книги / Статистический анализ временных рядов

yt- 2, ... (всему прошлому) для случайного процесса {yt} со средним

Это условное математическое ожидание будет, конечно, зависеть от распределения величин yt, yt-1, •••, yt-P или вероятностной меры для yt, yt—.......... Если процесс гауссовский, то условное математи­ ческое ожидание будет линейной функцией от yt—i, yt-2, ..., yt-p или от yt-1, yt-2, ...; в других примерах оно может и не быть ли­ нейной функцией.

линейных функций. В таком случае S (yt — ytf зависит только от {а(Л)}. Эту проблему удобно сформулировать в терминах геомет­ рии гильбертова пространства.

Линейное многообразие есть непустое подмножество гильбертова пространства, такое, что ах + f>y для каждых действительных а и р принадлежит подмножеству, если х и у принадлежат этому подмножеству. Линейное многообразие замкнуто, если оно содер­ жит предел каждой последовательности Коши, содержащейся в нем. Конечное или бесконечное множество точек гильбертова про­ странства может порождать замкнутое линейное многообразие, которое состоит из всевозможных конечных линейных комбинаций точек этого множества и их пределов. Говорят, что замкнутое ли­ нейное многообразие натянуто на исходное множество точек этого пространства. Замкнутое линейное многообразие является гиль­ бертовым пространством и называется подпространством.

стоянию, определяемому нормой) к точке yt. В § 2.2 мы уже рассмат­ ривали этот вопрос для Г-мерного евклидова пространства с нор­

единственным_образом вектор г, такой, что у — г ортогонален этим

р координатным векторам (и, следовательно, ортогонален каждому вектору линейного многообразия). Покажем теперь, что это решение: имеет место и в общем случае гильбертова пространства.

Используя понятие скалярного произведения (х, у), два эле­ мента х н у будем называть ортогональными, если (х, у) = 0. Это. можно записать так: х _1_ у.

Теорема 7.6.5. (Теорема о проекции.) Если М — подпростран­ ство гильбертова пространства Ж и у—элемент в Ж, то существует

следовательность существует по определению минимума.) Дока­ зав, что последовательность {х(п)} является последовательностью* Коши, получим существование элемента х . Имеем

тельность Коши и существует предел х этой последовательности. По следствию 7.6.2 || у — х || = d.

Для любого элемента г £ М

(17) d? < ||у '—х — a z f = ||у — Jff — 2 (у — х, ссг) + ||аг||2 =

— d2 — 2a(y — x, 2) + а 2 ||гр.

Если у $ М и, следовательно, у — х =£ 0, то неравенство выпол­ няется для любого а, если только (у — х, г) — 0 , т. е. если у — х ортогонален г.

Если существует другой элемент х ', такой, что || у — х' || 2 = d2,.

внутри подпространства, порожденного ut, ш~\.........Определим V, следующим образом:

Д оказательство. Д ля доказательства детерминированности про­ цесса {о,} нужно показать, что замкнутое линейное множество, ко­ торое натянуто на vt, o,_i, ... (обозначим его Mtv) есть М—*>, т. е. нужно показать, что Ми, = Mt—\>v = ... = А1»». Тогда vt есть линейная комбинация (может быть бесконечная) элементов о,_i,

Vf-2, ... .

Лемма7.6.1.

7 .6 . ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО И ТЕОРИЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 459

460 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Гл. 7.

Остается показать, что спектральная плотность для (41) есть

(43) - g - |B - ' (е_ ‘х) |2 = / (Я).

В большинстве случаев задачу прогнозирования можно рассмат­ ривать как нахождение Ьъ Ь2.......которые минимизируют

ЛVs=i

Таким образом, мы хотим найти такую функцию В (er~iK)

X \В (е~а) — 1] равны нулю.

Более определенные результаты получены Акутовицем (1957), их мы приводим без доказательства.

ограничен при р ->■ 1.

Говорят, что функция 1/Г(г), регулярная в круге |z| < 1, при­ надлежит классу Харди Я2, если интеграл (48) ограничен при р -> 1. [См. Зигмунд, (1959, т. I, гл. VII, разд. 7); см.,также Гренандер и Розенблатт (1957, стр. 288).]

Т еорема 7.6.10. В условиях теоремы 7.6.9 наилучшим линейным, прогнозом будет '

(49) - 2

г= 0

Теория прогнозирования развивалась независимо Колмогоро­ вым (1941а), (194 lb) и Винером (1949) (первоначальная публикация ограниченного распространения — в 1942 г.). Парзен (1961а) ис­ пользовал подход, основанный на теории гильбертовых пространств.

7.7. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Распределения многих статистик, представляющих интерес для анализа временных рядов, слишком усложнены, чтобы ими можно было пользоваться непосредственно. Однако в ряде случаев можно получать предельные распределения, которые используются как аппроксимации к точным распределениям, когда число наблюдений Т велико. В этом параграфе мы рассмотрим несколько предельных теорем довольно общего характера.

Метод нахождения предельного распределения последователь­ ности случайных величин заключается в нахождении предельного распределения аппроксимирующей последовательности (как в § 5.5).

в каждой точке непрерывности функции F (г). Тогда

(5) lim Pr {Sr < z} = F (г)

T-+OQ

в каждой точке непрерывности F (г).

Д оказательство. И з условия (2) следует, что Хкт сходится по вероятности к 0 равномерно по Т при k -*• оо. Так как функция F (г)

Выберем б так, чтобы выполнялось (6 ), и возьмем k таким, чтобы k >