Частные интегралы этого уравнения при указанных выше гранич­

ных условиях и при k% N°i, N 2, С, h, рассматриваемых как по­ стоянные величины, могут быть определены в такой форме:

Внося (4,5,4) в (4,5,3) и совершая согласно (4,5,2) необходимые операции дифференцирования, получим после простых преобразований формулу для всех частот собственных колебаний пологой, шарнирно опертой на прямоугольном контуре оболочки:

Наименьшая частота, соответствующая основному тону колебаний, при

т = п = \ будет

Если оболочка очерчена по части сферической поверхности, то при

Формула (4,5,7) показывает, что наименьшая частота колебаний будет иметь наименьшее значение для оболочек отрицательной гаус­

совой кривизны [7].

U fa

Эта частота при —\ = -----L совпадает с частотой собственных

сг

колебаний шарнирно опертой на всем контуре прямоугольной пласти­ ны:

Впрочем, учитывая, что пластины представляют широко распро­ страненный конструктивный элемент и потому имеют практический инте­ рес, выясним более детально постановку и методы решения задачи о колебаниях плоской пластины.

§ 6. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ

Пусть однородная, анизотропная (вообще неортотропная) пластина произвольной формы с произвольно закрепленным или свободным кон­ туром подвержена импульсу некоторых усилий, распределенных по по­ верхности. Пусть эти усилия сообщили частицам, расположенным на срединной поверхности, прогибы и скорости, направленные перпенди­ кулярно к недеформированной срединной поверхности. Примем за на­ чальный момент времени тот, при котором пластина мгновенно разгру­ жается от всех внешних нагрузок. Получив начальную деформацию и скорость, пластина будет совершать свободные поперечные колеба­ ния [2].

Совмещая направления осей х и у с главными, путем обычных рассуждений приходим к уравнению движения анизотропной пластины

Прогиб w должен удовлетворять граничным условиям, зависящим от способа закрепления контура пластины, и начальным условиям

где w 0— заданный начальный прогиб в точке (х, у ) .

Полное решение вопроса о колебаниях пластины сводится к опре­ делению прогибов в любой точце для любого момента времени. Одна­ ко важнейшей частью задачи является нахождение частот собственных колебаний и собственных функций, ибо значение их необходимо для установления динамических напряжений, вызванных переменной нагруз­

кой.

Опишем кратко ход решения методом Фурье задачи о свободных поперечных колебаниях пластины.

Следовательно, полный прогиб представляется как результат наложе­ ния бесконечного числа прогибов, меняющихся с течением времени по закону простых гармонических колебаний с частотами р тп.

В более общем случае, когда плабтина лежит на сплошном упру­ гом основании с коэффициентом постели с и подвергается действию продольных усилий N x, N v, N xy, не меняющихся с течением времени, уравнение собственных поперечных колебаний будет

Для определения частот собственных колебаний и собственных функций можно применить тот же метод Фурье, который в этом случае приводит к более сложному, по сравнению с (4,6,9), уравнению для функции W ( x , у ) .

В качестве иллюстрации рассмотрим пример определения частот собственных ко­

которое получится, если приравнять определитель однородной системы нулю.

Каждому значению m= 1, 2, 3, соответствует бесконечный ряд частот Р т п , так как уравнение Д(р)=0 получается трансцендентным и имеет бесконечное число ре­ шений.

Из приведенных здесь рассуждений легко установить, что точное определение частот пластины связано с большими трудностями.

Для практики наибольший интерес представляют частоты основ­ ных тонов; нахождение их можно осуществлять приближенным мето­ дом, при этом в ряде случаев удается быстро, без интегрирования'диф­ ференциальных уравнений, например, методом Релея—Ритца. Пока­ жем это.

Пусть упругая пластина свободно колеблется с частотой основного тона как система с одной степенью свободы, состояние которой опре­

где W ( x , y ) есть функция, удовлетворяющая граничнымA ‘ условиям и изображающая приближенно форму изогнутой поверхности колеблю­ щейся пластины.

Составим уравнение движения Лагранжа 2-го рода при одной сте­ пени свободы, которое имеет вид

Здесь и далее точка над буквой обозначает дифференцирование по времени; Т — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия си­ стемы.

Для ортотропной и однородной пластины Т к V будут

которое также удовлетворяет всем граничным условиям. Первое при­ ближение для частоты основного тона получим, полагая

Для изотропной квадратной пластины получаем

(4,6,55)

Сравнение выражений (4,6,51) и (4,6,55) дает незначительную разницу; она составляет 3,33% по отношению к меньшей.

§ 7. в ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я о б о л о ч к и , п о с т а н о в к а з а д а ч и

Выпишем систему дифференциальных уравнений осесимметричных гармонических колебаний тонкой упругой оболочки вращения в линиях главных кривизн, которая, как известно [8], имеет вид

Здесь Ro — некоторый характерный радиус кривизны оболочки, р — без­ размерный параметр частоты колебаний; остальные обозначения обще­ приняты; множитель cosco£ при искомых величинах опущен.

Соотношения упругости для тангенциальных усилий имеют вид

1 — V®