книги / Статистический анализ временных рядов

?.5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СТАЦИОНАРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ 44£

по абсолютной величине меньше 1, то, решая уравнение (38), получаем

так как правая часть (41) — спектральная плотность процесса {и,}. Таким образом,

Как показано в разд. 5.2.1, из стационарности процесса {yt} и о2 > О следует, что ни один корень уравнения (39) не может иметь абсолют­ ное значение, равное 1. Это эквивалентно тому, что знаменатель в выражении (42) не обращается в нуль, и, следовательно, / (к) ин­ тегрируема.

(46)f(k) = i

2л | еГЛ + P / X+ Р212

относительные максимумы. Если корни комплексно сопряжены, •скажем ре±е'4>, То

2я [(1 — р2)2+ 4р2(cos ij) — cos к)2 — 4р (1 — р)2cos \|) cos >.]'

Если р близко к единице, то f (X) принимает максимальное значе­ ние в окрестности X = ± ф.

В общем случае спектральная плотность есть произведение вы­

ражений вида (44) и (47). Если корень х;- = р,ё^, причем р/ близко к 1, то функция f (X) принимает максимум при значении X из окрест­ ностей точек ± ф/.

Спектральную плотность (42) можно записать в виде

(48) /(*,) = 2

2л I ^ Рre‘Mp- ' )

Каждый множитель \ё %— х, | в выражении (48) можно заменить на

здесь, однако, нет корней, равных по абсолютной 'величине 1. Если все корни выражения (39) по абсолютной величине меньше 1,

| \/xj | > 1 ,тогда только формула (48) является выражением, ко­ торому соответствует уравнение со всеми корнями, меньшими •единицы по абсолютной величине.

7.5.4.Процессы авторегрессии с остатками в форме скользящего среднего

Предположим, что возмущение в стохастическом разностном урав­ нении является процессом скользящего среднего, а именно

Это выражение является рациональной функцией от ё х. Числитель и знаменатель можно записывать различными способами. Потребу­ ем, чтобы корни полинома, соответствующего знаменателю, были меньше 1 по абсолютной величине, а корни полинома, соответству­ ющего числителю, были не больше 1 по абсолютной величине. (Например, 1 может быть корнем числителя, но не знаменателя, если а2 > 0; см. теорему 5.2.2.) Мы также предположим, что эти два полинома не имеют общих корней. (Если существуют общие кор­ ни, то числитель и знаменатель можно сократить на соответствую­ щие множители.)

Произвольную непрерывную спектральную плотность можно аппроксимировать рациональной спектральной плотностью. Дей­ ствительно, любую непрерывную спектральную плотность можно аппроксимировать спектральной плотностью процесса скользящего среднего. Это следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими функциями. Эта теорема утверждает, что если к (А) — непрерывная функция на отрезке [—я, я], причем k (я) =

(См., например, Лукач (1960, Приложение С).] Если k (А) = к (—А), то hm (А) можно считать симметричным (так, если бы аппроксими­

рующий полином h*m (А) не был симметричен, то можно было выбрать

446 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Гл. 7.

Т еорема 7.5.2. Если спектральная плотность /(А) непрерывна. то для произвольного г ~> 0 существует спектральная плотность

скользящего среднего (17) с положительной спектральной плотнос­

зуя теорему 7.5.2, произвольную непрерывную спектральную плот­ ность можно аппроксимировать положительной спектральной плот­ ностью (54).и

С ледс тви е. 7.5.2. Если спектральная плотность f (А,) непрерыв­ на, то для произвольного г >* О существует такой процесс авторег­

— fc (ЧI < е/2. Так как плотность fc(А) непрерывна и положительна на отрезке [—я, я], то 1lfc (А) = g (А) тоже непрерывна, положитель­ на и ограничена и представляет собой спектральную плотность стационарного процесса. Из следствия 7.5.1 вытекает существование такой положительной спектральной плотности процесса скользящего

представляет собой спектральную плотность процесса авторегрес­ сии с р = q и

(66) I f c W - f o W I - f r k — T n H - и £ (Г м Г < т « -

Это доказывает следствие.

Таким образом, непрерывную спектральную плотность можно сколь угодно точно аппроксимировать спектральной плотностью процесса скользящего среднего или спектральной плотностью про­ цесса авторегрессии. Аналогично соответствующую ковариацион­ ную последовательность можно также аппроксимировать сколь угодно точно (см. упр. 28).

7.5.5. Линейные операции

Линейные операции, такие, как дифференцирование и сглажи­ вание, были рассмотрены в гл. 3. Влияние этих операций на кова­ риационную структуру процесса можно изучать с помощью спект­ ральных плотностей.

Рассмотрим процесс, полученный с помощью r-кратного приме­ нения разностного оператора А = ^ — 1 к процессу {г/,}, т. е.

(60)г, = A'yt = (1 - <£)' у,+, = (1 — «К 9*у,.

Вычитание приводит к поднятию высоких частот.

Добавление соседних членов представляет собой оператор ^ +

+1; пусть эта операция повторяется г раз.

(67)-Цг ф (Я) =

Таким образом, h (Я)// (Я) имеет максимум в точке Я0. Остальные нулевые значения первой производной есть нули выражения h (Я) / If (к). Выбирая должным образом г и s, мы можем сделать Я0 произ­ вольно близким к любой заданной частоте. Если г и s большие, то максимум (65) будет четко выраженным. Тогда h (Я) будет иметь мак-

является полным в том смысле, что любая последовательность Коши имеет предел, принадлежащий этому пространству. Мы будем писать

сходится к х с вероятностью 1 [Лоэв (1963, § 6.3)]. Для каждого фик­

сированного т разность x("ft) — x<m> сходится к х — х<т>с вероят­ ностью 1 . Тогда из уравнения теоремы Фату — Лебега [Лоэв (1963, § 7.2)] и из условия 8 (х{Пк) — х<т >)2 -> 0 при пк, т -у оо следует

(2)8 (х— х(т))2< Шп 8 (х<Пк)— х(т))2 - у0,

8(х<п) — х<т))2 -у 0 .

До к а за тел ьс тво ,

452 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Гл. 7.

Норма || л: — у \ задает расстояние между х и у и называется метри­ кой пространства.

Последовательность {*<">} называется последовательностью Ко­

в нем существует предел любой последовательности Коши, при­ надлежащей пространству.

Для любого гильбертова пространства скалярное произведение

Д оказательство. Из неравенства Коши — Шварца имеем

(13) |(*<"\ у(п)) - ( х , у)\ = \{х(п)- х , у(п)- у ) +

+(*, у{п) — у) + (Х(п) — х,у)\<с

<| ( j f (n)— X, у(п) — у) I +

Если в гильбертовом пространстве, порожденном последова­ тельностью {у(}, скалярное произведение (х, у) определяется как Илт/, то теорема 7.6.4 подтверждает существование пределов дисперсий и ковариаций в § 7.4 и 7.5.