книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

§ 3.3. Постановки задач

301

p f d V

+

Е

tne d E +

t п d E = 0 ,

(3.3.35)

у

ск= 1 ,...,4 ,7 е

ск= 5 ,6 ^

х х p i d V +

х х t ne d E +

(х + ue) х t n d E

0 .

У

OL= l, ...,4 ,7 y >

CK= 5,6

°р{ d V

+

Е

tne dE +

tn dE = 0,

(3.3.36)

у

а = 1,...,4,7 ,

сг=5,6 ,

о

^

^ — Л

®

®

^ ^

о

о

о

X X p f d V +

2_^

х Х tne d E +

2_^

(х + и е) х

t n d E = 0.

У

а = 1 ,...,4,7 (

сг=5,6 <

В результате получаем условия для векторов

f, u e и t ne

в квазистатиче­

ской задаче в материальном описании.

условиям задачи (3.3.30) на части поверхности Е и =

Е 5 U E Q и Eg, гДе заданы

перемещения:

uL = ue, u n L = 0 .

(3.3.37)

<5и|Ец= 0 , <5u-n|E8 = 0.

(3.3.38)

§ 3.3. Постановки задач

305

Р

V ® 5 u T d V

■

p i • S u d V

t „р • 5u dH = 0 .

(3.3.53)

у

у

3.3.9. Вариационная постановка для несжимаемых сред

в материальном описании

Сформулируем вариационную постановку

для квазистатической задачи

(3.3.32) теории упругости

для

несжимаемых

сред. Для этого

введем п о л е

в о з м о ж н ы х

д а в л е н и й р ( х )

—

произвольное скалярное поле, определенное и

непрерывно-дифференцируемое в V U £ , а также д е й с т в и т е л ь н о е п о л е д а в ­

л е н и й р ( х ) ,

удовлетворяющее

вместе с действительным полем

перемещений

П = ( р ф

~ P i ) d V ,

(3.3.54)

у

где р — неопределенный множитель

Лагранжа: р = р { п — III) 2

(см. т. 2,

( п )

(п)

(п)

1

y ( G G) =

det G G -----------— , = 0.

(3.3.55)

/v

и

( i - Ш

)3

v

;

д'У

1

(n)

(n)

(3.3.56)

81 = ^ r

- - 8 G a =

3

G ^ - - « 5 G g .

(п - III)

G

гут быть представлены

в виде (т. 2,

(3.9.37))

( n )

, 8с

- V \ „ T(s)

г г -

..

Р

TTT^

т :

-

п

, ,

(3.3.57)

—

G + • F G ,

F G

—

P

— /

У ? ’

П-

III

(n)

7=1

8GG

(п)

~

(п)

(3.3.58)

р Щ С о ,

О, в) = Т о • • 8 C G + SG • • 8 0 \

306

Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

511 = ( р б ф — рд^/ —

7 6р ) d V =

V

Р - 1

(п )

' G

8 G

d V +

n - I I I ^ G

G

v

v

( n )

+

S G • • <50т d V

det

G Q

( n -

III)

d V

=

v

V

(n)

(n)

( T G • •

5 C G +

S G • • 5 0 T) d V -

(det

G G --------- -—

A S p d V

=

V

^

( n - I I I ) 3/

v

v

T

• •

e(<5u) d V

-

((det F )n_in -

1 ) 8p d V .

(3.3.59)

- I I I

V

V

det G

=

-------—

о det U n“ in -

: (det U ) n—III

( п

)

1

ТУТ

1

(n -

III)3

(n - III)'

1

(det F )n 111 = det

и det F

=

det U

=

det V .

( « - Ш )3

<Ш = { Г а - р Е ) • •

e(<5u) d V

((det F )n-In 1 ) S p d V .

(3.3.60)

п - III

v

v

Составляя лагранжиан

L ( u , p ) по формулам

(3.3.40а), (3.3.54), (3.3.39), мож­

<5L(u, р ) = 0.

(3.3.61)

независимость вариаций <5и и 8р ,

получаем следующую с и с т е м у в а р и а ц и о н ­

н ы х у р а в н е н и й д л я н е с ж и м а е м ы х у п р у г и х с р е д :

{ (“)

-

рЕ )

• • e(<5u)

J > f

_

= 0,

1 { Г а

d V -

• <5u d V - J t ne • S u

v

v

(3.3.62)

J (det

(E

- V

<g> u) -

l ) S p

d V

=

0 .

v

гости для несжимаемой среды получаем

из (3.3.62)

путем преобразований

(3.3.52):

' ( п )

О

О

0

^

0

J(F°G - P F

~ l ) •• v

<g> S u dV -

J p f •S u

dV -

J tne •<5u dE = 0,

< v

v

E CT

(3.3.63)

J(det (E +

V ® u) -

\)8p dV =

0.

Т = - р Е + E P J f ~ 1т • Ц } • F “ 1,

7=1

<1^ = d l ^ /дЛ,

= р(дф/д1^),

гр = ^(/^(Л ),0),

Л = (1 /2 )(V 0 u + V

® u T- V ® u T• V (g) u),

^F-1 = E —V 0 u T B 7;

n • T = tne на Si, S 2 , S 3 , S4 , S 7 ;

u = ue на S 5 , Sg;

u • n = 0,

n • T • TJ = 0

на Sg.

V

• Т + pf = О,

T

= °p\]X 2\ 3 J 2 x a ^

^ p a

(g ,p a ,

СУ= 1

Аа , р а II

F _1,

F -1 = Е - V<8)UT,

п - Т |Е

= t ne, u |s

=

ue,

U \E8‘ n = 0,

n - T |

-T / = 0,

V • Р + pf = О,

Р =

р ^ 2

Ра,

F

= Е —V(g>uT,

Аа , ра,Р0

г»—1

(У=\

д \ а J

п • Р

=

tr.

U О = ие, U

o

• n = 0, n -Р о

• т / = О,

^8

^8

310

Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

(п)

1

п-Ш

(п )

с

а

( к

- 1), п = I ,I I ,IV ,V ;

С а = 111 к а , П =

III.

п -

а

III

Далее будем

считать, что брус является идеально-твердой (упругой) изо­

тропной средой,

описываемой линейными моделями А п (т. 2, (3.8.62)):

(п)

(п)

(п)

Т = J ( /I / I (C )E + 2Z2 C ), J = p / p .

(3.4.2)

( п )

( п )

(3.4.3)

Т

^

^

(X) 0Q;,

,

а= \

(п )

1

гг—III

-

1

I, II, IV, V;

Т аа = (n —III)fc]fc2/C3

h ( J 2 kT

l u - ^

+ 21^

п =

а

/3=1

III

1

^

=

— ( ^ 5 3 In к а + 2 ^ 1п к 0

k \ k 2h

а = \

Поскольку в данной

задаче тензор

поворота О является единичным (см. т. 2,

упр. 2 к § 1.3), то квазиэнергетические тензоры

(п )

напряжений S совпадают с

(п)

(п)

(п)

Т (см. т. 2, упр.

3 к § 3.2):

S =

Т.

Для вычисления тензора напряжений Коши Т используем т е н з о р ы э н е р -

(п)

формулы

(т. 2,

(3.2 .36)),

которые в

г е т и ч е с к о й э к в и в а л е н т н о с т и

4 Е

и

данной задаче имеют следующий вид:

n = I:

Т = F -1 т • Т • F - 1 ;

п

=

II:

Т =

( l / 2 ) ( F _lT • Т + Т • F - 1 );

III:

ш

(3.4.4)

п

=

Т = Т;

IV

IV

n

=

IV:

т =

(1/2)(F • Т + Т • F T);

n = V:

v

Т = F • Т • F T.

Подставляя в (3.4.4) выражение для

F (3.4.1а)

и формулы (3.4.3), нахо­

дим компоненты

и а а

тензора напряжений Коши

Т

в декартовом

базисе для

различных моделей А

п :

X

=

3

сгаа =

(п)

(3.4.5)

^ ^ сгааёа ® ё а ,

k a

Т а а ,

а = \

п -Ш

& а а

к :

%~Ш

- 3) + 212 (к\гг—III

n =

I, II, IV, V;

(п —1П ) к \ к 2кз

а