книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdfДифференциал второго порядка обозначается d 2y или d 2f ( x ) . Таким образом, dry = d{dy). Учитывая, что dy = /'(х ) d x , где dx — не зависящая от х константа, получим
d2y = f" (x )(d x )2, или, более кратко, d2y = f" { x )d x 2.
Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких по
рядков: d3y = |
d(d2y ), d*y = d(d3y) , . . . В общем случае, дифференциалом |
|||||
п -го порядка |
от функции f( x ) |
в точке х называется дифференциал от |
||||
дифференциала (п - 1)-го порядка функции f( x ) |
в этой точке: |
|||||
|
|
Г у |
= d{dn~l y), |
|
|
|
т.е. d ny = f ^ ( x ) ( d x ) n , |
или, более кратко, |
dny |
= |
f^n\ x )d x n . Отсюда |
||
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
.(„)/ ч |
d ny |
в частности / |
„ |
= |
d2y |
|
J K4 (х) = |
— |
(х) |
— |
||
|
|
их |
|
|
|
ах" |
Заметим, что для дифференциалов высших порядков свойство инва риантности (как для дифференциалов первого порядка) не имеет места.
7 .2 .1 . |
Найти дифференциал функции |
|
|
|
|
|
У = ех3 |
|
|
|
О Так как dy = y'dx, то в данном случае dy = (е *3)* dx = |
|||
|
= Зх2 •ex3dx. |
|
|
• |
Найт и дифференциал функции: |
|
|
|
|
7 .2 .2 . |
у = arctg v/x. |
7 .2 .3 . |
у = |
(х3 - х) tg х. |
7 .2 .4 . |
у = х 2 \пх. |
7 .2 .5 . |
у = |
2 . |
|
|
|
|
х~ + 1 |
7 .2 .6 . |
Найти приращение и дифференциал функции у = я2 — Зх + 1 в |
|||
|
точке гс0 = 2, если А х = |
0,1. |
|
|
|
О Сначала найдем приращение А у в общем виде: |
|||
|
А у = у(х + А х) - у(х) |
- |
|
|
|
= [(х 4- А х )2 - 3(х + Ах) + |
1] - |
(х 2 - Зх + 1) = |
|
|
= х 2 + 2хА х + (А х)2 - Зх - ЗАх + 1 - х 2 + З х - 1 = |
|||
|
= 2хА х - |
ЗАх -Ь (А х)2 = |
(2х - 3)А х -Ь (А х)2. |
|
|
Из полученного выражения для приращения А у видно, что его |
|||
|
линейная часть в произвольной точке хо равна (2хо — 3)Ах. |
|||
Тогда по определению дифференциал данной функции будет равен dy = (2х — 3)А х, или, в более привычной записи, dy = = (2х — 3)dx.
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
d\j = d(dy) = d ( ^ |
= ) = ( ^ |
) |
W |
= |
||
|
|
= |
\ { x - 2'3)'dx = |
- I x - ^ |
d x 2 = - - ^ = . |
||
|
|
|
^ |
|
9 |
9 x y~2 |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
d3y = d(d2y) |
|
2 dx2 |
|
|
|
|
|
« |
9 ^ 7 3 ) = |
|
= |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
10 |
|
10dx3 |
|
|
|
|
|
27 |
~ */3dx3 = |
|
|
|
|
|
|
|
27ж2 V x* |
|
|
То же самое молено было найти иначе, предварительно отыскав |
||||||
|
производные у', у" и ут, а затем воспользоваться формулами: |
||||||
|
dry = y"dx2, d3y = y n,dx3. |
|
|
|
• |
||
Н айт и dy и dry: |
|
|
|
|
|
|
|
7 .2 .1 4 . |
2/ = (аг + 1)3. |
|
7 .2 .1 5 . |
|
y = |
sin2 ж. |
|
Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
Найт и дифференциалы функций: |
|
|
|
|
|||
7 .2 .1 6 . |
у = 2C0SI. |
|
7 .2 .1 7 . |
у = |
In3sin ж. |
||
7 .2 .1 8 . |
f(x) = Ух* - 1. |
|
7 .2 .1 9 . |
S(t) = |
|
||
Н айт и приращ ение и диф ференциал функции у в общ ем виде, а т ак ж е в т очке Жо, если извест но Аж:
7 .2 .2 0 . |
у = 4ж2 + 1, ж0 = 1 , Аж = 0,02. |
7 .2 .2 1 . |
у = |ж|, жо = 10, Аж = -0 ,1 . |
В ы ч и сли т ь п ри бл и ж ен н о:
7 .2 .2 2 . |
sin 29°. |
7 .2 .2 3 . arctg l,05 . |
7 .2 .2 4 . (0,99)4.
Н айт и dy и d ry :
7 .2 .2 5 . |
у = |
7 .2 .2 6 . у = z (ln x - 1). |
7 .2 .2 7 . |
Найти d y , (Ру и d32/, где у = жп. |
|
Более сложные задачи
7.2.28. Используя дифференциал, доказать приближенную формулу
(1 + а ) п « 1 + ть •а .
7.2 .29 . Используя определение, доказать, что функция у = |я| не явля ется дифференцируемой в точке хо = 0.
7.2.30. Вычислить приближенно:
1) \J^x^ при х= 1,04;
7 .2 .31 . Показать, что если у = /(^ (я )), то dry ф y'ûdu2, т.е. свойство
инвариантности для дифференциалов второго порядка не вы полняется.
§3. ТЕО РЕМ Ы О СРЕДНЕМ . ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ. Ф ОРМ УЛЫ ТЕЙЛОРА
Теоремы о среднем
Теорема 7.1 (Ролля). Пусть функция /(я) непрерывна на отрезке [а; 6], дифференцируема на интервале (а; Ь) и принимает на концах от резка равные значения (т.е. /( а ) = /(b )). Тогда существует по крайней мере одна точка с на интервале (а; 6), для которой / ;(с) = 0.
Теорема 7.2 (Лагранжа). Пусть функция /(я) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а;Ь). Тогда на интервале (а;Ь)
найдется такая точка с, что
№~ № = f ( c ) { b - a ) .
Теорема 7.3 (Коши). Пусть функции /(я) и д ( х ) непрерывны на от
резке [а; Ь] |
и дифференцируемы на интервале (а; 6), причем д '(х ) ф 0 |
|
для всех х |
G (а; Ь). Тогда найдется такая точка с на этом интервале, |
|
ЧТ0 |
т - М = |
д '(с ) ' |
|
9(b) - 9(a) |
|
Правила Лопиталя
П ервое правило Л опит аля. Пусть функции /(# ) и 9 (х ) дифферен цируемы в некоторой окрестности U (xо) точки яо» кроме, быть может, самой этой точки, и д'(х) Ф 0 для всех х G U (xо), х Ф хо •Тогда если lim /( х ) = lim д(х ) = 0 (в этом случае говорят, что в точке хо имеет
X —У хо |
Г\ х ) |
|
п |
то существует |
|
место неопределенность вида g) и существует |
Иш^ д ' ^ у |
,причем
Вт орое правило Л опит аля. Пусть функции /(# ) и д (х ) дифферен цируемы в некоторой окрестности U (xo) точки хо, кроме, быть может,
самой этой |
точки, |
и д'(х) ф 0 для Vx G U (xо), х Ф хо* Тогда если |
lim /( х ) = |
lim д(х) |
= оо (т.е. в точке хо имеет место неопределенность |
соответствующих ограничений на функции /'( х ) и </;(х)) можно приме нять второй раз и т. д.
Формула Тейлора
^Пусть функция /( х ) имеет в некоторой окрестности точки хо производные / ', / " , . . . , f^n\ Тогда для любой точки х из этой
окрестности имеет место равенство
/ (*) = Л *о ) + |
- х о ) + |
- х о ) 2 + . . . |
Эта формула называется ф ормулой Т ейлора с ост ат очным ч лен ом в ф орме П еано.
Последнее слагаемое (т. е. остаточный член) в формуле Тейлора ино-
гда записывают в виде
(задача 7.3.18). Таким образом,
|
In lim у = |
lim \п у = О, |
|
х—>0 |
х—^0 |
откуда lim у = |
1 , т. е. lim х х = 1 . |
|
х-40 |
х-»0 |
|
2) Здесь неопределенность вида I00. Обозначив у = (cosа;)*,
найдем lim In?/:
х—>0
lim In 1/ = |
lim ln(cosx)i = |
lim |
x |
= Г^1 = |
|
x-+0 u |
x—tO |
' |
x-40 |
L0 J |
|
|
|
= |
lim ^n(CQSa:)) |
— lim (—tga:) = 0. |
|
|
|
x->0 |
|
x—>0 |
|
Отсюда In lim у = |
lim In у = |
0, т. e. lim у = |
lim (cos x) * = 1. • |
||
x—>0 |
x—>0 |
|
x —>0 |
x—>0 |
|
Н айт и пределы, используя правило Л опит аля:
7 |
.3 .2 4 . |
lim xtg*. |
7 .3 .2 5 . |
lim (cos 2х) £ . |
|
|
x—>0 |
|
х-+0 |
7 .3 .2 6 . |
lim f i ) * |
7 .3 .2 7 . |
lim X Ï +TÏÏT. |
|
|
|
х-Ю \Я/ |
|
x—f0 |
7 |
.3 .2 8 . |
Разложить многочлен Р (х ) = х 4 - |
х 3 + 5аг - Ах + 1 по степеням |
|
|
|
х — 1, используя формулу Тейлора. |
||
|
|
О Так как Р ^ ( х ) |
= 0 при п ^ |
5, то в разложении данного |
|
|
многочлена по формуле Тейлора будут только слагаемые вида |
||
p W (x n )
—“ жо), где ^ ^ 4. Поэтому
Р (х ) = Р ( 1) + ^ ( х - 1 ) + Ц Ш (Х _ 1 )2 +
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р " '( 1) |
|
|
p (/V )(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( * |
- 1)3 + |
|
( * - 1)4 |
|||
|
|
|
|
|
3! |
4! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Учитывая, что Р ( 1) = |
2, Р '( 1) = |
7, Р " { 1) = 16, Р "'(1 ) = |
18, |
||||||||
|
_р(/к) (1) _ 24) получим окончательно |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Р (1) = |
2 + 7{х - |
1) + |
8(* - I )2 + 3 ( х - |
I )3 + (x - |
I)4. |
• |
||||
Р а зл о ж и т ь м н огочлен Р (х ) по ст епеням х - х о , если |
|
|
|
|||||||||
7 .3 .2 9 . |
Р (х ) |
= |
х г + |
Ах2 - 6я - |
8, XQ = - 1 . |
|
|
|
|
|
||
7 .3 .3 0 . |
Р (х ) |
= |
х 5 - |
Зх4 + 7х + |
2, XQ = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
7 .3 .3 1 . |
1) Разложить по формуле Тейлора функцию f( x ) = |
|
- в точке |
|||||||||
|
•Ео = |
1> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Разложить по формуле Маклорена функцию f( x ) |
= arctg# |
||||||||||
до о(х3).