некоткораямбинация

V

принадлежит(

n, k) – кодутогдаитолькотогда, онагдартогональнакаждстрокематрицый

H(n, k). Соотношение v × H (Tn, k )

лежитвосновепроцедурыкодиров

аниядлягрупповыхкодов.

Врезультатеумножпринятойкомния

бинматциипрполучоверокицу

аемвекториз(

n-k)

символов,называемый

синдромом.Вслучае, лииндромчиснулев,ткодкомбинацияйвая

считаетсяпринятойбезош.Прналивсбочноичиидроенулкомпонентфиксвых

ируетсяналичие

ошибоквкодовой

комбинации.

Пример5 .7. Длярассматриваемоговышегруппового(5, 3)

- кодапр

оверочныевектора

имеютвид:

76

1 0 1 1 0

(a1 + a3 + a4 = 0),

0 1 0 1 1

(a2 + a4 + a5 = 0).

Проверочнаяматрица:

H

&1

0

1

1

0#

(n, k ) =

1

0

0

!

%0

1

Двойственныйкодсод

ержиткомбинации4 :

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

Это(5,2)

– кодс

dmin=3

Каноническаяформаматрицы

H(n, k) имеслевиддующийт:

H (n, k ) = [I n−k R(#n−k )×k ],

где In-k – единичнаяматрицаразмеров

(n − k) × (n − k)

занимаетме

ста,соо

тветствующие

избыточнымэлементамкод вой

мбинации;

R(#n−k )×k

- матрицаразмеров

(n − k) × k ,расположеннаяместах,соответс

твующих

информационнымэлемент;каждстрокаэтойматрицыяуказыв

ает,какиеинформационные

элементы

кодомбинациивойохваченыпрове

ркаминачетность.

Видматрицы

R! устанаосновеиваетсяледующегосво

йства.

Свойство5

.4.

Если G(n, k ) = [ Rk ×(n−k ) I k ] естьпорождающаяматрицасист

ематического

(n, k) – кодавканоничес

койформе,тонулевоепространс

твоэткпорождаетсядагоматрицей

H (n, k ) = [I n −k RkT×(n−k ) ].

Доказательствоэтогосв йстснонаследующихыврассуждется

ениях.Поскольку

любаякодкомбинацияваяприум транспоножении

ированнуюпроверматрицдолчную

жна

давать(

n-k) – разрядныйнулевовек,тоэтжеорезультаттдолженбытьполученприумножении

каждстрпоройки

ждающейматрицынапроверочнматриц,,следователь,иумножеюниео

матрицы G( n, k ) наматрицу

H(Tn, k )

даетнулевуюма

трицуразмеров

k ×(n − k),т.е.справедливо

равенство G(n, k )

H(Tn, k )

= 0.

Решениеданногоматричуравпозвногоустаненияляет

овитьвидпроверочной

матрицы:

G(n, k ) H (Tn, k ) = [ Rk×(n−k ) I k ]×[I n−k R(!n−k )×k ]T = Rk×(n−k ) I nT−k + I k R!T = Rk×(n−k ) + R!T = 0,

77